Économétrie financière

Introduction aux copules

Chapitre 5 : Introduction aux copules

Auteur·rice

Affiliation

Jaouad Madkour

Faculté d’Économie et de Gestion de Tanger

Date de publication

25 septembre 2026

Avant de commencer

Pourquoi ce chapitre

Pourquoi ce chapitre ?

La corrélation résume complètement la dépendance entre deux variables seulement dans le cas particulier des distributions elliptiques (normale, Student). Or les marchés financiers ne s’y conforment pas : les grands mouvements négatifs sont souvent bien plus liés entre eux que ne le suggère la corrélation moyenne. Les copules offrent un cadre général pour représenter toute structure de dépendance, indépendamment des lois marginales.

Le théorème de Sklar

Isoler la dépendance des marges

Copule et théorème de Sklar

Une copule C:[0,1]^n\to[0,1] est la fonction de répartition jointe de variables uniformes sur [0,1]. Le théorème de Sklar énonce que toute fonction de répartition jointe F de marges F_X,F_Y s’écrit F(x,y) = C\big(F_X(x),\,F_Y(y)\big) pour une copule C unique (si les marges sont continues). Réciproquement, toute copule combinée à des marges arbitraires produit une loi jointe valide.

L’idée clé : séparer forme et lien

Le théorème de Sklar sépare complètement deux choses : le comportement individuel de chaque variable (ses marges — normale, Student, gamma, etc., éventuellement différentes pour chaque actif) et la structure de dépendance entre elles (la copule). On peut ainsi combiner des marges très différentes avec n’importe quelle copule, ce qui serait impossible en ne travaillant qu’avec des lois jointes « toutes faites » comme la normale multivariée.

Deux familles usuelles

Copule gaussienne

C_\rho^{\text{Gauss}}(u,v) = \Phi_\rho\big(\Phi^{-1}(u),\,\Phi^{-1}(v)\big), où \Phi_\rho est la fonction de répartition normale bivariée de corrélation \rho et \Phi^{-1} l’inverse de la loi normale standard. C’est la copule implicite de la loi normale multivariée : elle ne fait qu’imposer la structure de dépendance de la loi normale, quelles que soient les marges effectivement utilisées.

Copule de Student et dépendance de queue

Dépendance de queue

Le coefficient de dépendance de queue \lambda_U=\lim_{u\to1}\mathbb{P}\big(Y>F_Y^{-1}(u)\mid X>F_X^{-1}(u)\big) mesure la probabilité d’un événement extrême sur Y sachant un événement extrême sur X. Pour la copule gaussienne, \lambda_U=0 dès que \rho<1 : les événements extrêmes y sont asymptotiquement indépendants, quelle que soit la force de la corrélation. La copule de Student, construite sur la loi de Student bivariée à \nu degrés de liberté, a au contraire \lambda_U>0 : elle capture la dépendance de queue, c’est-à-dire la tendance des marchés à s’effondrer ensemble plus souvent qu’ils ne le feraient sous hypothèse gaussienne. Plus \nu est petit, plus la dépendance de queue est forte.

Exemple

Deux indices actions ont une corrélation historique \rho=0{,}7. Sous une copule gaussienne, la probabilité que les deux subissent simultanément une chute extrême (au-delà du seuil de 1\% le plus bas) tend vers 0 à mesure que le seuil devient plus extrême. Sous une copule de Student à \nu=5 degrés de liberté et même \rho=0{,}7, cette probabilité conjointe reste strictement positive, même dans les queues extrêmes — un résultat bien plus conforme à ce qu’on observe lors des crises de marché, où les corrélations empiriques « explosent » précisément au moment où l’on en aurait le plus besoin pour se diversifier.

Application en finance : le risque de modèle de la copule gaussienne

Avant la crise financière de 2007-2008, la tarification des produits de crédit structurés (CDO) reposait très largement sur une copule gaussienne pour modéliser la dépendance entre défauts de multiples emprunteurs — un choix qui sous-estimait gravement la probabilité de défauts simultanés en période de stress, faute de dépendance de queue. Cet épisode, largement documenté depuis, illustre concrètement pourquoi le choix de la copule n’est pas un détail technique : il conditionne directement l’évaluation du risque de queue d’un portefeuille, bien au-delà de ce qu’une simple matrice de corrélation peut révéler.

Synthèse

Ce qu’il faut retenir

L’essentiel du chapitre 5

Sklar : F(x,y)=C(F_X(x),F_Y(y)) — la copule isole la structure de dépendance des lois marginales.
Copule gaussienne : aucune dépendance de queue (\lambda_U=0), quelle que soit \rho<1.
Copule de Student : dépendance de queue positive, d’autant plus forte que \nu est petit — plus réaliste pour les crises de marché.
Le choix de la copule a des conséquences concrètes et importantes sur l’évaluation du risque extrême d’un portefeuille.

Fin de ce bloc

Ces six chapitres — des modèles factoriels aux copules — donnent les outils de modélisation de rendements, de risque et de dépendance qui sous-tendent la gestion de portefeuille moderne. Les chapitres 6 et 7, à venir, complèteront ce bloc d’économétrie financière.

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