Analyse des données avancée
Les k-means et la consolidation
- Présentation du cours
- Reprendre l'analyse des données par l'algèbre
- Le tableau, les poids et la métrique
- L'inertie, formalisée
- Diagonalisation et décomposition en valeurs singulières
- L'ACP en écriture matricielle
- Dualité et relations de transition
- Combien d'axes retenir
- Contributions, cosinus carrés et éléments supplémentaires
- L'AFC et la métrique du khi-deux
- Profils, barycentres et lecture conjointe
- L'analyse des correspondances multiples
- Distances et dissimilarités
- La classification ascendante hiérarchique
- Les k-means et la consolidation
- Décrire et nommer les segments
- L'analyse factorielle discriminante
- Classer un nouveau client
- Le positionnement multidimensionnel
- Étude de cas
- Mise en œuvre sur R et Python
Analyse des données avancée
Chapitre 13 : Les k-means et la consolidation
Centres mobiles
Les trois étapes
Ce que l’algorithme optimise
\min \; I_{\text{intraclasse}}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{K}\sum_{i\in C_k} d^2(i,G_k)
Chaque itération le fait décroître : l’algorithme converge toujours.
Le nombre de partitions possibles de 300 clients en 4 classes dépasse 10^{178}. Aucun algorithme ne les explore toutes.
Les k-means descendent depuis leur point de départ jusqu’au premier creux rencontré. Un autre départ peut mener à un autre creux — et il n’existe aucun moyen de savoir si l’on tient le meilleur.
Sur nos données
| Départ | Inertie interclasse | Itérations |
|---|---|---|
| 1 | 76{,}51\,\% | 22 |
| 7 | 76{,}54\,\% | 8 |
| 42 | 76{,}54\,\% | 16 |
| 2026 | 76{,}54\,\% | 6 |
Quand des départs très différents aboutissent à la même partition, c’est que la structure est robuste.
Si les quatre lignes avaient donné 60, 71, 65 et 74\,\%, il aurait fallu conclure que le nuage n’a pas de groupes nets et le dire dans le rapport.
Choisir le nombre de classes
La courbe de l’inertie
Comparaison des deux méthodes
| CAH | k-means | |
|---|---|---|
| Nombre de classes | trouvé | à fournir |
| Réaffectation | impossible | à chaque tour |
| Calcul | O(n^3) | rapide |
| Résultat | unique | dépend du départ |
La CAH trouve le nombre de classes mais ne se corrige jamais. Les k-means se corrigent sans cesse mais ne trouvent pas le nombre.
La solution évidente : les enchaîner.
La consolidation
Le procédé standard
- ACP pour obtenir des coordonnées propres.
- CAH de Ward pour déterminer le nombre de classes et une partition initiale.
- k-means partant des centres de la CAH pour corriger les affectations regrettables.
Trois itérations. Vingt-six clients sur trois cents changent de classe.
L’inertie interclasse passe de 74{,}93\,\% à 76{,}50\,\% — un gain de 1{,}57 point.
Le tableau de croisement
Comment lire ce gain
Vingt-six clients déplacés sur trois cents, c’est 8{,}7\,\%. La partition ne dépendait donc presque pas de l’algorithme.
Si la moitié des clients avaient changé de classe, la conclusion aurait été tout autre : il aurait fallu écrire que les données ne contiennent pas de segments stables, et renoncer à la segmentation.
Elle améliore la partition d’un point et demi — c’est peu.
Mais elle vérifie que deux logiques différentes — hiérarchique et itérative — retrouvent les mêmes groupes. C’est le seul contrôle disponible en l’absence de test statistique.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
- Les k-means alternent affectation et recalcul des centres, jusqu’à stabilité.
- Ils minimisent l’inertie intraclasse et convergent toujours — vers un optimum local.
- Il faut donc relancer plusieurs fois : ici quatre départs donnent 76{,}5\,\%.
- Le coude de la courbe d’inertie confirme k=4.
- CAH puis k-means : l’une donne le nombre, l’autre corrige les affectations.
- Chez nous, la consolidation déplace 26 clients et gagne 1{,}57 point — la partition est stable.
Quatre classes, et quatre nombres pour les décrire. Ce n’est pas encore une segmentation.
Une segmentation, c’est quatre portraits qu’un directeur commercial peut lire — et le chapitre 14 les construit.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)