Échantillonnage

Échantillonnage · Chapitre 9

Le sondage par grappes

Tirer des paquets de ménages

Quand la liste des ménages manque

Le sondage par grappes

La population est partagée en N_I grappes : des groupes d’unités voisines (district, douar, immeuble, classe). On tire n_I grappes, puis l’on interroge toutes les unités des grappes tirées.

Deux raisons de tirer par grappes
  1. Pas de liste de ménages : une liste des districts suffit. On ne dénombre les ménages que dans les districts tirés.
  2. Le coût des déplacements : 200 ménages tirés au hasard sont dispersés dans toute la région ; 5 districts de 40 ménages se visitent en quelques jours, par une équipe qui reste sur place.

Les notations

Une grappe, deux nombres

La grappe i compte M_i unités ; son total est Y_i = \sum_{k \in i} y_k et sa moyenne \overline{Y}_i = Y_i/M_i. Alors N = \sum_{i=1}^{N_I} M_i \qquad\quad Y = \sum_{i=1}^{N_I} Y_i \qquad\quad \overline{M} = \frac{N}{N_I}

Les districts du cours
Grandeur Valeur
Nombre de districts N_I 50
Taille moyenne \overline{M} = 2\,000/50 40 ménages
Plus grand : district 1 (Tanger-Assilah) 71 ménages
Plus petit : district 46 (Al Hoceïma) 13 ménages
Total du district 1, Y_1 498\,040 dh

Les cinquante districts du cours

Les voisins se ressemblent

Si les ménages étaient répartis au hasard entre les districts, les moyennes resteraient presque toutes dans les fourchettes grises. Elles vont de 4\,005 à 12\,486 dh, et 20 districts sur 50 en sortent : les ménages d’un même district partagent un quartier, des prix, un accès aux services.

Estimer à partir de grappes entières

Tirer des districts entiers

Le plan

On tire n_I districts parmi N_I par sondage aléatoire simple. Un ménage est tiré si et seulement si son district l’est : \pi_k = \frac{n_I}{N_I} \qquad \pi_{kl} = \begin{cases} n_I/N_I & \text{même district} \\[2pt] \dfrac{n_I\,(n_I-1)}{N_I\,(N_I-1)} & \text{districts différents} \end{cases}

Démonstration : Les probabilités d’inclusion du tirage de grappes

Les grappes. Le tirage est un sondage aléatoire simple de n_I grappes parmi N_I : il y a \binom{N_I}{n_I} échantillons de grappes, équiprobables. Une grappe donnée figure dans \binom{N_I - 1}{n_I - 1} d’entre eux, et deux grappes données dans \binom{N_I - 2}{n_I - 2}. Donc P(i \in S_I) = \frac{\binom{N_I - 1}{n_I - 1}}{\binom{N_I}{n_I}} = \frac{n_I}{N_I}, \qquad P(i \in S_I \text{ et } i' \in S_I) = \frac{\binom{N_I - 2}{n_I - 2}}{\binom{N_I}{n_I}} = \frac{n_I\,(n_I - 1)}{N_I\,(N_I - 1)}. Les ménages. Un ménage k du district i est tiré si et seulement si son district l’est : \pi_k = P(i \in S_I) = n_I/N_I. Deux ménages du même district sont tirés ensemble si et seulement si leur district l’est : \pi_{kl} = n_I/N_I. Deux ménages de districts différents i et i' sont tirés ensemble si et seulement si les deux districts le sont : \pi_{kl} = n_I(n_I - 1)/\big(N_I(N_I - 1)\big).

La taille de l’échantillon est aléatoire. Elle vaut n = \sum_{i \in S_I} M_i, et E(n) = \sum_{k \in U}\pi_k = N\,\dfrac{n_I}{N_I} = n_I\,\overline{M}.

