Économétrie financière
Modèles factoriels
Économétrie financière
Introduction : Modèles factoriels
Prérequis
Ce que ce cours suppose acquis
Économétrie avancée, dont ce cours prolonge les séries temporelles vers les données financières.
Le modèle linéaire en écriture matricielle. La stationnarité, l’autocorrélation, les tests de racine unitaire. L’estimation par maximum de vraisemblance.
Ce que le cours établit lui-même
Une rentabilité d’actif n’obéit à aucune des hypothèses commodes : sa volatilité change, ses queues sont épaisses, ses corrélations se resserrent au pire moment.
Le cours part de ces faits stylisés et construit les modèles qui les acceptent, plutôt que de les traiter comme des anomalies.
Avant de commencer
Pourquoi ce chapitre
Un gérant de portefeuille doit comprendre d’où vient le rendement et le risque de ses positions. Les modèles factoriels répondent à cette question en exprimant le rendement de chaque actif comme une fonction linéaire d’un petit nombre de facteurs de risque communs — l’outil de base de la gestion et de la mesure du risque de portefeuille.
Le modèle à un facteur
Le modèle de marché
Le rendement R_i d’un actif i se décompose selon R_i = \alpha_i + \beta_i R_M + \varepsilon_i, \qquad \mathbb{E}[\varepsilon_i]=0,\ \ \operatorname{Cov}(R_M,\varepsilon_i)=0, où R_M est le rendement d’un indice de marché, \alpha_i la performance non expliquée par le marché, et \beta_i la sensibilité (bêta) de l’actif au marché, estimée par régression linéaire simple (moindres carrés ordinaires).
Le modèle de marché est purement statistique ; le CAPM (Capital Asset Pricing Model) en est l’interprétation théorique : il prédit \alpha_i=0 à l’équilibre, le rendement espéré de l’actif étant entièrement déterminé par son exposition \beta_i au risque de marché, rémunérée par la prime de risque \mathbb{E}[R_M]-R_f.
Décomposition du risque
Sous les hypothèses du modèle, \operatorname{Var}(R_i) = \underbrace{\beta_i^2\operatorname{Var}(R_M)}_{\text{risque systématique}} + \underbrace{\operatorname{Var}(\varepsilon_i)}_{\text{risque spécifique}}. Le risque systématique provient du facteur commun (non diversifiable) ; le risque spécifique (idiosyncratique) est propre à l’actif et se diversifie en portefeuille.
Un actif a \beta_i=1.4, \operatorname{Var}(R_M)=4\%^2 et \operatorname{Var}(\varepsilon_i)=3\%^2. Risque systématique : 1.4^2\times16=31.36 (en \%^2) ; risque spécifique : 9. Variance totale 40.36\%^2, soit un écart-type de 6.35\% ; 77.7\% de la variance est d’origine systématique (31.36/40.36).
Modèles multifactoriels
Généralisation
Avec K facteurs F_1,\dots,F_K : R_i = \alpha_i + \sum_{k=1}^{K}\beta_{ik}F_k + \varepsilon_i. Les \beta_{ik} (sensibilités factorielles) s’estiment par régression multiple (chapitre régression multiple, Licence).
Les facteurs peuvent être des indices de marché larges, des facteurs sectoriels, des facteurs de style (valeur, croissance, momentum, taille — factoriels à la Fama-French), des facteurs macroéconomiques (taux d’intérêt, inflation), ou des facteurs statistiques obtenus par analyse en composantes principales (chapitre 1) — utile quand aucune interprétation économique n’est requise.
Risque de portefeuille dans un modèle multifactoriel
Pour un portefeuille de poids w=(w_1,\dots,w_n)^\top, le bêta de portefeuille par rapport au facteur k est \beta_{P,k}=\sum_i w_i\beta_{ik}, et, en notant \Omega la matrice de covariance des facteurs et B la matrice des sensibilités, \operatorname{Var}(R_P) = \beta_P^\top \Omega\, \beta_P + \sum_i w_i^2\operatorname{Var}(\varepsilon_i), où le second terme (risque spécifique agrégé) tend vers 0 à mesure que le portefeuille se diversifie, tandis que le premier terme (risque systématique) subsiste.
Un gérant actif compare son portefeuille à un indice de référence (benchmark). Le modèle factoriel permet l’attribution de performance : quelle part du rendement provient de l’exposition aux facteurs de style (bêta), et quelle part de la sélection de titres (alpha, le résidu) ? La tracking error — l’écart-type de R_P-R_{\text{benchmark}} — se décompose de la même façon en une composante systématique (différences d’exposition factorielle) et une composante spécifique (paris actifs sur des titres individuels), un indicateur clé du risque actif pris par le gérant.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- Modèle de marché : R_i=\alpha_i+\beta_i R_M+\varepsilon_i ; le CAPM en est l’interprétation d’équilibre (\alpha_i=0).
- Risque total = risque systématique (\beta^2\operatorname{Var}(R_M)) + risque spécifique (\operatorname{Var}(\varepsilon)).
- Modèle multifactoriel : généralise à K facteurs (marché, style, macro, statistiques), estimé par régression multiple.
- Le risque spécifique se diversifie en portefeuille ; le risque systématique, non.
Quand aucun facteur économique évident n’est disponible — ou pour réduire la dimension d’un grand nombre d’actifs corrélés — l’analyse en composantes principales construit des facteurs statistiques, directement à partir de la matrice de covariance des rendements.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
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