Échantillonnage

Échantillonnage · Chapitre 6

Le sondage stratifié

Le principe

Des provinces qui ne se ressemblent pas

Des moyennes différentes, des ménages très dispersés

Les moyennes vont de 5\,979 dh (Al Hoceïma) à 8\,621 dh (Tanger-Assilah). Mais à l’intérieur de chaque province, les dépenses vont de moins de 1\,600 dh à plus de 18\,000 dh : les boîtes se chevauchent. Tirer séparément dans chaque province rend-il l’enquête plus précise ?

Tirer séparément dans chaque strate

Le plan stratifié

On partage la population U en H strates U_1, \dots, U_H, disjointes et qui la recouvrent entièrement. Dans chaque strate h, on tire un sondage aléatoire simple de n_h unités, indépendamment des autres strates. La taille de l’échantillon est n = \sum_h n_h.

Trois raisons de stratifier
  1. La précision : si les strates sont homogènes, l’estimation varie moins d’un échantillon à l’autre.
  2. Des résultats par strate : chaque province est sûre d’avoir des ménages dans l’échantillon, en nombre choisi à l’avance.
  3. Le terrain : une équipe d’enquêteurs et un budget par province.

Les strates de la population du cours

Les notations, strate par strate

Population : N_h unités, poids W_h = N_h/N, moyenne \overline{Y}_h, variance S_h^2 (en N_h - 1). Échantillon : n_h unités, taux f_h = n_h/N_h, moyenne \overline{y}_h, variance s_h^2 (en n_h - 1).

Les quatre provinces
Province N_h W_h \overline{Y}_h S_h
Tanger-Assilah 820 0{,}41 8\,621{,}04 4\,271{,}19
Tétouan 560 0{,}28 8\,145{,}93 3\,873{,}11
Larache 380 0{,}19 7\,254{,}97 3\,593{,}17
Al Hoceïma 240 0{,}12 5\,979{,}21 2\,899{,}90
Ensemble 2\,000 1 7\,911{,}44 3\,984{,}29

La moyenne générale est la moyenne des \overline{Y}_h pondérée par les W_h : \overline{Y} = \sum_h W_h\,\overline{Y}_h.

Un plan déjà rencontré

La mini-population en deux strates

Au chapitre 1, on tirait un ménage parmi A, B, C (dépenses 4, 6, 7 milliers de dh) et un ménage parmi D, E (9, 14). C’est un plan stratifié : H = 2, \qquad N_1 = 3,\; N_2 = 2, \qquad n_1 = n_2 = 1, \qquad W_1 = \tfrac35,\; W_2 = \tfrac25

La moyenne pondérée était déjà l’estimateur stratifié

La moyenne pondérée \frac35\,y_1 + \frac25\,y_2 du chapitre 1 est exactement W_1\,\overline{y}_1 + W_2\,\overline{y}_2. Ce chapitre en calcule la variance, et montre pourquoi elle est plus petite que celle du sondage aléatoire simple de deux ménages.

L’estimateur et sa variance

L’estimateur stratifié

Moyenne et total

\overline{y}_{st} = \sum_{h=1}^{H} W_h\,\overline{y}_h \qquad\qquad \widehat{Y}_{st} = N\,\overline{y}_{st} = \sum_{h=1}^{H} N_h\,\overline{y}_h

Sans biais, en une ligne

Dans chaque strate, \overline{y}_h est la moyenne d’un sondage aléatoire simple : E(\overline{y}_h) = \overline{Y}_h (chapitre 3). Donc E(\overline{y}_{st}) = \sum_h W_h\,\overline{Y}_h = \overline{Y} C’est aussi l’estimateur de Horvitz-Thompson (chapitre 2) : \pi_k = n_h/N_h dans la strate h, d’où \sum_{k \in S} y_k/\pi_k = \sum_h \frac{N_h}{n_h}\sum_{k \in S_h} y_k = \sum_h N_h\,\overline{y}_h.

Sa variance

Une somme de variances de strates

V(\overline{y}_{st}) = \sum_{h=1}^{H} W_h^2\,(1 - f_h)\,\frac{S_h^2}{n_h}

La démonstration

Les tirages des strates sont indépendants : les covariances entre les \overline{y}_h sont nulles, et V\Big(\sum_h W_h\,\overline{y}_h\Big) = \sum_h W_h^2\,V(\overline{y}_h), \qquad V(\overline{y}_h) = (1 - f_h)\,\frac{S_h^2}{n_h} \text{ (chapitre 3)} Seules les dispersions à l’intérieur des strates apparaissent : les écarts entre les moyennes \overline{Y}_h ne comptent plus.

