Économétrie financière
Modèles classiques de volatilité et corrélation
Économétrie financière
Chapitre 2 : Modèles classiques de volatilité et corrélation
Avant de commencer
Pourquoi ce chapitre
La matrice de covariance des rendements est l’ingrédient central de la mesure du risque (VaR), de l’allocation de portefeuille, de la couverture et du pricing multi-actifs. Mais elle change dans le temps. Ce chapitre présente les deux méthodes historiques les plus simples pour l’estimer — moyenne mobile équipondérée et EWMA — et leurs limites, avant d’introduire les modèles GARCH (chapitre 3).
La moyenne mobile équipondérée
Définition
En supposant les rendements de moyenne nulle, la variance estimée à la date t sur une fenêtre glissante de n observations est \hat\sigma_t^2 = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} r_{t-i}^2.
Chaque rendement passé pèse exactement le même poids 1/n tant qu’il reste dans la fenêtre, puis disparaît brutalement dès qu’il en sort. Un choc de marché ancien continue donc d’influencer pleinement l’estimation jusqu’à son dernier jour dans la fenêtre — puis l’estimation chute artificiellement le jour suivant, même si rien de nouveau ne s’est produit. Ce phénomène, dit des « caractéristiques fantômes » (ghost features), est la principale faiblesse de la moyenne mobile équipondérée.
L’EWMA, moyenne pondérée
Définition
L’EWMA corrige ce défaut en pondérant les observations passées par des poids décroissant exponentiellement, via la récursion \hat\sigma_t^2 = \lambda\,\hat\sigma_{t-1}^2 + (1-\lambda)\,r_{t-1}^2, \qquad 0<\lambda<1, équivalente à une moyenne pondérée infinie de poids (1-\lambda)\lambda^i sur r_{t-1-i}^2, i=0,1,2,\dots Le même principe s’applique à la covariance : \hat\sigma_{12,t} = \lambda\,\hat\sigma_{12,t-1} + (1-\lambda)\,r_{1,t-1}\,r_{2,t-1}.
Plus \lambda est proche de 1, plus l’estimation est persistante mais peu réactive (mémoire longue) ; plus \lambda est faible, plus elle est réactive mais peu persistante (elle « oublie » vite). Un même \lambda doit être utilisé pour tous les éléments d’une matrice de covariance EWMA — sinon rien ne garantit qu’elle reste semi-définie positive (chapitre 6, algèbre linéaire).
Définition (suite)
La méthodologie RiskMetrics™, popularisée par JP Morgan dans les années 1990, construit ses matrices de covariance quotidiennes par EWMA avec \lambda=0{,}94 pour des prévisions à un jour, et \lambda=0{,}97 pour des prévisions à horizon mensuel (plus persistant, adapté à un horizon plus long). Ces matrices, couvrant actions, taux, changes et matières premières, sont longtemps restées la référence de l’industrie pour le calcul de la value at risk de portefeuilles linéaires.
Avec \lambda=0{,}94, \hat\sigma_{t-1}^2=1{,}00\%^2 et un rendement r_{t-1}=2\% (choc important) : \hat\sigma_t^2=0{,}94\times1{,}00+0{,}06\times4=0{,}94+0{,}24=1{,}18\%^2. L’estimation réagit immédiatement au choc, puis continuera de décroître progressivement — sans jamais chuter brutalement, contrairement à la moyenne mobile équipondérée.
Une limite commune
L’hypothèse i.i.d. et ses conséquences
Moyenne mobile et EWMA supposent implicitement des rendements indépendants et identiquement distribués : la prévision de variance à tout horizon futur est simplement égale à l’estimation courante (règle de la racine carrée du temps pour l’écart-type). Or la volatilité observée sur les marchés financiers présente des périodes calmes et des périodes agitées qui se regroupent dans le temps (volatility clustering) — un fait que ces modèles, par construction, ne peuvent pas capturer. C’est précisément la motivation des modèles GARCH, objet du chapitre suivant.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- Moyenne mobile équipondérée : poids égaux sur n observations, sujette à l’effet « fantôme » à la sortie de fenêtre.
- EWMA : poids décroissants exponentiellement, \hat\sigma_t^2=\lambda\hat\sigma_{t-1}^2+(1-\lambda)r_{t-1}^2 ; \lambda fixé pour toute la matrice (RiskMetrics : 0{,}94 quotidien, 0{,}97 mensuel).
- Les deux méthodes supposent des rendements i.i.d. : leurs prévisions de variance à tout horizon sont plates, incapables de refléter le clustering de volatilité.
Les modèles GARCH généralisent l’EWMA en ajoutant une composante de retour vers une variance de long terme — leurs prévisions ne sont plus plates, mais convergent progressivement vers ce niveau moyen.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)