Ce que cela dit. Pour n_I = 5 districts sur 50 : \pi_k = 0{,}1 pour tous les ménages, \pi_{kl} = 0{,}1 pour deux voisins et 5 \times 4/(50 \times 49) = 0{,}0082 pour deux ménages de districts différents. La taille attendue est 5 \times 40 = 200 ménages ; selon les districts tirés, elle varie de 88 (les cinq plus petits) à 325 (les cinq plus grands).

Cinq districts parmi cinquante

\pi_k = 5/50 = 0{,}1 pour tous les ménages, comme dans un sondage aléatoire simple de 200 ménages. Mais deux voisins sont tirés ensemble avec la probabilité 0{,}1, deux ménages de districts différents avec 0{,}0082 seulement. Et n n’est pas fixé : de 88 ménages (les cinq plus petits districts) à 325 (les cinq plus grands), 200 en moyenne.

L’estimateur du total

Horvitz-Thompson appliqué aux grappes

Chaque ménage d’un district tiré a le poids d_k = N_I/n_I : \widehat{Y}_{HT} = \sum_{k \in S} \frac{y_k}{\pi_k} = \frac{N_I}{n_I}\sum_{i \in S_I} Y_i = N_I\,\overline{y}_I où S_I est l’ensemble des districts tirés et \overline{y}_I la moyenne de leurs totaux.

La grappe devient l’unité

C’est un sondage aléatoire simple de n_I unités parmi N_I, sur la variable Y_i. Le chapitre 3 donne donc, sans nouveau calcul, l’absence de biais et V(\widehat{Y}_{HT}) = N_I^2\,(1 - f_I)\,\frac{S_T^2}{n_I} \qquad\text{avec } f_I = \frac{n_I}{N_I} où S_T^2 est la variance des N_I totaux Y_i.

Démonstration : Horvitz-Thompson avec des grappes, sans biais et sa variance

Le poids. Tous les ménages d’un district tiré sont interrogés et ont la même probabilité d’inclusion \pi_k = n_I/N_I, donc le même poids N_I/n_I : \widehat{Y}_{HT} = \sum_{k \in S}\frac{y_k}{\pi_k} = \frac{N_I}{n_I}\sum_{i \in S_I}\sum_{k \in i} y_k = \frac{N_I}{n_I}\sum_{i \in S_I} Y_i = N_I\,\overline{y}_I, où \overline{y}_I est la moyenne des totaux Y_i des n_I districts tirés.

La grappe devient l’unité. Les n_I districts sont tirés par sondage aléatoire simple parmi N_I, et la variable observée sur le district i est Y_i. Par le chapitre 3, \overline{y}_I est sans biais pour la moyenne Y/N_I des Y_i, et de variance (1 - f_I)\,S_T^2/n_I. En multipliant par N_I : E(\widehat{Y}_{HT}) = Y, \qquad V(\widehat{Y}_{HT}) = N_I^2\,(1 - f_I)\,\frac{S_T^2}{n_I}. Ce que cela dit. Rien de nouveau à démontrer : une grappe tirée est une observation. La précision dépend du nombre de grappes, n_I, pas du nombre de ménages. Sur les trois immeubles de l’exercice 1 (totaux 10, 16, 14 ; N_I = 3, n_I = 2), les trois échantillons donnent \widehat{Y}_{HT} = \frac32 \times (26,\, 24,\, 30) = 39,\, 36,\, 45 : leur moyenne est 40 = Y et leur variance 14 = 3^2 \times \frac13 \times \frac{28/3}{2}.

La moyenne par ménage : deux estimateurs

Diviser par le nombre attendu ou effectif de ménages

\frac{\widehat{Y}_{HT}}{N} = \frac{\sum_{S_I} Y_i}{n_I\,\overline{M}} \qquad\qquad \overline{y}_R = \frac{\sum_{S_I} Y_i}{\sum_{S_I} M_i} Le second, l’estimateur par le ratio, est la moyenne des ménages effectivement enquêtés. C’est aussi \widehat{Y}_{HT}/\widehat{N}_{HT}, avec \widehat{N}_{HT} = \frac{N_I}{n_I}\sum_{S_I} M_i : il n’exige pas de connaître N.