Démonstration : L’estimateur stratifié, sans biais, et sa variance

Les strates sont tirées indépendamment. Notons \overline{y}_h la moyenne de l’échantillon tiré dans la strate h. Pour g \neq h, le tirage dans la strate g ne dépend pas de celui de la strate h : \overline{y}_g et \overline{y}_h sont des variables aléatoires indépendantes, donc \mathrm{Cov}(\overline{y}_g, \overline{y}_h) = 0.

Pas de biais. Dans la strate h, le tirage est un sondage aléatoire simple : E(\overline{y}_h) = \overline{Y}_h (chapitre 3). Par linéarité de l’espérance, E(\overline{y}_{st}) = \sum_h W_h\,E(\overline{y}_h) = \sum_h \frac{N_h}{N}\cdot\frac{1}{N_h}\sum_{k \in U_h} y_k = \frac1N\sum_{k \in U} y_k = \overline{Y}. La variance. La variance d’une somme est la somme des variances et des covariances ; ici les covariances sont nulles : V(\overline{y}_{st}) = \sum_h W_h^2\,V(\overline{y}_h) + \sum_{g \neq h} W_g\,W_h\,\underbrace{\mathrm{Cov}(\overline{y}_g, \overline{y}_h)}_{0} = \sum_h W_h^2\,(1 - f_h)\,\frac{S_h^2}{n_h}, car, pour un sondage aléatoire simple de n_h unités parmi N_h, V(\overline{y}_h) = (1 - f_h)\,S_h^2/n_h (chapitre 3).

Le même résultat par Horvitz-Thompson. Une unité k de la strate h a la probabilité d’inclusion \pi_k = n_h/N_h. Deux unités k et l de strates différentes sont tirées indépendamment : \pi_{kl} = \pi_k\,\pi_l, donc \Delta_{kl} = 0. Dans la formule du chapitre 2, V(\widehat{Y}_{HT}) = \sum_{k \in U}\sum_{l \in U} \Delta_{kl}\,\frac{y_k}{\pi_k}\,\frac{y_l}{\pi_l}, seuls les couples d’une même strate survivent : la double somme se découpe en une somme sur les strates, chaque terme étant la variance de \widehat{Y}_h = N_h\,\overline{y}_h. On retrouve V(\widehat{Y}_{HT}) = \sum_h N_h^2\,V(\overline{y}_h) = N^2\,V(\overline{y}_{st}), et l’estimateur de Horvitz-Thompson \sum_{k \in S} y_k/\pi_k = \sum_h N_h\,\overline{y}_h est bien N\,\overline{y}_{st}.

La variance estimée est sans biais. Dans chaque strate, E(s_h^2) = S_h^2 (chapitre 3). Par linéarité, E\big(\widehat{V}(\overline{y}_{st})\big) = \sum_h W_h^2\,(1 - f_h)\,\frac{E(s_h^2)}{n_h} = V(\overline{y}_{st}). Ce que cela dit. La variance du plan stratifié est la somme, pondérée par W_h^2, des variances des strates : seules les dispersions S_h^2 à l’intérieur des strates y figurent, jamais les écarts entre moyennes de strates. C’est l’origine du gain de précision. Sur la mini-population, on retrouve 0{,}36 \times 1{,}556 + 0{,}16 \times 6{,}25 = 1{,}56.

Sur la mini-population

La formule
  • Strate 1 (4, 6, 7) : \overline{Y}_1 = 17/3, S_1^2 = 7/3, f_1 = 1/3, d’où V(\overline{y}_1) = \frac23 \times \frac73 = 1{,}556.
  • Strate 2 (9, 14) : \overline{Y}_2 = 11{,}5, S_2^2 = 12{,}5, f_2 = 1/2, d’où V(\overline{y}_2) = 6{,}25. V(\overline{y}_{st}) = 0{,}36 \times 1{,}556 + 0{,}16 \times 6{,}25 = 0{,}56 + 1 = 1{,}56
La vérification par énumération

Les six moyennes pondérées du chapitre 1 valent 6 ; 8 ; 7{,}2 ; 9{,}2 ; 7{,}8 ; 9{,}8. Leur moyenne est 8, et leurs carrés d’écarts à 8 somment à 9{,}36 : V = 9{,}36/6 = 1{,}56. Le sondage aléatoire simple de deux ménages avait une variance de 4{,}35 : stratifier l’a divisée par 2{,}8.

