Échantillonnage

Échantillonnage · Chapitre 1

Population, paramètres et plan de sondage

Ce que l’on cherche

Les paramètres d’une population

Quatre paramètres

Une variable y prend la valeur y_k pour chaque unité k de la population U = \{1, \dots, N\}.

Paramètre Définition Exemple
Total Y = \sum_{k \in U} y_k dépense de tous les ménages
Moyenne \overline{Y} = Y/N dépense par ménage
Proportion P = moyenne d’une variable 0/1 part des ménages connectés
Ratio R = Y/X dépense par personne
Le total d’abord

La comptabilité nationale, la fiscalité ou la politique sociale ont besoin de totaux : masse des dépenses, nombre de chômeurs, nombre de ménages pauvres. La moyenne s’en déduit en divisant par N, quand N est connu.

Une proportion est une moyenne

La variable indicatrice

Si y_k = 1 quand le ménage k a accès à internet et y_k = 0 sinon, alors Y = \sum_{k \in U} y_k = \text{nombre de ménages connectés}, \qquad \overline{Y} = \frac{Y}{N} = P

Une seule théorie pour deux questions

Tout ce que le cours établit pour une moyenne vaut donc pour une proportion : il suffit de coder la caractéristique en 0/1. Le chapitre 4 en tirera les formules particulières.

Sur une mini-population de cinq ménages

Cinq ménages : dépense en milliers de dh, taille en personnes
Ménage A B C D E Total
Dépense y_k 4 6 7 9 14 40
Taille x_k 2 3 3 4 6 18
Les quatre paramètres

Total Y = 40 ; moyenne \overline{Y} = 40/5 = 8 ; proportion des ménages dépensant plus de 8 : P = 2/5 = 0{,}4 (D et E) ; dépense par personne R = 40/18 = 2{,}22 milliers de dh.

Sur la population du cours

Les paramètres que l’enquêteur cherche
Paramètre Valeur
Total des dépenses Y 15\,822\,870 dh
Dépense moyenne \overline{Y} 7\,911{,}44 dh
Proportion de ménages connectés P 0{,}674
Total des personnes X 7\,859
Dépense par personne R = Y/X 2\,013{,}34 dh
Un ratio n’est pas une moyenne de ratios

R divise la dépense totale par le nombre total de personnes. La moyenne des dépenses par personne de chaque ménage donnerait autre chose, car elle compte autant un ménage d’une personne qu’un ménage de dix.

La dispersion

Deux variances de la population

Diviser par N ou par N − 1

\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_{k \in U}(y_k - \overline{Y})^2 \qquad\qquad S^2 = \frac{1}{N-1}\sum_{k \in U}(y_k - \overline{Y})^2 = \frac{N}{N-1}\,\sigma^2

La convention des sondages : S²

La statistique descriptive divise par N. La théorie des sondages préfère S^2, divisée par N - 1, pour une seule raison : avec elle, la variance d’un sondage aléatoire simple s’écrit (1 - f)\,S^2/n, une formule exacte et simple. Le chapitre 3 le démontrera.

Ce que change la convention

Sur la mini-population

Écarts à la moyenne : -4, -2, -1, 1, 6 ; somme des carrés : 16 + 4 + 1 + 1 + 36 = 58. \sigma^2 = 58/5 = 11{,}6 \qquad S^2 = 58/4 = 14{,}5

Sur la population du cours

\sigma = 3\,983{,}29 dh et S = 3\,984{,}29 dh : un dirham d’écart sur N = 2\,000 ménages. La convention ne compte que sur de petites populations.

La variance d’une proportion

Une formule fermée

Pour une variable 0/1, y_k^2 = y_k, d’où \sigma^2 = P - P^2 = P(1 - P) et S^2 = \frac{N}{N-1}\,P\,(1-P)

Démonstration : Variance d’une proportion

Une écriture commode de la variance. Développons le carré et utilisons \sum_{k} y_k = N\overline{Y} : \sum_{k \in U}(y_k - \overline{Y})^2 = \sum_{k \in U} y_k^2 - 2\overline{Y}\sum_{k \in U} y_k + N\overline{Y}^{\,2} = \sum_{k \in U} y_k^2 - N\overline{Y}^{\,2} La variance est donc la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne : \sigma^2 = \frac1N \sum_k y_k^2 - \overline{Y}^{\,2}.