Les deux variances

V\Big(\frac{\widehat{Y}_{HT}}{N}\Big) = \frac{1-f_I}{n_I\,\overline{M}^2}\,S_T^2 \qquad\qquad V(\overline{y}_R) \approx \frac{1-f_I}{n_I\,\overline{M}^2}\,S_e^2 S_e^2 est la variance des e_i = Y_i - \overline{Y} M_i = M_i\,(\overline{Y}_i - \overline{Y}). Le ratio a un léger biais, d’ordre 1/n_I (chapitre 12).

Démonstration : Le ratio, sa variance et le rôle des résidus

L’écart du ratio, exactement. Posons e_i = Y_i - \overline{Y}\,M_i = M_i\,(\overline{Y}_i - \overline{Y}). Alors \overline{y}_R - \overline{Y} = \frac{\sum_{i \in S_I} Y_i}{\sum_{i \in S_I} M_i} - \overline{Y} = \frac{\sum_{i \in S_I}\big(Y_i - \overline{Y}\,M_i\big)}{\sum_{i \in S_I} M_i} = \frac{\sum_{i \in S_I} e_i}{\sum_{i \in S_I} M_i}. Sur toute la population, \sum_{i} e_i = Y - \overline{Y}\,N = 0 : les e_i ont pour moyenne 0.

La linéarisation. Le dénominateur \sum_{S_I} M_i est aléatoire, d’espérance n_I\,\overline{M}. Remplaçons-le par cette espérance : \overline{y}_R - \overline{Y} \approx \frac{1}{\overline{M}}\cdot\frac{1}{n_I}\sum_{i \in S_I} e_i. Le second facteur est la moyenne de n_I valeurs e_i tirées par sondage aléatoire simple dans une population de N_I valeurs de moyenne 0 : par le chapitre 3, elle est centrée et de variance (1 - f_I)\,S_e^2/n_I. D’où V(\overline{y}_R) \approx \frac{1 - f_I}{n_I\,\overline{M}^2}\,S_e^2. La comparaison avec \widehat{Y}_{HT}/N. Comme \widehat{Y}_{HT}/N = \sum_{S_I} Y_i/(n_I\,\overline{M}), sa variance est la même avec S_T^2 à la place de S_e^2. Or Y_i = \overline{Y}\,M_i + e_i : le total d’un district contient sa taille, dont le ratio retire l’effet.

L’estimation. Sur l’échantillon, les e_i sont inconnus ; on les remplace par \hat{e}_i = Y_i - \overline{y}_R\,M_i, dont la somme sur les districts tirés est nulle par construction de \overline{y}_R.

Ce que cela dit. Le ratio corrige la taille de l’échantillon obtenu, et sa variance ne retient que les écarts de moyennes de districts. Sur les 2\,118\,760 échantillons de cinq districts, l’écart-type exact du ratio est 768 dh (la formule approchée donne 774) contre 1\,516{,}6 pour \widehat{Y}_{HT}/N ; le biais du ratio est de -25 dh. Sur les trois immeubles, les ratios 6{,}5 ; 8 ; 10 ont pour moyenne 8{,}17 \neq 8 : un biais de 0{,}17, sensible parce que n_I = 2.

Un tirage de cinq districts

Graine 2026 : les districts 2, 9, 19, 32 et 40
District 2 9 19 32 40 Total
Ménages M_i 46 31 68 41 29 215
Y_i (milliers) 438 265 614 283 189 1\,789
  • Horvitz-Thompson : 10 \times 1\,789\,000/2\,000 = 8\,945 dh, soit 1\,034 dh de trop.
  • Ratio : 1\,789\,000/215 = 8\,321 dh, soit 409 dh de trop (\overline{Y} = 7\,911).
Pourquoi les deux estimations diffèrent

Le tirage a ramené 215 ménages au lieu des 200 attendus. Horvitz-Thompson divise leur dépense totale par 200, le ratio par 215 : il corrige la taille de l’échantillon obtenu.