Estimer la variance

La variance estimée

\widehat{V}(\overline{y}_{st}) = \sum_{h=1}^{H} W_h^2\,(1 - f_h)\,\frac{s_h^2}{n_h} Elle est sans biais, car s_h^2 est sans biais pour S_h^2 dans chaque strate (chapitre 3). Intervalle de confiance à 95\,\% : \overline{y}_{st} \pm 1{,}96\,\sqrt{\widehat{V}(\overline{y}_{st})}.

Au moins deux unités par strate

Avec n_h = 1, s_h^2 ne peut pas être calculée. Le plan de la mini-population a une variance, 1{,}56, mais son échantillon ne permet pas de l’estimer. En pratique, on tire au moins deux unités dans chaque strate, ou l’on regroupe les strates trop petites.

L’allocation proportionnelle

Répartir l’échantillon comme la population

L’allocation proportionnelle

Chaque strate reçoit, dans l’échantillon, sa part dans la population : n_h = n\,\frac{N_h}{N} = n\,W_h \qquad\text{d'où}\qquad f_h = \frac{n_h}{N_h} = \frac{n}{N} = f

200 ménages répartis entre les provinces
Province Tanger-Assilah Tétouan Larache Al Hoceïma
N_h 820 560 380 240
n_h = 200\,W_h 82 56 38 24

Ici les n_h tombent juste. Par milieu, 200 \times 0{,}719 = 143{,}8 et 200 \times 0{,}281 = 56{,}2 s’arrondissent à 144 urbains et 56 ruraux.

Un échantillon autopondéré

Le même poids pour tous

Avec l’allocation proportionnelle, \pi_k = n_h/N_h = f dans toutes les strates : chaque ménage tiré a le poids d_k = N/n = 10. Et comme \frac{N_h}{N}\cdot\frac{1}{n_h} = \frac1n, \overline{y}_{st} = \sum_h \frac{N_h}{N}\,\frac{1}{n_h}\sum_{k \in S_h} y_k = \frac{1}{n}\sum_{k \in S} y_k = \overline{y}

Commode pour l’utilisateur

L’échantillon s’exploite comme un sondage aléatoire simple : moyennes et proportions non pondérées sont sans biais. Les arrondis l’écartent à peine de l’idéal : par milieu, les poids valent 1\,438/144 = 9{,}99 et 562/56 = 10{,}04. Mais attention : la variance, elle, n’est pas celle d’un sondage aléatoire simple.

La variance sous allocation proportionnelle

Une formule simple

V_{prop} = \frac{1-f}{n}\sum_h W_h\,S_h^2 \qquad\text{à comparer à}\qquad V_{SAS} = \frac{1-f}{n}\,S^2 Il suffit de remplacer n_h = n\,W_h et f_h = f dans la formule générale : W_h^2\,(1-f)\,\dfrac{S_h^2}{n\,W_h} = \dfrac{1-f}{n}\,W_h\,S_h^2.

Démonstration : Allocation proportionnelle, poids égaux et variance

Les probabilités d’inclusion sont égales. Avec n_h = n\,N_h/N, le taux de sondage est le même dans toutes les strates : f_h = n_h/N_h = n/N = f. Dans un sondage aléatoire simple de n_h unités parmi N_h, chaque unité est tirée avec la probabilité n_h/N_h ; donc \pi_k = f pour toute unité k de la population, et le poids d_k = 1/\pi_k = N/n est le même pour toutes.

L’estimateur est la moyenne simple. De n_h/N_h = n/N on tire \dfrac{N_h}{N\,n_h} = \dfrac1n, d’où \overline{y}_{st} = \sum_h \frac{N_h}{N}\cdot\frac{1}{n_h}\sum_{k \in S_h} y_k = \frac1n\sum_h\sum_{k \in S_h} y_k = \frac1n\sum_{k \in S} y_k = \overline{y}. Sans aucune pondération, la moyenne des n ménages est donc sans biais. Quand n\,W_h n’est pas entier, on arrondit et les poids N_h/n_h ne sont plus égaux qu’à peu près (par milieu : 9{,}99 et 10{,}04).