Le cas d’une variable 0/1. Comme 0^2 = 0 et 1^2 = 1, on a y_k^2 = y_k pour chaque unité, donc \frac1N\sum_k y_k^2 = \frac1N\sum_k y_k = P. Comme de plus \overline{Y} = P, \sigma^2 = P - P^2 = P\,(1-P). Le diviseur N-1. Par définition, \sum_k (y_k - \overline{Y})^2 = N\sigma^2 = (N-1)\,S^2, d’où S^2 = \dfrac{N}{N-1}\,\sigma^2 = \dfrac{N}{N-1}\,P\,(1-P).

Valeur maximale. P(1-P) = \frac14 - \left(P - \frac12\right)^2 \leq \frac14, avec égalité seulement pour P = \frac12.

Ce que cela dit. La dispersion d’une proportion se lit sur la proportion elle-même : pas besoin d’une enquête préalable pour la connaître. Sur la population du cours, P = 0{,}674 donne \sigma^2 = 0{,}674 \times 0{,}326 = 0{,}2197 et S^2 = \frac{2\,000}{1\,999} \times 0{,}2197 = 0{,}2198. Et comme P(1-P) ne dépasse jamais 0{,}25, ce nombre est la précaution du chapitre 5 : on dimensionne une enquête sur une proportion en prenant le pire cas, P = 0{,}5.

Les ménages connectés

P = 0{,}674, donc S^2 = \dfrac{2\,000}{1\,999} \times 0{,}674 \times 0{,}326 = 0{,}2198. La dispersion d’une proportion se déduit de la proportion elle-même : c’est ce qui permettra de dimensionner une enquête avant de la faire (chapitre 5).

Le plan de sondage

Combien d’échantillons possibles ?

Un échantillon est une partie de U

Un échantillon sans répétition s est un sous-ensemble de U. Il y a \binom{N}{n} échantillons de taille n.

De dix à un nombre astronomique
Population Taille Nombre d’échantillons
Mini-population, N = 5 n = 2 \binom{5}{2} = 10
Population du cours, N = 2\,000 n = 100 environ 10^{171}
Population du cours, N = 2\,000 n = 200 environ 10^{281}
On ne les énumère jamais

Les formules du cours remplacent l’énumération : elles donnent la moyenne et la variance d’un estimateur sur tous les échantillons possibles, sans en tirer un seul.

La définition

Plan de sondage

Un plan de sondage est une loi de probabilité p(\cdot) sur l’ensemble des échantillons possibles : p(s) \geq 0 \text{ pour tout } s, \qquad \sum_{s} p(s) = 1 L’échantillon effectivement tiré, S, est une variable aléatoire de loi p.

Ce que le plan contient

Le plan dit tout : quels échantillons sont possibles, lesquels sont plus probables, quelle taille ils ont. Il est choisi par l’enquêteur, avant le tirage, et c’est lui qui rend l’erreur calculable.

Le plan aléatoire simple sur la mini-population

Dix échantillons de même probabilité

Chaque ligne est un échantillon de deux ménages, de probabilité p(s) = 1/10. La moyenne des dix moyennes vaut exactement 8 = \overline{Y}.

Un autre plan sur la même population

Un ménage parmi A, B, C, un ménage parmi D, E

On sépare les petits budgets (A, B, C) des grands (D, E), et l’on tire un ménage dans chaque groupe. Il n’y a plus que 3 \times 2 = 6 échantillons possibles, chacun de probabilité 1/6 :

Échantillon AD AE BD BE CD CE
Moyenne brute 6{,}5 9 7{,}5 10 8 10{,}5
Moyenne pondérée 6 8 7{,}2 9{,}2 7{,}8 9{,}8

Brute : \frac12(y_1 + y_2). Pondérée : \frac35\,y_1 + \frac25\,y_2, où y_1 vient du premier groupe.

