Économétrie financière
Modèles économétriques avancés
Économétrie financière
Chapitre 6 : Modèles économétriques avancés
Avant de commencer
Pourquoi ce chapitre
La régression MCO (moindres carrés ordinaires) ne décrit que la moyenne conditionnelle d’une variable. Mais parfois, c’est le comportement des queues de la distribution qui intéresse le gestionnaire de risque, ou la variable à expliquer est binaire, ou la relation change brutalement à une date inconnue. Ce chapitre présente trois familles de modèles conçues pour ces situations.
La régression quantile
Au-delà de la moyenne conditionnelle
Alors que la régression MCO estime \mathbb{E}[Y\mid X]=\alpha+\beta X, la régression quantile (Koenker et Bassett, 1978) estime, pour un niveau q\in(0,1) donné, le quantile conditionnel Q_Y(q\mid X) = \alpha_q + \beta_q X, en minimisant une fonction de perte asymétrique : \rho_q(u)=u\,(q-\mathbb{1}_{\{u<0\}}), qui pénalise davantage les résidus négatifs quand q<0{,}5 et les résidus positifs quand q>0{,}5.
Si \beta_q est le même pour tout q, la relation ne fait que se translater : seule la variance de Y\mid X reste constante. Mais si \beta_q varie avec q, la dispersion (voire l’asymétrie) de Y dépend elle-même de X — un signe d’hétéroscédasticité que la seule régression MCO, focalisée sur la moyenne, ne peut pas révéler.
Un trader détient un portefeuille d’actions et souhaite le couvrir partiellement avec un contrat future sur indice. Sur des données réelles (portefeuille Vodafone/BP/HSBC contre FTSE 100, environ un an de rendements quotidiens), le ratio de couverture MCO (qui minimise la variance du portefeuille couvert, traitant gains et pertes de façon symétrique) vaut 0{,}547. Le ratio issu de la régression quantile à la médiane (q=0{,}5, qui minimise la somme des valeurs absolues) vaut 0{,}496. Celui de la régression quantile au quantile 20\% (q=0{,}2, qui pénalise davantage les pertes) vaut 0{,}482 : une couverture spécifiquement calibrée sur le risque de baisse, différente de la couverture « moyenne ».
Le quantile conditionnel Q_Y(q\mid X) est, par définition, la value at risk conditionnelle au niveau q : la régression quantile fournit ainsi directement un modèle de VaR conditionnelle à un facteur de risque, sans hypothèse de normalité. Plus généralement, dès que la distribution jointe des rendements n’est pas (bivariée) normale — la norme plutôt que l’exception en finance — une régression quantile fondée sur une copule (chapitre 5) permet de capturer une dépendance non linéaire entre le portefeuille et son facteur de couverture, et donc d’estimer des ratios de couverture bien plus fidèles au risque de queue réellement couru.
Modèles à choix discret
Probit et logit
Quand la variable à expliquer Y\in\{0,1\} (défaut/non-défaut, hausse/baisse), on modélise \mathbb{P}(Y=1\mid X)=G(\alpha+\beta X), où G est une fonction de lien croissante à valeurs dans [0,1] :
- logit : G(z)=\Lambda(z)=\dfrac{1}{1+e^{-z}} ;
- probit : G(z)=\Phi(z), la fonction de répartition de la loi normale standard.
Les paramètres s’estiment par maximum de vraisemblance ; contrairement à la régression linéaire, l’effet marginal \partial\mathbb{P}(Y=1\mid X)/\partial X = g(\alpha+\beta X)\,\beta dépend du point X où il est évalué.
Les modèles logit/probit sont l’outil de base du scoring de crédit : à partir de caractéristiques d’un emprunteur (endettement, historique de paiement, revenu), estimer la probabilité de défaut \mathbb{P}(\text{défaut}=1\mid X). Le score obtenu sert directement à la décision d’octroi de crédit et à la tarification du risque.
Ruptures et changements
Détecter une rupture à une date connue
Pour tester si les coefficients d’une régression changent à une date connue \tau (avant/après une crise, un changement de politique monétaire…), on compare la somme des carrés des résidus RSS de la régression poolée (un seul modèle sur tout l’échantillon) à la somme RSS_1+RSS_2 des régressions estimées séparément sur chaque sous-période : F = \dfrac{\big[RSS-(RSS_1+RSS_2)\big]/k}{(RSS_1+RSS_2)/(n-2k)} \ \sim\ F(k,\,n-2k) \text{ sous } H_0\text{ (pas de rupture)}, où k est le nombre de paramètres et n=n_1+n_2.
Quand la date de rupture est inconnue
Le test de Chow suppose la date de rupture connue. Les modèles à changement de régime (Hamilton, 1989) vont plus loin : un état caché s_t (par exemple, « marché calme » ou « marché en crise »), gouverné par une chaîne de Markov avec des probabilités de transition p_{ij}=\mathbb{P}(s_t=j\mid s_{t-1}=i), détermine à chaque date quel régime de paramètres s’applique. L’estimation (par un algorithme de filtrage, hors du cadre de ce cours) fournit à la fois les paramètres de chaque régime et la probabilité, à chaque date, d’être dans l’un ou l’autre état.
Un modèle à changement de régime appliqué à la volatilité distingue naturellement des périodes de calme et de turbulence, avec des dynamiques (et des persistances GARCH, chapitre 3) différentes dans chaque état — plus réaliste qu’un unique modèle GARCH appliqué sur tout l’historique. De même, la forme de la courbe des taux (plate, croissante, inversée) peut être associée à des régimes distincts de politique monétaire, chacun avec sa propre dynamique.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- Régression quantile : estime Q_Y(q\mid X) pour tout q, révèle l’hétéroscédasticité, et coïncide avec la VaR conditionnelle — utile pour des couvertures asymétriques ciblant le risque de baisse.
- Probit/logit : modélisent \mathbb{P}(Y=1\mid X) pour une variable binaire (scoring de crédit).
- Test de Chow : détecte une rupture structurelle à une date connue ; les modèles à changement de régime généralisent au cas d’une date inconnue.
Nous avons maintenant tout un arsenal de modèles (facteurs, GARCH, cointégration, copules, régression quantile, changement de régime). Comment choisir le meilleur, et comment vérifier qu’il prévoit réellement bien ? C’est l’objet du dernier chapitre de ce bloc.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)