La variance. Dans la formule générale, remplaçons n_h = n\,W_h et f_h = f : W_h^2\,(1 - f)\,\frac{S_h^2}{n\,W_h} = \frac{1 - f}{n}\,W_h\,S_h^2 \qquad\text{donc}\qquad V_{prop} = \frac{1 - f}{n}\sum_h W_h\,S_h^2. La comparaison. Le sondage aléatoire simple a V_{SAS} = \dfrac{1 - f}{n}\,S^2 : le facteur \dfrac{1-f}{n} est le même. Seul change le facteur de dispersion : la variance totale S^2 est remplacée par la moyenne pondérée des variances de strates.

Ce que cela dit. Avec l’allocation proportionnelle, l’échantillon a les mêmes poids qu’un sondage aléatoire simple, et se lit comme lui ; mais sa variance n’est pas la même, car les échantillons qui ne respectent pas la répartition (n_1, \dots, n_H) sont exclus. Sur les provinces : \sum_h W_h\,S_h^2 = 15\,142\,148, V_{prop} = 68\,139{,}7 (erreur-type 261{,}0 dh) contre V_{SAS} = 71\,435{,}5 (267{,}3 dh).

Les provinces, 200 ménages

\sum_h W_h S_h^2 = 7\,479\,671 + 4\,200\,279 + 2\,453\,070 + 1\,009\,128 = 15\,142\,148 V_{prop} = \frac{0{,}9}{200} \times 15\,142\,148 = 68\,139{,}7, soit une erreur-type de 261{,}0 dh, contre V_{SAS} = 71\,435{,}5 et 267{,}3 dh.

L’effet de plan

Comparer un plan au sondage aléatoire simple

L’effet de plan rapporte la variance d’un plan à celle d’un sondage aléatoire simple de même taille : \mathit{deff} = \frac{V_{plan}}{V_{SAS}} \qquad\text{ici}\qquad \mathit{deff} = \frac{\sum_h W_h\,S_h^2}{S^2} Moins de 1 : le plan est plus précis. Le chapitre 7 en fera l’outil de comparaison de tous les plans.

Stratifier par province

\mathit{deff} = 15\,142\,148/15\,874\,548 = 0{,}954 : la variance baisse de 4{,}6\,\%, l’erreur-type passe de 267{,}3 à 261{,}0 dh. Un gain réel, mais modeste, alors que les moyennes provinciales diffèrent de plus de 2\,600 dh. La section suivante dit pourquoi.

D’où vient le gain

La décomposition de la variance

Variance totale, variance intra, variance inter

(N-1)\,S^2 = \sum_h (N_h - 1)\,S_h^2 + \sum_h N_h\,(\overline{Y}_h - \overline{Y})^2 En divisant par N - 1, avec N_h - 1 \approx N_h et N - 1 \approx N : S^2 \approx \underbrace{\sum_h W_h\,S_h^2}_{\text{intra-strates}} + \underbrace{\sum_h W_h\,(\overline{Y}_h - \overline{Y})^2}_{\text{inter-strates}}

La démonstration

Dans la strate h, on écrit y_k - \overline{Y} = (y_k - \overline{Y}_h) + (\overline{Y}_h - \overline{Y}) et l’on élève au carré. Le double produit disparaît, car \sum_{k \in U_h}(y_k - \overline{Y}_h) = 0 ; il reste (N_h - 1)\,S_h^2 + N_h\,(\overline{Y}_h - \overline{Y})^2. On additionne sur les strates. C’est la décomposition de la variance de la statistique descriptive : variance intra plus variance inter.