Le plan a changé, l’estimateur doit suivre

Moyenne des six moyennes brutes : 51{,}5/6 = 8{,}58 \neq 8. Le premier groupe compte trois ménages sur cinq, mais n’en fournit qu’un sur deux : il faut lui redonner son poids, 3/5.

Démonstration : Pourquoi les poids 3/5 et 2/5 corrigent le biais

Sous le plan « un ménage par groupe », y_1 est tiré avec la même probabilité parmi les trois ménages du premier groupe \{A, B, C\}, et y_2 parmi les deux ménages du second, \{D, E\}. L’espérance d’une valeur tirée au hasard dans un groupe est la moyenne de ce groupe : E(y_1) = \overline{Y}_1 = \frac{4+6+7}{3} = \frac{17}{3}, \qquad E(y_2) = \overline{Y}_2 = \frac{9+14}{2} = \frac{23}{2}. La moyenne brute. E\big(\tfrac12(y_1 + y_2)\big) = \tfrac12\left(\tfrac{17}{3} + \tfrac{23}{2}\right) = \tfrac{103}{12} = 8{,}58 : elle donne à chaque groupe le poids \frac12.

La moyenne pondérée. E\big(\tfrac35\,y_1 + \tfrac25\,y_2\big) = \tfrac35 \times \tfrac{17}{3} + \tfrac25 \times \tfrac{23}{2} = \tfrac{17+23}{5} = 8 = \overline{Y}.

La moyenne de la population est, par construction, la moyenne des moyennes de groupes pondérée par la part de chaque groupe dans la population : \overline{Y} = \frac{N_1}{N}\,\overline{Y}_1 + \frac{N_2}{N}\,\overline{Y}_2, avec \frac{N_1}{N} = \frac35 et \frac{N_2}{N} = \frac25. Les poids 3/5 et 2/5 sont exactement ces parts.

Ce que cela dit. Le plan tire une unité dans chaque groupe, alors que les groupes n’ont pas la même taille. La moyenne brute suit la répartition de l’échantillon, non celle de la population ; la moyenne pondérée la rétablit.

Ce que montre la comparaison

Un estimateur se juge avec son plan

La même moyenne \overline{y} est juste en moyenne sous le plan aléatoire simple, faussée sous le second plan. Un estimateur n’est bon ou mauvais que relativement au plan qui a produit l’échantillon.

Avec ou sans remise, taille fixe ou aléatoire

Trois distinctions
  • Sans remise : une unité figure au plus une fois. Avec remise : elle peut être tirée plusieurs fois (chapitre 4).
  • Taille fixe : tous les échantillons possibles ont n unités. Taille aléatoire : n dépend du tirage.
  • Probabilités égales ou inégales pour les unités (chapitre 11).
Un plan de taille aléatoire : le tirage de Bernoulli

On décide pour chaque ménage, indépendamment, de le garder avec probabilité 0{,}4. La taille n suit une loi binomiale \mathcal{B}(5\,;0{,}4) : en moyenne 2, mais P(n = 0) = 0{,}6^5 = 0{,}078. Une fois sur treize, l’enquête n’interroge personne.

Les probabilités d’inclusion

La chance qu’a chaque unité d’être tirée

Probabilité d’inclusion

\pi_k = P(k \in S) = \sum_{s \ni k} p(s) On additionne les probabilités des échantillons qui contiennent k.

Sous les deux plans de la mini-population
  • Aléatoire simple : chaque ménage figure dans 4 échantillons sur 10, donc \pi_k = 0{,}4 = n/N.
  • Un ménage par groupe : \pi_A = \pi_B = \pi_C = 1/3 et \pi_D = \pi_E = 1/2.
Lire la matrice des échantillons

\pi_k est la part des lignes où la colonne k est cochée, chaque ligne étant pondérée par sa probabilité.

Une propriété utile : la somme des probabilités

La somme des probabilités d’inclusion

\sum_{k \in U} \pi_k = E(n) \qquad\text{et donc}\qquad \sum_{k \in U} \pi_k = n \text{ pour un plan de taille fixe}

La démonstration en une ligne

\sum_k \pi_k = \sum_k \sum_{s \ni k} p(s) = \sum_s p(s) \times (\text{nombre d'unités de } s) = \sum_s p(s)\, n(s) = E(n) : on intervertit les deux sommes.

