Économétrie financière
Introduction aux modèles GARCH
Économétrie financière
Chapitre 3 : Introduction aux modèles GARCH
Avant de commencer
Pourquoi ce chapitre
La volatilité des rendements financiers n’est pas constante : des périodes de forte turbulence alternent avec des périodes calmes, et ces périodes se regroupent dans le temps — un fait documenté dès Mandelbrot (1963). Les modèles GARCH (Engle, 1982 ; Bollerslev, 1986) sont conçus spécifiquement pour capturer ce clustering de volatilité, là où la moyenne mobile et l’EWMA (chapitre 2) échouent.
Les chapitres du cours (suite 2)
Le modèle GARCH(1,1)
Définition
Le modèle Généralisé Autorégressif Conditionnellement Hétéroscédastique d’ordre (1,1) s’écrit \sigma_t^2 = \omega + \alpha\,r_{t-1}^2 + \beta\,\sigma_{t-1}^2, \qquad \omega>0,\ \alpha,\beta\ge0. Le mot generalized renvoie à la généralisation par Bollerslev (1986) du modèle ARCH d’Engle (1982), qui correspond au cas particulier \beta=0 : \sigma_t^2=\omega+\alpha r_{t-1}^2.
La variance prévue à t combine trois informations : une composante constante (\omega), le dernier choc observé (\alpha r_{t-1}^2 — l’ARCH, réactivité à court terme), et la dernière variance elle-même (\beta\sigma_{t-1}^2 — la persistance). C’est cette dernière composante, absente de l’ARCH simple, qui donne au GARCH sa mémoire longue avec seulement deux paramètres.
Stationnarité et variance de long terme
Si \alpha+\beta<1 (condition de stationnarité), le processus est covariance-stationnaire et admet une variance de long terme V_L = \dfrac{\omega}{1-\alpha-\beta}. En posant \gamma=1-\alpha-\beta, le modèle se réécrit \sigma_t^2=\gamma V_L+\alpha r_{t-1}^2+\beta\sigma_{t-1}^2 — une moyenne pondérée de la variance de long terme, du dernier choc et de la dernière variance, les trois poids sommant à 1.
Si \gamma=0 (donc \omega=0, \alpha+\beta=1), il n’y a plus de retour vers une moyenne : le modèle dégénère exactement en une EWMA, avec \alpha=1-\lambda et \beta=\lambda. L’EWMA du chapitre 2 est donc un cas particulier — non stationnaire — du GARCH(1,1).
Stationnarité et variance de long terme (suite)
\omega=0{,}000004, \alpha=0{,}08, \beta=0{,}90 (en variance journalière). \alpha+\beta=0{,}98<1 : le processus est stationnaire, V_L=\dfrac{0{,}000004}{0{,}02}=0{,}0002, soit une volatilité de long terme \sqrt{0{,}0002}\approx1{,}41\% par jour. Si \sigma_{t-1}^2=0{,}0003 et r_{t-1}=2\% : \sigma_t^2=0{,}000004+0{,}08\times0{,}0004+0{,}90\times0{,}0003=0{,}000004+0{,}000032+0{,}00027=0{,}000306.
Estimation et prévision
Les paramètres (\omega,\alpha,\beta) s’estiment en maximisant la log-vraisemblance, sous l’hypothèse (souvent) de normalité conditionnelle r_t\,|\,\mathcal{F}_{t-1}\sim\mathcal{N}(0,\sigma_t^2) : \ell(\omega,\alpha,\beta) = -\dfrac12\sum_{t}\left[\ln(2\pi) + \ln\sigma_t^2 + \dfrac{r_t^2}{\sigma_t^2}\right], maximisée numériquement (les \sigma_t^2 dépendant récursivement les uns des autres).
La prévision de variance à h jours converge géométriquement vers la variance de long terme : \mathbb{E}_t[\sigma_{t+h}^2] = V_L + (\alpha+\beta)^{h-1}\big(\sigma_{t+1}^2-V_L\big) \xrightarrow[h\to\infty]{} V_L. Contrairement à l’EWMA (prévision plate), le GARCH produit une véritable structure par terme de la volatilité : un choc récent s’estompe progressivement, à une vitesse gouvernée par \alpha+\beta (la persistance).
Estimation et prévision (suite)
Le GARCH(1,1) traite un choc positif et un choc négatif de même ampleur de façon identique (r_{t-1}^2 ne dépend pas du signe). Or, empiriquement, un krach fait davantage monter la volatilité qu’une hausse équivalente (effet de levier). Des extensions asymétriques — GJR-GARCH, EGARCH — introduisent un terme supplémentaire pour capturer cette asymétrie, sans changer la logique générale du modèle.
Une banque calculant la value at risk quotidienne d’un portefeuille substitue avantageusement la volatilité GARCH à une volatilité historique fixe : la VaR s’ajuste automatiquement à la hausse après un choc de marché, puis redescend progressivement — un comportement bien plus fidèle à la réalité que la VaR EWMA, plate au-delà du très court terme. En pricing d’options, la structure par terme du GARCH permet de construire une surface de volatilité prévue, comparée à la volatilité implicite du marché pour détecter des opportunités d’arbitrage de volatilité.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- GARCH(1,1) : \sigma_t^2=\omega+\alpha r_{t-1}^2+\beta\sigma_{t-1}^2, stationnaire si \alpha+\beta<1, variance de long terme V_L=\omega/(1-\alpha-\beta).
- L’EWMA est le cas limite non stationnaire (\alpha+\beta=1) du GARCH.
- Estimation par maximum de vraisemblance ; la prévision de variance converge géométriquement vers V_L (structure par terme), à la différence de la prévision plate de l’EWMA.
- Extensions asymétriques (GJR-GARCH, EGARCH) captent l’effet de levier.
L’introduction et les chapitres 1 à 3 modélisent les rendements. Mais les prix eux-mêmes ont une dynamique propre — souvent non stationnaire — et deux prix peuvent rester durablement « liés » sans que leurs rendements soient fortement corrélés : c’est la cointégration.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)