Estimer la variance sur l’échantillon

Remplacer S par s, calculé sur les grappes tirées

\widehat{V}\Big(\frac{\widehat{Y}_{HT}}{N}\Big) = \frac{1-f_I}{n_I\,\overline{M}^2}\,s_T^2 \qquad\qquad \widehat{V}(\overline{y}_R) = \frac{1-f_I}{n_I\,\overline{M}^2}\,s_e^2 s_T^2 : variance des totaux tirés ; s_e^2 : variance des résidus \hat{e}_i = Y_i - \overline{y}_R\,M_i.

Sur les cinq districts

Résidus : 55\,287 ; 7\,321 ; 47\,847 ; -58\,378 ; -52\,077. D’où \widehat{V}(\overline{y}_R) = 323\,989, un écart-type de 569 dh (contre 1\,795 dh pour Horvitz-Thompson), et l’intervalle à 95\,\% : 8\,321 \pm 2{,}776 \times 569, soit [6\,741\,;9\,901].

Cinq observations, pas deux cents

On a interrogé 215 ménages, mais la variance se calcule sur cinq grappes : d’où la loi de Student à n_I - 1 = 4 degrés de liberté (chapitre 4 de Statistique inférentielle), t = 2{,}776 au lieu de 1{,}96.

L’effet de grappe

La corrélation intra-grappe

Se ressembler entre voisins

\rho est la corrélation entre les valeurs de deux unités distinctes d’une même grappe. \rho = 0 : les ménages sont répartis au hasard entre les grappes ; \rho = 1 : ils sont identiques dans chaque grappe. Sa valeur minimale, -1/(M-1), correspond à des grappes qui sont chacune un modèle réduit de la population.

Sur les districts du cours

Par l’analyse de la variance (carrés moyens en millions de dh², M = 39{,}9 en moyenne ajustée) : \rho = \frac{CM_{\text{inter}} - CM_{\text{intra}}}{CM_{\text{inter}} + (M-1)\,CM_{\text{intra}}} = \frac{116{,}11 - 13{,}36}{116{,}11 + 38{,}9 \times 13{,}36} = 0{,}162 Les écarts entre districts font 17{,}9\,\% de la dispersion totale ; le hasard seul en ferait 2{,}5\,\%.

L’effet de plan des grappes

La formule de Kish

n_I grappes de même taille M, tirées par sondage aléatoire simple ; n = n_I M : V(\overline{y}) \approx \big[1 + (M-1)\,\rho\big] \times (1-f)\,\frac{S^2}{n} \qquad\qquad \mathit{deff} = 1 + (M-1)\,\rho

La démonstration courte

\overline{y} est la moyenne des n_I moyennes de grappes tirées : V(\overline{y}) = (1-f)\,S_b^2/n_I, où S_b^2 est la variance des moyennes de grappes. Une moyenne de M valeurs de variance S^2, deux à deux corrélées à \rho, a pour variance S_b^2 \approx \frac{1}{M^2}\big[M S^2 + M(M-1)\,\rho\, S^2\big] = \frac{S^2}{M}\big[1 + (M-1)\,\rho\big] Il reste à remplacer, avec n = n_I M.

Démonstration : L’effet de grappe, calcul exact

Les notations. Les N_I grappes ont la même taille M, N = N_I M ; y_{ij} est la valeur de la j-ième unité de la grappe i, et \sigma^2 = \frac1N\sum(y_{ij} - \overline{Y})^2 = \frac{N-1}{N}S^2. La corrélation intra-grappe \rho est la moyenne, sur les paires ordonnées de deux unités distinctes d’une même grappe, du produit (y_{ij} - \overline{Y})(y_{ik} - \overline{Y}), divisée par \sigma^2.