Vérification

Aléatoire simple : 5 \times 0{,}4 = 2. Un ménage par groupe : 3 \times \tfrac13 + 2 \times \tfrac12 = 2. Bernoulli : 5 \times 0{,}4 = 2 = E(n).

Les probabilités d’inclusion doubles

Être tirés ensemble

\pi_{kl} = P(k \in S \text{ et } l \in S) = \sum_{s \ni k,\,l} p(s), \qquad k \neq l Pour un plan aléatoire simple : \pi_{kl} = \dfrac{n(n-1)}{N(N-1)}.

Démonstration : Probabilités d’inclusion du plan aléatoire simple

Dans un plan aléatoire simple, les \binom{N}{n} échantillons de taille n ont tous la même probabilité 1/\binom{N}{n}. La probabilité d’inclusion s’obtient en comptant les échantillons qui contiennent l’unité k.

Une unité. Un échantillon qui contient k se complète par n-1 autres unités choisies parmi les N-1 restantes : il y en a \binom{N-1}{n-1}. Donc \pi_k = \frac{\binom{N-1}{n-1}}{\binom{N}{n}} = \frac{(N-1)!}{(n-1)!\,(N-n)!} \times \frac{n!\,(N-n)!}{N!} = \frac{n}{N}. Deux unités. Un échantillon qui contient k et l se complète par n-2 unités parmi les N-2 restantes : \binom{N-2}{n-2} échantillons, d’où \pi_{kl} = \frac{\binom{N-2}{n-2}}{\binom{N}{n}} = \frac{(N-2)!}{(n-2)!\,(N-n)!} \times \frac{n!\,(N-n)!}{N!} = \frac{n\,(n-1)}{N\,(N-1)}. Ce que cela dit. Toutes les unités ont la même chance n/N : c’est le sens du mot « simple ». Sur la mini-population (N = 5, n = 2), \binom41 = 4 échantillons sur \binom52 = 10 contiennent un ménage donné, et un seul contient une paire donnée : \pi_k = 0{,}4 et \pi_{kl} = 1/10.

Sur la mini-population
  • Aléatoire simple : chaque paire forme exactement un échantillon, \pi_{kl} = 1/10 = \dfrac{2 \times 1}{5 \times 4}.
  • Un ménage par groupe : \pi_{AD} = 1/6, mais \pi_{AB} = 0 et \pi_{DE} = 0 : deux ménages d’un même groupe ne sont jamais tirés ensemble.

La variance d’un estimateur dépend des \pi_{kl} (chapitre 2). Quand certaines sont nulles, elle ne peut plus être estimée à partir de l’échantillon seul : ce sera le cas du tirage systématique (chapitre 8).

L’outil central : les indicatrices d’appartenance

Une variable aléatoire par unité

I_k = 1 si l’unité k est tirée, 0 sinon. C’est une variable de Bernoulli : E(I_k) = \pi_k \qquad V(I_k) = \pi_k(1 - \pi_k) \qquad \mathrm{Cov}(I_k, I_l) = \pi_{kl} - \pi_k\,\pi_l

Démonstration : Espérance, variance et covariance des indicatrices

I_k ne prend que les valeurs 1 (avec la probabilité \pi_k) et 0 (avec la probabilité 1 - \pi_k).

Espérance. E(I_k) = 1 \times \pi_k + 0 \times (1 - \pi_k) = \pi_k.

Variance. Comme I_k^2 = I_k (car 0^2 = 0 et 1^2 = 1), E(I_k^2) = \pi_k et V(I_k) = E(I_k^2) - \big(E(I_k)\big)^2 = \pi_k - \pi_k^2 = \pi_k\,(1 - \pi_k). Covariance. Le produit I_k\,I_l vaut 1 si les deux unités sont tirées, et 0 sinon : c’est l’indicatrice de l’événement « k \in S et l \in S », d’espérance \pi_{kl}. Donc \mathrm{Cov}(I_k, I_l) = E(I_k I_l) - E(I_k)\,E(I_l) = \pi_{kl} - \pi_k\,\pi_l. Pour l = k, \pi_{kk} = \pi_k et l’on retrouve la variance.

