Économétrie financière
Analyse en composantes principales
Économétrie financière
Chapitre 1 : Analyse en composantes principales
Avant de commencer
Pourquoi ce chapitre
Quand des dizaines, voire des centaines, d’actifs sont fortement corrélés (une courbe des taux, un univers d’actions d’un même secteur), estimer une matrice de covariance complète devient instable et peu maniable. L’analyse en composantes principales (ACP) construit, à partir des données elles-mêmes, un petit nombre de facteurs statistiques orthogonaux qui capturent l’essentiel de la variabilité commune — sans aucune hypothèse économique préalable.
Les composantes principales
Décomposition spectrale de la covariance
Soit \Sigma la matrice de covariance (n\times n) des rendements de n actifs, symétrique donc diagonalisable (chapitre 5, algèbre linéaire) : \Sigma = W\Lambda W^\top, où W est orthogonale (ses colonnes sont les vecteurs propres, normés) et \Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n) contient les valeurs propres, ordonnées \lambda_1\ge\lambda_2\ge\cdots\ge\lambda_n\ge0 (\Sigma est semi-définie positive). Les composantes principales sont Z=W^\top X : chaque Z_k est une combinaison linéaire des rendements originaux, et \operatorname{Var}(Z_k)=\lambda_k, \qquad \operatorname{Cov}(Z_k,Z_l)=0 \ (k\neq l).
L’ACP ne fait que tourner le repère : au lieu de décrire les rendements par les n actifs originaux (corrélés), on les décrit par n facteurs orthogonaux (non corrélés), ordonnés par variance décroissante. Aucune information n’est perdue tant qu’on garde les n composantes — le gain apparaît en tronquant.
Réduction de dimension
La part de la variance totale \sum_k \lambda_k = \operatorname{tr}\Sigma (chapitre 2, algèbre linéaire) expliquée par les m premières composantes est \dfrac{\lambda_1+\cdots+\lambda_m}{\lambda_1+\cdots+\lambda_n}. En pratique, on retient m\ll n composantes expliquant, par exemple, 95\% de la variance, et l’on modélise chaque rendement comme X_i \approx \sum_{k=1}^m w_{ik} Z_k — un modèle factoriel statistique, structurellement identique à celui de l’introduction, mais dont les facteurs Z_k n’ont pas nécessairement d’interprétation économique directe.
Exemple : deux actifs corrélés
Deux actifs ont pour matrice de covariance \Sigma=\begin{pmatrix}4&3\\3&4\end{pmatrix} (en \%^2). Valeurs propres : \operatorname{tr}\Sigma=8, \det\Sigma=7, donc \lambda^2-8\lambda+7=0 \Rightarrow \lambda\in\{1,7\}. Vecteur propre pour \lambda_1=7 : (1,1)/\sqrt2 — la composante commune (les deux actifs bougent ensemble), qui capture 7/8=87.5\% de la variance totale. Vecteur propre pour \lambda_2=1 : (1,-1)/\sqrt2 — la composante de spread (écart relatif), bien plus marginale.
Application emblématique : la courbe des taux
Appliquée aux variations quotidiennes des taux le long d’une courbe (2, 5, 10, 30 ans…), l’ACP révèle presque toujours la même structure : la première composante (très dominante, souvent >80\% de la variance) correspond à un déplacement parallèle de la courbe (niveau) ; la deuxième, à un changement de pente (les taux courts et longs bougent en sens opposés) ; la troisième, à un changement de courbure. Trois facteurs suffisent en général à expliquer plus de 95\% de la variance d’une courbe des taux.
Un gérant obligataire peut couvrir un portefeuille contre le risque de niveau (duration) sans se soucier des mouvements de pente ou de courbure, en ne neutralisant que l’exposition à la première composante principale — une couverture bien plus légère qu’une couverture terme à terme sur chaque maturité. Pour un large univers d’actions, l’ACP fournit des facteurs statistiques orthogonaux qui, injectés dans un modèle de risque, garantissent une matrice de covariance des facteurs diagonale — donc automatiquement bien conditionnée, contrairement à la matrice de covariance brute des actifs.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- L’ACP diagonalise la matrice de covariance \Sigma=W\Lambda W^\top ; les composantes principales Z=W^\top X sont non corrélées, de variance \lambda_k.
- Ordonnées par \lambda_k décroissant, les premières composantes concentrent l’essentiel de la variance : c’est la base de la réduction de dimension.
- Application phare : courbes de taux — niveau, pente, courbure expliquent typiquement >95\% de la variance.
Les modèles factoriels (introduction et chapitre 1) supposent une matrice de covariance connue ou estimée sur une fenêtre fixe. Comment cette matrice évolue-t-elle dans le temps ? Les modèles classiques de volatilité et de corrélation apportent une première réponse.
Ressources du chapitre
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