Un calcul exact. La somme des écarts d’une grappe est \sum_j (y_{ij} - \overline{Y}) = M\,(\overline{Y}_i - \overline{Y}). En élevant au carré, M^2\,(\overline{Y}_i - \overline{Y})^2 = \sum_j (y_{ij} - \overline{Y})^2 + \sum_{j \neq k}(y_{ij} - \overline{Y})(y_{ik} - \overline{Y}). Sommons sur les N_I grappes. Le premier terme donne N\sigma^2, le second N_I M(M-1)\,\rho\,\sigma^2 = N\,(M-1)\,\rho\,\sigma^2 : M^2\sum_i (\overline{Y}_i - \overline{Y})^2 = N\sigma^2\,\big[1 + (M-1)\,\rho\big], \quad\text{soit}\quad M^2\,(N_I - 1)\,S_b^2 = (N-1)\,S^2\,\big[1 + (M-1)\,\rho\big], où S_b^2 est la variance des moyennes de grappes.

La variance de la moyenne. \overline{y} est la moyenne des n_I moyennes de grappes tirées : V(\overline{y}) = (1 - f_I)\,S_b^2/n_I. Le sondage aléatoire simple de même taille n = n_I M a V_{SAS} = (1-f)\,S^2/n, avec f = f_I. Le rapport est \mathit{deff} = \frac{S_b^2/n_I}{S^2/(n_I M)} = \frac{M\,S_b^2}{S^2} = \big[1 + (M-1)\,\rho\big]\cdot\frac{N-1}{M\,(N_I - 1)}. Le dernier facteur vaut \dfrac{N_I M - 1}{N_I M - M}, voisin de 1 (il vaut 1{,}02 pour N_I = 50 et M = 40) : c’est l’approximation \mathit{deff} \approx 1 + (M-1)\,\rho du cours.

La valeur minimale de \rho. Comme S_b^2 \geq 0, on a 1 + (M-1)\,\rho \geq 0, soit \rho \geq -\dfrac{1}{M-1}, avec égalité si et seulement si toutes les moyennes de grappes valent \overline{Y} : chaque grappe est un modèle réduit de la population.

Ce que cela dit. Le coût des grappes se lit dans (M-1)\,\rho : même un petit \rho est multiplié par M-1. Pour les districts du cours, \rho = 0{,}162 et \mathit{deff} \approx 1 + 39 \times 0{,}162 = 7{,}32 : 200 ménages en cinq districts valent 200/7{,}32 = 27 ménages tirés au hasard.

Sur la population du cours

Quarante ménages par district

\mathit{deff} \approx 1 + 39 \times 0{,}162 = 7{,}32 200 ménages pris dans 5 districts donnent la précision de 200/7{,}32 = 27 ménages tirés au hasard : la taille effective du chapitre 7. Chaque district de 40 ménages vaut 5{,}5 ménages indépendants.

Un petit rho, un grand effet

\rho = 0{,}162 paraît faible, mais il est multiplié par M - 1 = 39. À précision égale, il faut 7{,}32 fois plus de ménages : dans une grande population (1 - f \approx 1), 200 \times 7{,}32 = 1\,464 ménages en districts de 40 pour égaler 200 ménages tirés au hasard.

L’effet de plan selon la taille des grappes

Deux leçons pour choisir les grappes
  • Petites : à \rho égal, des grappes de 10 ménages donnent \mathit{deff} = 1 + 9 \times 0{,}162 = 2{,}46.
  • Hétérogènes : à M = 40, \mathit{deff} vaut 1{,}78 si \rho = 0{,}02, mais 12{,}7 si \rho = 0{,}30. Un équipement partagé par tout un douar (eau, route) donne un \rho élevé.

Des grappes de tailles inégales

Pourquoi Horvitz-Thompson souffre

Les cinq plus grands et les cinq plus petits districts
Districts tirés Ménages HT/N Ratio
1, 6, 7, 14 et 19 (les plus grands) 325 14\,532 8\,943
15, 33, 38, 39 et 46 (les plus petits) 88 3\,295 7\,489

Vraie moyenne : \overline{Y} = 7\,911 dh.