Une conséquence. La taille de l’échantillon est n(S) = \sum_{k \in U} I_k. Par linéarité de l’espérance, E(n) = \sum_k E(I_k) = \sum_k \pi_k : c’est la somme des probabilités d’inclusion, retrouvée sans intervertir de sommes.

Ce que cela dit. Les y_k sont fixes et seuls les I_k sont aléatoires. Toute espérance et toute variance d’un estimateur du cours se calculera donc avec trois nombres : \pi_k, \pi_l et \pi_{kl}.

Le hasard est dans les I, pas dans les y

Tout estimateur s’écrit avec les I_k : par exemple \sum_{k \in S} y_k = \sum_{k \in U} I_k\, y_k. Les y_k sont des nombres fixes, les I_k portent tout l’aléa. Les calculs d’espérance et de variance du cours se ramènent à ceux des I_k.

Un signe à comprendre

Aléatoire simple sur la mini-population

V(I_k) = 0{,}4 \times 0{,}6 = 0{,}24 et \mathrm{Cov}(I_k, I_l) = 0{,}1 - 0{,}4 \times 0{,}4 = -0{,}06

Une covariance négative

L’échantillon n’a que deux places : si A est tiré, il en reste une seule pour les quatre autres. Être tiré diminue la chance des autres de l’être. En général, pour un plan aléatoire simple : \mathrm{Cov}(I_k, I_l) = \frac{n(n-1)}{N(N-1)} - \frac{n^2}{N^2} = -\frac{n\,(N-n)}{N^2\,(N-1)} < 0

Démonstration : Le signe de la covariance sous le plan aléatoire simple

On remplace \pi_k = n/N et \pi_{kl} = n(n-1)/\big(N(N-1)\big) (démonstration ci-dessus) dans \pi_{kl} - \pi_k\pi_l, avec le dénominateur commun N^2(N-1) : \frac{n(n-1)\,N - n^2\,(N-1)}{N^2\,(N-1)} = \frac{n\,\big(nN - N - nN + n\big)}{N^2\,(N-1)} = \frac{n\,(n - N)}{N^2\,(N-1)} = -\frac{n\,(N-n)}{N^2\,(N-1)}. Comme n < N, ce nombre est strictement négatif.

Une écriture plus parlante. La variance d’une indicatrice vaut V(I_k) = \frac nN\left(1-\frac nN\right) = \frac{n\,(N-n)}{N^2}, donc \mathrm{Cov}(I_k, I_l) = -\frac{V(I_k)}{N-1}. Vérification de la taille fixe. La somme des covariances d’une unité avec les N-1 autres vaut (N-1) \times \left(-\frac{V(I_k)}{N-1}\right) = -V(I_k) : ajoutée à la variance de I_k elle donne \mathrm{Cov}(I_k, n) = 0. Cela doit être, puisque n ne varie pas.

Ce que cela dit. Sur la mini-population, V(I_k) = 0{,}24 et \mathrm{Cov}(I_k, I_l) = -0{,}24/4 = -0{,}06 : chaque place prise par une unité est une place de moins pour les autres. Pour N grand, la covariance devient minuscule : les indicatrices se comportent presque comme des tirages indépendants.

Sur la population du cours

Deux plans de 200 ménages

Même taille, autres probabilités
  • Aléatoire simple de 200 ménages : \pi_k = 200/2\,000 = 0{,}1 pour tous.
  • 50 ménages par province : \pi_k = 50/N_h, de 0{,}061 à Tanger-Assilah (N_h = 820) à 0{,}208 à Al Hoceïma (N_h = 240).

Le poids de sondage

Combien de ménages représente un ménage tiré

Le poids de l’unité k est d_k = 1/\pi_k. Un ménage tiré avec la probabilité 0{,}1 « représente » 10 ménages de la population, lui compris.