Démonstration : La décomposition de la variance en intra et inter

On découpe la somme par strates. Les unités de la population se répartissent entre les strates, donc (N-1)\,S^2 = \sum_{k \in U}(y_k - \overline{Y})^2 = \sum_h \sum_{k \in U_h}(y_k - \overline{Y})^2. Dans une strate. On insère la moyenne de la strate : y_k - \overline{Y} = (y_k - \overline{Y}_h) + (\overline{Y}_h - \overline{Y}). En élevant au carré et en sommant sur k \in U_h, \sum_{k \in U_h}(y_k - \overline{Y})^2 = \sum_{k \in U_h}(y_k - \overline{Y}_h)^2 + 2\,(\overline{Y}_h - \overline{Y})\sum_{k \in U_h}(y_k - \overline{Y}_h) + N_h\,(\overline{Y}_h - \overline{Y})^2. Le terme du milieu est nul : \sum_{k \in U_h}(y_k - \overline{Y}_h) = N_h\,\overline{Y}_h - N_h\,\overline{Y}_h = 0. Le premier vaut (N_h - 1)\,S_h^2 par définition de S_h^2. Le dernier ne dépend pas de k : on a multiplié (\overline{Y}_h - \overline{Y})^2 par le nombre N_h d’unités.

On additionne les strates. (N-1)\,S^2 = \sum_h (N_h - 1)\,S_h^2 + \sum_h N_h\,(\overline{Y}_h - \overline{Y})^2. Passage aux variances. Divisons par N. Pour des strates de quelques centaines d’unités, N_h - 1 \approx N_h et N - 1 \approx N, avec une erreur relative de l’ordre de 1/N_h : S^2 \approx \sum_h W_h\,S_h^2 + \sum_h W_h\,(\overline{Y}_h - \overline{Y})^2. Ce que cela dit. La variance totale se partage en deux parts : celle des écarts à l’intérieur des strates (variance intra) et celle des écarts entre les moyennes des strates (variance inter). Un plan stratifié ne conserve que la première. Sur les provinces, après division par N, l’intra vaut 15\,142\,148 et l’inter 751\,744 : leur somme, 15\,893\,893, dépasse S^2 = 15\,874\,548 de 0{,}12\,\% seulement.

Le gain est la variance inter-strates

Ce que la stratification retire

V_{SAS} - V_{prop} = \frac{1-f}{n}\Big(S^2 - \sum_h W_h\,S_h^2\Big) \approx \frac{1-f}{n}\sum_h W_h\,(\overline{Y}_h - \overline{Y})^2 \;\geq\; 0 Stratifier retire de la variance la part due aux écarts entre strates : \mathit{deff} \approx 1 - \text{part inter}.

Démonstration : Le gain exact de la stratification proportionnelle

Le gain. Les deux variances ont le même facteur \frac{1-f}{n}, donc V_{SAS} - V_{prop} = \frac{1-f}{n}\Big(S^2 - \sum_h W_h\,S_h^2\Big). Le calcul sans approximation. Posons B = \sum_h N_h\,(\overline{Y}_h - \overline{Y})^2. La décomposition donne S^2 = \dfrac{1}{N-1}\Big(\sum_h N_h\,S_h^2 - \sum_h S_h^2 + B\Big), tandis que \sum_h W_h\,S_h^2 = \dfrac1N\sum_h N_h\,S_h^2. Comme \dfrac{1}{N-1} - \dfrac1N = \dfrac{1}{N\,(N-1)}, la différence vaut \begin{align*} S^2 - \sum_h W_h\,S_h^2 &= \frac{1}{N(N-1)}\sum_h N_h\,S_h^2 - \frac{1}{N-1}\sum_h S_h^2 + \frac{B}{N-1}\\ &= \frac{B}{N-1} - \frac{1}{N(N-1)}\sum_h (N - N_h)\,S_h^2. \end{align*} D’où V_{SAS} - V_{prop} = \frac{1-f}{n}\left[\frac{B}{N-1} - \frac{1}{N(N-1)}\sum_h (N - N_h)\,S_h^2\right]. Lecture. Le premier terme est la part inter, positive. Le second est soustrait ; il est de l’ordre de 1/N fois les variances de strates, et c’est lui que le signe \approx du cours néglige. Sur les provinces, le premier terme vaut 3\,384{,}5 et le second 88{,}7 : le gain exact est 3\,295{,}8, que l’approximation du cours donne à 3\,382{,}8.

Quand le second terme l’emporte. Quatre unités de valeurs 1, 3, 1, 3, en deux strates \{1, 3\} et \{1, 3\} : les moyennes de strates sont égales (B = 0), S^2 = 4/3 et \sum_h W_h S_h^2 = 2. Avec une unité tirée par strate, f = 1/2 et n = 2 : V_{SAS} - V_{prop} = \frac14\left(\frac43 - 2\right) = -\frac16. La stratification fait perdre de la précision (V_{prop} = 1/2 contre V_{SAS} = 1/3, ce que confirme l’énumération des échantillons).

