Économétrie financière
Séries temporelles et cointégration
Économétrie financière
Chapitre 4 : Séries temporelles et cointégration
Avant de commencer
Pourquoi ce chapitre
Les chapitres précédents modélisent les rendements. Mais les prix ont leur propre dynamique, généralement non stationnaire. Deux prix peuvent pourtant rester durablement « liés » dans le temps même si leurs rendements sont peu corrélés : c’est la cointégration, une notion de dépendance de long terme distincte de la corrélation.
Stationnaires et intégrés
Marche aléatoire et prévisibilité
Un processus est stationnaire si sa moyenne, sa variance et ses autocovariances sont constantes dans le temps ; il est mean-reverting (une déviation par rapport à sa moyenne finit par se résorber), donc partiellement prévisible. Un processus intégré (non stationnaire) ne l’est pas : la marche aléatoire p_t=p_{t-1}+\varepsilon_t en est l’exemple emblématique — sa variance croît indéfiniment avec t, et la meilleure prévision du prix de demain est le prix d’aujourd’hui.
La plupart des prix d’actifs financiers sont, au moins approximativement, des processus intégrés : il est vain de vouloir prédire où sera un prix isolé dans dix ans. Mais l’écart entre deux prix peut, lui, être stationnaire — c’est précisément la cointégration, qui rend cet écart prévisible même si chaque prix pris isolément ne l’est pas.
La cointégration
Définition
Deux séries de prix p_{1,t} et p_{2,t}, chacune intégrée d’ordre 1 (notée I(1)), sont cointégrées s’il existe \beta tel que le spread \varepsilon_t = p_{1,t} - \beta\, p_{2,t} soit stationnaire (I(0)). Les deux prix sont alors « attachés » l’un à l’autre en longue période.
La corrélation mesure une association entre rendements, à court terme. La cointégration mesure une association entre prix, à long terme. Il est parfaitement possible que deux prix cointégrés aient des rendements faiblement corrélés au jour le jour, tout en ne s’éloignant jamais durablement l’un de l’autre.
La méthode d’Engle-Granger
- Régression de long terme : régresser p_{1,t} sur p_{2,t} par MCO pour obtenir \hat\beta et les résidus \hat\varepsilon_t = p_{1,t}-\hat\beta\,p_{2,t}.
- Test de stationnarité des résidus (test de racine unitaire, par exemple Dickey-Fuller augmenté) : si H_0 (racine unitaire, non-stationnarité) est rejetée, le spread est stationnaire et les deux prix sont cointégrés.
Le modèle à correction d’erreur
Une fois la cointégration établie, la dynamique de court terme des rendements s’écrit \Delta p_{1,t} = \phi\,\hat\varepsilon_{t-1} + (\text{termes de rendements retardés}) + u_t, \qquad \phi<0, où \hat\varepsilon_{t-1} est le spread retardé (l’écart à l’équilibre de long terme) et \phi mesure la vitesse de correction : plus le spread s’écarte de zéro, plus p_1 est « rappelé » vers l’équilibre à la période suivante.
Deux actions du même secteur ont des prix cointégrés avec \hat\beta=1{,}2. Si p_{1,t}=48 et p_{2,t}=38, le spread est \hat\varepsilon_t=48-1{,}2\times38=2{,}4 — supérieur à sa moyenne de long terme (zéro) : le modèle à correction d’erreur prédit un rendement négatif attendu pour p_1 (ou positif pour p_2) à la période suivante, ramenant le spread vers l’équilibre.
Le trading de paires exploite directement la cointégration : dès que le spread entre deux actifs cointégrés s’écarte significativement de sa moyenne de long terme, on vend l’actif relativement cher et on achète l’actif relativement bon marché, en pariant sur le retour à l’équilibre — une stratégie d’arbitrage statistique neutre au marché. La cointégration sert aussi à modéliser la relation spot-futures d’un même sous-jacent, ou la parité des taux d’intérêt couverte entre taux de change au comptant et à terme.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- Un processus stationnaire est mean-reverting et prévisible ; un processus intégré (marche aléatoire) ne l’est pas.
- Deux prix I(1) sont cointégrés si un spread p_1-\beta p_2 est stationnaire — une dépendance de long terme, distincte de la corrélation des rendements.
- Méthode d’Engle-Granger : régression de long terme, puis test de racine unitaire sur les résidus.
- Le modèle à correction d’erreur relie la dynamique de court terme au retour vers l’équilibre de long terme.
La cointégration modélise une dépendance particulière entre prix. Pour représenter la dépendance entre rendements au-delà de la seule corrélation — notamment le fait que les marchés chutent souvent ensemble plus fortement qu’ils ne montent ensemble — les copules offrent un cadre beaucoup plus riche.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
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- QCM (bientôt)