Les poids du plan à 50 ménages par province
Province Tanger-Assilah Tétouan Larache Al Hoceïma
N_h 820 560 380 240
Poids d_k = N_h/50 16{,}4 11{,}2 7{,}6 4{,}8

La somme des poids des 200 ménages tirés vaut 50 \times (16{,}4 + 11{,}2 + 7{,}6 + 4{,}8) = 2\,000 = N.

Ce que coûte un oubli des poids

Une erreur de 411 dirhams

Avec 50 ménages par province, la moyenne non pondérée des 200 ménages vaut en espérance la moyenne des quatre moyennes provinciales : \tfrac14\,(8\,621 + 8\,146 + 7\,255 + 5\,979) = 7\,500{,}29 \text{ dh, contre } \overline{Y} = 7\,911{,}44 Al Hoceïma, la province la moins dépensière, pèse un quart dans l’échantillon mais 12\,\% dans la population.

Démonstration : La moyenne non pondérée vise la moyenne des moyennes

Soit H = 4 provinces, et m ménages tirés par sondage aléatoire simple dans chacune, indépendamment (m = 50 dans l’exemple). Chaque ménage k de la province h a la probabilité d’inclusion \pi_k = m/N_h (démonstration ci-dessus, appliquée à la province). La moyenne non pondérée des Hm ménages tirés est \overline{y}_{\text{brute}} = \frac{1}{Hm}\sum_{k \in S} y_k = \frac{1}{Hm}\sum_{k \in U} I_k\,y_k. Prenons l’espérance, avec E(I_k) = m/N_h, en regroupant les ménages par province : E(\overline{y}_{\text{brute}}) = \frac{1}{Hm}\sum_{h=1}^{H}\ \sum_{k \in U_h} \frac{m}{N_h}\,y_k = \frac{1}{Hm}\sum_{h=1}^{H} m\,\overline{Y}_h = \frac1H\sum_{h=1}^{H}\overline{Y}_h. C’est la moyenne simple des moyennes provinciales, alors que la moyenne de la population les pondère par W_h = N_h/N. Le biais est donc E(\overline{y}_{\text{brute}}) - \overline{Y} = \sum_{h}\left(\frac1H - W_h\right)\overline{Y}_h, et il ne dépend pas de m.

Ce que cela dit. Avec les provinces du cours, \frac14(8\,621 + 8\,146 + 7\,255 + 5\,979) = 7\,500{,}29 dh contre \overline{Y} = 7\,911{,}44 dh : un biais de -411 dh, que 50 ou 5\,000 ménages par province ne modifieraient pas. Al Hoceïma, avec 12\,\% des ménages, reçoit le même poids que Tanger-Assilah, qui en compte 41\,\%.

La règle

Dès que les \pi_k ne sont pas tous égaux, il faut pondérer. Le chapitre 2 donne l’estimateur qui le fait automatiquement : chaque unité tirée y compte pour d_k = 1/\pi_k.

S’entraîner

Exercice 1 : énumérer un plan

Quatre boutiques

Quatre boutiques ont un chiffre d’affaires mensuel de 2, 5, 8 et 9 milliers de dh. On en tire deux par sondage aléatoire simple.

  1. Calculer \overline{Y} et S^2.
  2. Énumérer les échantillons possibles, leur probabilité et la moyenne de chacun.
  3. Calculer la moyenne des moyennes. Conclure.
  4. Calculer \pi_k et \pi_{kl} ; vérifier que \sum_k \pi_k = n.

Exercice 1 : solution

Paramètres et échantillons
  1. \overline{Y} = 24/4 = 6 ; écarts -4, -1, 2, 3 ; S^2 = (16 + 1 + 4 + 9)/3 = 10.
  2. \binom42 = 6 échantillons, chacun de probabilité 1/6 : \{2,5\} : 3{,}5 ; \{2,8\} : 5 ; \{2,9\} : 5{,}5 ; \{5,8\} : 6{,}5 ; \{5,9\} : 7 ; \{8,9\} : 8{,}5.
Espérance et probabilités d’inclusion
  1. (3{,}5 + 5 + 5{,}5 + 6{,}5 + 7 + 8{,}5)/6 = 36/6 = 6 = \overline{Y} : en moyenne sur les tirages, la moyenne d’échantillon retrouve la vraie moyenne.
  2. Chaque boutique figure dans 3 échantillons sur 6 : \pi_k = 0{,}5 = n/N, et \sum_k \pi_k = 4 \times 0{,}5 = 2 = n. Chaque paire forme un seul échantillon : \pi_{kl} = 1/6 = \dfrac{2 \times 1}{4 \times 3}.