Ce que cela dit. Stratifier avec l’allocation proportionnelle retire la variance inter-strates, au prix d’un petit terme correctif. Sur de grandes strates ce terme est négligeable et le plan ne perd pratiquement jamais ; sur des strates minuscules (ici N_h = 2) et sans écart entre moyennes, il peut l’emporter.

Les provinces

Part inter : 206\,449 + 15\,396 + 81\,879 + 448\,020 = 751\,744, soit 4{,}7\,\% de S^2. Al Hoceïma en fournit 60\,\% à elle seule : petite, mais très différente. Gain : V_{SAS} - V_{prop} = 3\,295{,}8, proche de 0{,}0045 \times 751\,744 = 3\,382{,}8.

Cinq façons de stratifier

Ce que montre la figure
  • Province et milieu captent à peine 5\,\% de la variance ; les croiser, 7{,}4\,\% (\mathit{deff} = 0{,}929).
  • La taille du ménage en capte 37{,}6\,\% : la variance baisserait de plus d’un tiers.
  • Le district, 17{,}9\,\% : un atout pour stratifier, un handicap pour tirer des districts entiers (chapitre 9).

Le cas d’une proportion

Les ménages connectés, stratifiés par milieu
Milieu W_h P_h S_h^2 = \frac{N_h}{N_h - 1}P_h(1 - P_h)
Rural 0{,}281 0{,}434 0{,}24610
Urbain 0{,}719 0{,}768 0{,}17844

\sum_h W_h S_h^2 = 0{,}06916 + 0{,}12830 = 0{,}19746, contre S^2 = 0{,}21983 : \mathit{deff} = 0{,}898. L’erreur-type passe de 0{,}0315 à 0{,}0298.

Une stratification sert plus ou moins chaque variable

Le taux de connexion diffère beaucoup entre milieux : la part inter atteint 10{,}2\,\%, contre 4{,}3\,\% pour la dépense. À l’inverse, la province sert peu pour internet (\mathit{deff} = 0{,}966). Une enquête mesure plusieurs variables : la stratification est un compromis.

Stratifier en pratique

Choisir les strates

Trois conditions
  1. La variable de stratification est connue pour chaque unité de la base de sondage, avant le tirage.
  2. Elle est liée à la variable d’intérêt : strates homogènes, moyennes éloignées.
  3. Elle sert la diffusion et le terrain : résultats par province ou par milieu, équipes par zone.
La province ou la taille du ménage

Supposons que la base donne la taille de chaque ménage. Pour la dépense, stratifier par taille fait bien mieux que par province (\mathit{deff} de 0{,}626 contre 0{,}954), mais ne garantit aucun effectif par province. On croise souvent les deux : province \times taille, 20 strates, \mathit{deff} = 0{,}553.

Ce que montre la simulation

20 000 enquêtes de 200 ménages pour chaque plan

Les trois histogrammes sont centrés sur \overline{Y} : pas de biais. Stratifier par province se voit à peine (261{,}6 contre 263{,}8) ; par taille, l’écart-type baisse de 20\,\%. À moins de 300 dh de \overline{Y} : 85\,\% des estimations stratifiées par taille, 74\,\% en aléatoire simple.

Un tirage stratifié sur la population

82, 56, 38 et 24 ménages tirés dans les provinces
Province n_h \overline{y}_h s_h vraie \overline{Y}_h
Tanger-Assilah 82 8\,264{,}88 3\,580 8\,621{,}04
Tétouan 56 7\,644{,}29 3\,993 8\,145{,}93
Larache 38 6\,498{,}42 4\,075 7\,254{,}97
Al Hoceïma 24 5\,643{,}75 2\,585 5\,979{,}21
Comment on a tiré

Province après province, on tire sans remise n_h ménages parmi les N_h, avec le générateur numpy.random.default_rng(2026). La graine fixée rend le tirage reproductible : chacun peut retrouver ces 200 ménages.