Le total d’un district dépend surtout de sa taille

La corrélation entre Y_i et M_i vaut 0{,}87. Horvitz-Thompson subit toute la variation des tailles : S_T = 142\,991 dh. Le ratio n’en garde que les écarts de moyennes : S_e = 72\,958 dh, et S_e^2 ne fait que 26\,\% de S_T^2.

Horvitz-Thompson contre ratio

Cinq districts, deux cents ménages en moyenne
Plan et estimateur Écart-type \mathit{deff}
Aléatoire simple de 200 ménages 267{,}3 1
5 districts, Horvitz-Thompson 1\,516{,}6 32{,}2
5 districts, ratio 773{,}8 8{,}4
Le ratio divise l’effet de plan par quatre

Mais 8{,}4 reste lourd : 200 ménages en cinq districts valent 24 ménages tirés au hasard. C’est plus que les 7{,}3 de la formule de Kish : dans S_e^2, chaque district pèse M_i^2, et les grands districts comptent davantage que dans une population de districts égaux.

Tous les échantillons de cinq districts

Les 2 118 760 échantillons possibles

Horvitz-Thompson est exactement centré, mais se trompe de plus de 2\,000 dh une fois sur cinq (18{,}8\,\%). Le ratio a un biais de -25 dh, un écart-type de 768 dh (la formule approchée donnait 774), et ne se trompe de plus de 2\,000 dh que dans 0{,}7\,\% des cas.

Faire mieux

Trois remèdes
  1. Plus de districts : avec le ratio, l’écart-type passe de 774 dh (5 districts) à 516 dh (10) et 316 dh (20), mais chaque district coûte un déplacement.
  2. Tirer les grands districts plus souvent, avec une probabilité proportionnelle à M_i : 754 dh avec 5 districts, sans le ratio (chapitre 11).
  3. Ne pas interroger tout le district : tirer des ménages dans les districts tirés (chapitre 10).
La règle de l’estimation

Avec des grappes de tailles inégales, on estime une moyenne par le ratio, jamais par \widehat{Y}_{HT}/N. Le léger biais du ratio est le prix, très faible, d’une forte baisse de variance.

Coût et précision

Le prix d’un ménage

Une fonction de coût

C = c_1\, n_I + c_2\, n c_1 : coût d’un lieu visité (déplacement, repérage, dénombrement) ; c_2 : coût d’un entretien. Un ménage tiré au hasard est isolé : il coûte c_1 + c_2. Dans une grappe de M ménages, il coûte c_1/M + c_2.

La règle de décision

À budget égal, dans une grande population (1 - f \approx 1), on compare les tailles effectives n/\mathit{deff}. Les grappes l’emportent si et seulement si \frac{c_1 + c_2}{c_1/M + c_2} > \mathit{deff} un ménage en grappe doit coûter \mathit{deff} fois moins cher qu’un ménage isolé.

Démonstration : La règle du rapport des coûts

Les deux budgets. Avec un budget C : un ménage tiré au hasard coûte c_1 + c_2 (le lieu, puis l’entretien), d’où n_{SAS} = C/(c_1 + c_2) ménages. Un district de M ménages coûte c_1 + M\,c_2, d’où n_I = C/(c_1 + M\,c_2) districts, soit n = M\,n_I = \frac{C}{c_1/M + c_2} ménages, de taille effective n/\mathit{deff}.

La comparaison. Les grappes l’emportent si et seulement si \frac{n}{\mathit{deff}} > n_{SAS} \iff \frac{C}{(c_1/M + c_2)\,\mathit{deff}} > \frac{C}{c_1 + c_2} \iff \frac{c_1 + c_2}{c_1/M + c_2} > \mathit{deff}. Le seuil. L’égalité c_1 + c_2 = \mathit{deff}\,(c_1/M + c_2) s’écrit c_1\,(1 - \mathit{deff}/M) = c_2\,(\mathit{deff} - 1) ; comme \mathit{deff} = 1 + (M-1)\,\rho < M quand \rho < 1, c_1^* = c_2\,\frac{\mathit{deff} - 1}{1 - \mathit{deff}/M}. Les grappes l’emportent quand c_1 > c_1^* : un déplacement cher les favorise.