Exercice 2 : un plan de taille aléatoire

Le tirage de Bernoulli

Dans une population de N = 6 ménages, chaque ménage est retenu indépendamment avec la probabilité \pi = 0{,}5.

  1. Quelle est la loi de la taille n de l’échantillon ? Son espérance ?
  2. Calculer P(n = 0) et P(n = 3).
  3. Quelle est la probabilité d’inclusion de chaque ménage ? Vérifier la relation \sum_k \pi_k = E(n).
  4. Pourquoi les instituts préfèrent-ils les plans de taille fixe ?

Exercice 2 : solution

Une binomiale
  1. n compte les succès de 6 épreuves indépendantes : n \sim \mathcal{B}(6\,;0{,}5), d’espérance 3.
  2. P(n = 0) = 0{,}5^6 = 1/64 = 0{,}016 ; P(n = 3) = \binom63\, 0{,}5^6 = 20/64 = 0{,}3125.
  3. \pi_k = 0{,}5 pour chacun ; \sum_k \pi_k = 6 \times 0{,}5 = 3 = E(n).
Le budget
  1. Le coût d’une enquête est proportionnel au nombre de questionnaires : avec une taille aléatoire, ni le budget ni la précision ne sont connus à l’avance. Ici, deux fois sur trois, la taille n’est pas celle prévue : P(n = 3) = 0{,}31 seulement.

Exercice 3 : urbain et rural

Cent ménages dans chaque milieu

La population du cours compte 1\,438 ménages urbains (dépense moyenne 8\,430 dh) et 562 ruraux (6\,585 dh). On tire 100 ménages au hasard dans chaque milieu.

  1. Calculer les probabilités d’inclusion et les poids de chaque milieu.
  2. Vérifier que \sum_k \pi_k = 200 et que la somme des poids des ménages tirés vaut N.
  3. Que vaut, en espérance, la moyenne non pondérée des 200 ménages ? Quelle erreur commet-elle ?

Exercice 3 : solution

Probabilités et poids
  1. Urbain : \pi_k = 100/1\,438 = 0{,}0695, poids 14{,}38. Rural : \pi_k = 100/562 = 0{,}178, poids 5{,}62.
  2. 1\,438 \times \frac{100}{1\,438} + 562 \times \frac{100}{562} = 200 ; 100 \times 14{,}38 + 100 \times 5{,}62 = 2\,000.
Le biais de la moyenne brute
  1. Elle vaut en espérance \frac12(8\,430 + 6\,585) = 7\,507 dh, contre 7\,911 : elle sous-estime de 404 dh. Les ruraux, 28\,\% de la population, font la moitié de l’échantillon. La moyenne pondérée \frac{1\,438}{2\,000}\,\overline{y}_{\text{urb}} + \frac{562}{2\,000}\,\overline{y}_{\text{rur}} corrige ce déséquilibre.

Ce qu’il faut retenir

Le résumé du chapitre

Sept points
  1. On cherche des paramètres de la population : total, moyenne, proportion, ratio.
  2. Une proportion est la moyenne d’une variable 0/1, de variance S^2 = \frac{N}{N-1}P(1-P).
  3. Les sondages emploient S^2, divisée par N - 1.
  4. Un plan de sondage est une loi de probabilité sur les échantillons possibles.
  5. \pi_k = P(k \in S), et \sum_k \pi_k = n pour un plan de taille fixe.
  6. Les indicatrices I_k portent tout l’aléa : E(I_k) = \pi_k, \mathrm{Cov}(I_k, I_l) = \pi_{kl} - \pi_k \pi_l.
  7. Quand les \pi_k diffèrent, chaque unité tirée doit compter pour son poids d_k = 1/\pi_k.
La suite

Le chapitre 2 construit, pour n’importe quel plan, un estimateur sans biais du total, et calcule sa précision.

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