L’estimation et sa marge

Les calculs

\overline{y}_{st} = 0{,}41 \times 8\,264{,}88 + \dots + 0{,}12 \times 5\,643{,}75 = 7\,440{,}95 dh : c’est la moyenne simple des 200 ménages, car l’échantillon est autopondéré. \widehat{V} = \frac{0{,}9}{200}\sum_h W_h\,s_h^2 = 0{,}0045 \times 13\,676\,976 = 61\,546{,}4 Erreur-type 248{,}1 dh ; intervalle de confiance à 95\,\% : [6\,954{,}7\,;7\,927{,}2].

Un échantillon malchanceux

L’estimation se trompe de -470 dh, contre -68 dh pour l’échantillon aléatoire simple fil rouge : les quatre provinces sont sous-estimées à la fois. Un tel écart, 1{,}8 erreur-type, arrive environ 7 fois sur 100 ; l’intervalle contient \overline{Y} = 7\,911{,}44, de justesse. Un échantillon ne juge pas un plan : seule la distribution sur tous les tirages le fait.

Les règles pratiques

Ce qu’il faut respecter
  • Les strates sont disjointes et couvrent toute la base : chaque ménage appartient à une strate et une seule.
  • On tire au moins deux unités par strate, pour pouvoir estimer la variance.
  • Si l’allocation n’est pas proportionnelle, chaque unité tirée garde son poids d_k = N_h/n_h : il faut pondérer (chapitre 1).
Ce que la stratification ne fait pas

Avec l’allocation proportionnelle, stratifier ne fait pratiquement jamais perdre de précision : si les moyennes des strates sont égales, on retrouve le sondage aléatoire simple. Mais la stratification ne corrige ni une base incomplète, ni la non-réponse (chapitre 14). Et une autre répartition de l’échantillon peut faire mieux, ou moins bien : c’est l’objet du chapitre 7.

S’entraîner

Exercice 1 : énumérer un plan stratifié

Cinq boutiques en deux strates

Cinq boutiques réalisent un chiffre d’affaires mensuel de 3, 5 et 7 milliers de dh (les petites) et de 12 et 16 milliers de dh (les grandes). On tire 2 petites et 1 grande, par sondage aléatoire simple dans chaque strate.

  1. Calculer W_1, W_2, \overline{Y}, S_1^2 et S_2^2.
  2. Énumérer les 6 échantillons possibles et la valeur de \overline{y}_{st} pour chacun. Vérifier que E(\overline{y}_{st}) = \overline{Y}.
  3. Calculer V(\overline{y}_{st}) par énumération, puis par la formule.
  4. Comparer à un sondage aléatoire simple de 3 boutiques, sachant que S^2 = 28{,}3.

Exercice 1 : solution

Les six échantillons
  1. W_1 = 3/5, W_2 = 2/5, \overline{Y} = 43/5 = 8{,}6 ; S_1^2 = (4 + 0 + 4)/2 = 4 ; S_2^2 = (4 + 4)/1 = 8.
  2. Les paires de petites ont pour moyennes 4, 5 et 6. \overline{y}_{st} = 0{,}6\,\overline{y}_1 + 0{,}4\,y_2 vaut 7{,}2 ; 8{,}8 ; 7{,}8 ; 9{,}4 ; 8{,}4 ; 10. Moyenne : 51{,}6/6 = 8{,}6 = \overline{Y}.
La variance
  1. Écarts à 8{,}6 : \pm 1{,}4, \pm 0{,}8 et \pm 0{,}2 ; V = (2 \times 1{,}96 + 2 \times 0{,}64 + 2 \times 0{,}04)/6 = 5{,}28/6 = 0{,}88. Formule : 0{,}36 \times \frac13 \times \frac42 + 0{,}16 \times \frac12 \times \frac81 = 0{,}24 + 0{,}64 = 0{,}88.
  2. V_{SAS} = (1 - 3/5) \times 28{,}3/3 = 3{,}77 : stratifier divise la variance par plus de quatre. Les deux strates sont très différentes : la variance inter domine.

Exercice 2 : le milieu comme strate

Urbain et rural, 200 ménages
Milieu N_h \overline{Y}_h S_h
Urbain 1\,438 8\,429{,}78 4\,134{,}11
Rural 562 6\,585{,}14 3\,215{,}03

On tire n = 200 ménages avec allocation proportionnelle. On rappelle S^2 = 15\,874\,548.