Ce que cela dit. Avec c_2 = 60 dh, M = 40 et \mathit{deff} = 8{,}38 : c_1^* = 60 \times 7{,}38/(1 - 0{,}2095) = 560 dh, le seuil du cours. À l’exercice 3 (c_2 = 80, M = 30, \mathit{deff} = 3{,}9), c_1^* = 80 \times 2{,}9/(1 - 0{,}13) = 266{,}7 dh.

À budget égal, deux terrains

Budget de 100 000 dh, entretien à 60 dh, districts de 40 ménages
Rural dispersé Ville
Coût d’un déplacement c_1 800 dh 200 dh
Aléatoire simple : ménages enquêtés 116 384
Grappes : districts (ménages) 31 (1\,240) 38 (1\,520)
Grappes : taille effective, n/8{,}38 148 181

Une grande région, aux districts semblables à ceux du cours : \mathit{deff} = 8{,}38 avec le ratio.

Le terrain décide

En zone rurale, un ménage isolé coûte 860 dh, un ménage en grappe 80 dh : rapport 10{,}75 > 8{,}38, les grappes l’emportent. En ville, 260 dh contre 65 dh : rapport 4, l’aléatoire simple l’emporte. Le seuil se situe vers c_1 = 560 dh.

Quand tirer par grappes

Les conditions favorables
  1. Il n’existe pas de liste des unités, mais une liste des grappes.
  2. Les déplacements coûtent cher par rapport aux entretiens.
  3. La variable étudiée est peu homogène dans les grappes : \rho faible.
Interroger tout le district est souvent trop

Le quarantième ménage d’un district apporte peu : il ressemble aux trente-neuf autres. Mieux vaut visiter plus de districts et y interroger moins de ménages. C’est le sondage à deux degrés.

S’entraîner

Exercice 1 : trois immeubles

Cinq ménages en trois grappes

La mini-population A, B, C, D, E (dépenses 4, 6, 7, 9, 14 milliers de dh) habite trois immeubles : A et B dans le premier, C et D dans le deuxième, E seul dans le troisième. On tire deux immeubles par sondage aléatoire simple, et l’on interroge tous leurs ménages.

  1. Énumérer les échantillons possibles, les ménages interrogés et \widehat{Y}_{HT}.
  2. Vérifier que E(\widehat{Y}_{HT}) = Y = 40. Calculer V(\widehat{Y}_{HT}) par l’énumération, puis par N_I^2(1-f_I)S_T^2/n_I.
  3. Calculer les \pi_k, puis \pi_{AB} et \pi_{AC}.
  4. Calculer l’estimateur par le ratio de la moyenne pour chaque échantillon. Est-il sans biais ?

Exercice 1 : solution

Les trois échantillons
  1. Totaux des immeubles : 10, 16, 14 ; poids N_I/n_I = 3/2.
Immeubles Ménages \sum Y_i \widehat{Y}_{HT} Ratio
1 et 2 A, B, C, D 26 39 6{,}5
1 et 3 A, B, E 24 36 8
2 et 3 C, D, E 30 45 10
  1. E(\widehat{Y}_{HT}) = (39 + 36 + 45)/3 = 40. V = (1 + 16 + 25)/3 = 14. Formule : S_T^2 = 9{,}33 et 9 \times \frac13 \times 9{,}33/2 = 14.
Probabilités et ratio
  1. Chaque immeuble figure dans deux échantillons sur trois : \pi_k = 2/3 pour tous. \pi_{AB} = 2/3 : A et B sont toujours tirés ensemble ; \pi_{AC} = 1/3 (immeubles 1 et 2).
  2. (6{,}5 + 8 + 10)/3 = 8{,}17 \neq 8 : un biais de 0{,}17, sensible ici parce que n_I = 2.

Exercice 2 : des douars de 25 ménages

L’effet de grappe dans une enquête rurale

Une enquête tire des douars entiers de M = 25 ménages. Pour la dépense, la corrélation intra-douar vaut \rho = 0{,}08. La population est grande : on néglige 1 - f.

  1. Calculer l’effet de plan.
  2. On enquête 16 douars. Quelle est la taille effective de l’échantillon ?
  3. Combien de douars faut-il pour obtenir la précision d’un sondage aléatoire simple de 300 ménages ?
  4. Pour l’accès à l’eau courante, \rho = 0{,}5. Que devient l’effet de plan ? Pourquoi \rho est-il si élevé ?

Exercice 2 : solution

Effet de plan et taille effective
  1. \mathit{deff} = 1 + 24 \times 0{,}08 = 2{,}92.
  2. 16 \times 25 = 400 ménages, qui valent 400/2{,}92 = 137 ménages tirés au hasard.
  3. 300 \times 2{,}92 = 876 ménages, soit 876/25 = 35{,}04 : il faut 36 douars.
Une variable très homogène
  1. \mathit{deff} = 1 + 24 \times 0{,}5 = 13 : les 400 ménages ne valent plus que 31 ménages indépendants. L’eau courante dépend du réseau du douar : presque tous les ménages d’un même douar ont la même réponse, et chaque ménage de plus n’apprend presque rien.

Exercice 3 : grappes ou aléatoire simple ?

Un budget de 90 000 dh

Une enquête régionale peut tirer des districts entiers de M = 30 ménages (\rho = 0{,}1), ou des ménages au hasard. Un déplacement coûte c_1 = 1\,000 dh, un entretien c_2 = 80 dh. On néglige 1 - f.

  1. Calculer l’effet de plan des districts entiers.
  2. Combien de ménages l’aléatoire simple permet-il d’enquêter ? Et combien de districts, de ménages, et quelle taille effective pour les grappes ?
  3. Quel plan choisir ? Vérifier avec la règle du rapport des coûts.
  4. En dessous de quel coût de déplacement l’aléatoire simple l’emporterait-il ?

Exercice 3 : solution

Les deux plans
  1. \mathit{deff} = 1 + 29 \times 0{,}1 = 3{,}9.
  2. Aléatoire simple : 1\,080 dh par ménage, 90\,000/1\,080 = 83 ménages. Grappes : 1\,000 + 30 \times 80 = 3\,400 dh par district, 26 districts, 780 ménages, de taille effective 780/3{,}9 = 200.
La règle et le seuil
  1. Les grappes : 200 > 83. Un ménage en grappe coûte 3\,400/30 = 113{,}3 dh, et 1\,080/113{,}3 = 9{,}53 > 3{,}9.
  2. On résout (c_1 + 80)/(c_1/30 + 80) = 3{,}9 : c_1 + 80 = 0{,}13\,c_1 + 312, d’où c_1 = 266{,}7 dh. En dessous, l’aléatoire simple l’emporte.

Ce qu’il faut retenir

Le résumé du chapitre

Sept points
  1. On tire des grappes entières : une liste des grappes suffit, et les déplacements diminuent.
  2. Chaque unité a \pi_k = n_I/N_I ; \widehat{Y}_{HT} = (N_I/n_I)\sum_{S_I} Y_i est sans biais.
  3. La grappe est l’unité statistique : variances sur les totaux Y_i, à n_I - 1 degrés de liberté.
  4. Moyenne par ménage : le ratio \sum Y_i/\sum M_i, presque sans biais et bien plus précis.
  5. Grappes égales : \mathit{deff} = 1 + (M-1)\rho, soit 7{,}3 pour les districts du cours.
  6. Un petit \rho suffit à un grand effet : préférer des grappes petites et hétérogènes.
  7. Les grappes l’emportent si un ménage groupé coûte \mathit{deff} fois moins qu’un ménage isolé.
La suite

Le chapitre 10 tire des ménages dans les districts tirés : le sondage à deux degrés garde l’économie des déplacements sans payer tout l’effet de grappe.

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