  1. Retrouver \overline{Y}. Calculer la part inter-strates \sum_h W_h(\overline{Y}_h - \overline{Y})^2 et la rapporter à S^2.
  2. Calculer V_{prop} et l’effet de plan. Comparer à la stratification par province (0{,}954).
  3. Pour la proportion de ménages connectés, l’effet de plan vaut 0{,}898. Pourquoi est-il plus faible ?

Exercice 2 : solution

La décomposition
  1. W_h = 0{,}719 et 0{,}281 ; \overline{Y} = 0{,}719 \times 8\,429{,}78 + 0{,}281 \times 6\,585{,}14 = 7\,911{,}44. Inter : 0{,}719 \times 518{,}34^2 + 0{,}281 \times 1\,326{,}29^2 = 193\,180 + 494\,294 = 687\,474, soit 4{,}3\,\% de S^2.
  2. \sum_h W_h S_h^2 = 12\,288\,314 + 2\,904\,536 = 15\,192\,850 ; V_{prop} = 0{,}0045 \times 15\,192\,850 = 68\,367{,}8 ; \mathit{deff} = 15\,192\,850/15\,874\,548 = 0{,}957, à peine moins bon que la province.
Internet
  1. Les taux de connexion diffèrent bien plus entre milieux (0{,}434 contre 0{,}768) que les dépenses : la part inter de la variance est plus grande (10{,}2\,\% contre 4{,}3\,\%), donc le gain aussi.

Exercice 3 : cent ménages par milieu

Un échantillon qui n’est pas proportionnel

Comme à l’exercice 3 du chapitre 1, on tire 100 ménages urbains et 100 ruraux (graine 2026) :

Milieu N_h n_h \overline{y}_h s_h
Urbain 1\,438 100 8\,280{,}30 3\,527{,}90
Rural 562 100 6\,463{,}60 3\,250{,}92
  1. Calculer \overline{y}_{st}, puis la moyenne non pondérée des 200 ménages. Laquelle retenir ?
  2. Calculer \widehat{V}(\overline{y}_{st}) et l’intervalle de confiance à 95\,\%.
  3. L’échantillon est-il autopondéré ?

Exercice 3 : solution

L’estimation
  1. \overline{y}_{st} = 0{,}719 \times 8\,280{,}30 + 0{,}281 \times 6\,463{,}60 = 5\,953{,}5 + 1\,816{,}3 = 7\,769{,}8 dh. Non pondérée : (8\,280{,}30 + 6\,463{,}60)/2 = 7\,371{,}95 dh, biaisée : les ruraux font la moitié de l’échantillon, mais 28\,\% de la population. On retient \overline{y}_{st}.
La précision
  1. \widehat{V} = 0{,}719^2\left(1 - \frac{100}{1\,438}\right)\frac{3\,527{,}90^2}{100} + 0{,}281^2\left(1 - \frac{100}{562}\right)\frac{3\,250{,}92^2}{100} = 59\,866{,}9 + 6\,860{,}1 = 66\,727{,}0 ; erreur-type 258{,}3 ; intervalle [7\,263{,}5\,;8\,276{,}1].
  2. Non : poids 14{,}38 en ville, 5{,}62 à la campagne. La variance exacte de ce plan, 88\,918, dépasse celle de l’allocation proportionnelle, 68\,368 : le chapitre 7 dira comment bien répartir.

Ce qu’il faut retenir

Le résumé du chapitre

Sept points
  1. Un plan stratifié tire un sondage aléatoire simple indépendant dans chaque strate.
  2. \overline{y}_{st} = \sum_h W_h\,\overline{y}_h est sans biais : c’est l’estimateur de Horvitz-Thompson.
  3. V(\overline{y}_{st}) = \sum_h W_h^2\,(1 - f_h)\,S_h^2/n_h, estimée avec les s_h^2 : n_h \geq 2.
  4. Allocation proportionnelle : échantillon autopondéré, V_{prop} = \frac{1-f}{n}\sum_h W_h S_h^2.
  5. S^2 \approx intra + inter : stratifier supprime la variance inter-strates.
  6. \mathit{deff} = V_{plan}/V_{SAS} : 0{,}954 par province, 0{,}626 par taille du ménage.
  7. On stratifie sur une variable connue dans la base, liée à y, utile à la diffusion.
La suite

L’allocation proportionnelle n’est pas la meilleure : le chapitre 7 répartit l’échantillon selon la dispersion et le coût des strates (Neyman), et compare tous les plans par leur effet de plan.

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