Échantillonnage

Échantillonnage · Chapitre 5

Choisir la taille de l'échantillon

Partir de la précision voulue

La question à poser avant l’enquête

La marge d’erreur

Pour un sondage aléatoire simple, l’intervalle de confiance à 95\,\% de \overline{Y} s’écrit \overline{y} \pm e, avec la marge d’erreur e = z\,\sqrt{V(\overline{y})} = z\,\sqrt{\left(1 - \frac{n}{N}\right)\frac{S^2}{n}}, \qquad z = 1{,}96

Retourner la question

Le chapitre 3 partait de n pour trouver la marge. Avant une enquête, on fait l’inverse : on fixe la marge que le commanditaire accepte, et l’on cherche le plus petit n qui la garantit. Le chapitre 11 de Statistique inférentielle a donné la règle de base ; ce chapitre l’adapte aux sondages : population finie, proportions, non-réponse, domaines, effet de plan.

Inverser la variance du sondage aléatoire simple

Taille pour une marge donnée sur une moyenne

n_0 = \left(\frac{z\,S}{e}\right)^2 \qquad\qquad n = \frac{n_0}{1 + n_0/N} n_0 est la taille qu’exigerait une population infinie ; n tient compte de la population finie. On arrondit à l’entier supérieur, à la fin des calculs seulement.

La démonstration

Comme (1 - n/N)\,S^2/n = S^2/n - S^2/N, on cherche n tel que S^2/n - S^2/N = e^2/z^2. En divisant par S^2 : \frac1n = \frac{e^2}{z^2 S^2} + \frac1N = \frac{1}{n_0} + \frac1N \quad\Longrightarrow\quad n = \frac{n_0\,N}{N + n_0} = \frac{n_0}{1 + n_0/N}

Sur la mini-population

Cinq ménages, une variance au plus égale à 2

A à E : 4, 6, 7, 9, 14 milliers de dh ; S^2 = 14{,}5 et N = 5. On veut V(\overline{y}) \leq 2 : c’est la même équation avec (e/z)^2 = 2. n_0 = \frac{S^2}{2} = 7{,}25 \qquad n = \frac{7{,}25}{1 + 7{,}25/5} = 2{,}96 \quad\Longrightarrow\quad n = 3 Vérification : V(\overline{y}) = (1 - \tfrac35) \times 14{,}5/3 = 1{,}93 \leq 2, alors qu’avec n = 2 on avait V(\overline{y}) = 4{,}35.

La correction ne dépasse jamais N

Ici n_0 = 7{,}25 dépasse N = 5 : une population infinie exigerait plus d’unités qu’il n’en existe ici. La correction ramène toujours n = n_0 N/(N + n_0) en dessous de N : au pire, on recense.

Démonstration : La taille minimale, l’arrondi et les bornes de la formule

La formule. La marge e(n) = z\,S\sqrt{\frac1n - \frac1N} diminue quand n augmente (\frac1n décroît). Exiger e(n) \leq e revient donc à exiger n \geq n^*, où n^* est la valeur qui donne l’égalité : \frac{1}{n^*} = \frac{1}{n_0} + \frac1N. La plus petite taille entière convenable est \lceil n^* \rceil : l’arrondi se fait vers le haut. Si l’on arrondit vers le bas, n < n^* et la marge dépasse e.

Application. Pour e = 500 dh, n^* = 217{,}4. Avec 217 ménages la marge est 1{,}96 \times 3\,984{,}29\sqrt{1/217 - 1/2\,000} = 500{,}5 dh : trop grande. Avec 218, elle est de 499{,}2 dh.

Les bornes. De \frac{1}{n^*} = \frac1{n_0} + \frac1N, on tire \frac1{n^*} > \frac1{n_0} et \frac1{n^*} > \frac1N, donc n^* < n_0 \qquad\text{et}\qquad n^* < N. La correction réduit toujours la taille, et ne dépasse jamais N ; quand n_0 = N, \frac{1}{n^*} = \frac2N donc n^* = \frac N2, et n^* \to N quand n_0 \to +\infty.

Ce que cela dit. Une marge très étroite n’exige pas plus que de recenser, quelle que soit sa valeur : la taille tend vers N sans jamais le dépasser. Pour la population du cours, n_0 dépasse N dès que e < \dfrac{1{,}96\,S}{\sqrt N} = 174{,}6 dh, et n^* = 1\,000 exactement à ce seuil.

Le niveau de confiance

Trois valeurs de z
Niveau de confiance 90\,\% 95\,\% 99\,\%
z 1{,}645 1{,}96 2{,}576
n_0 pour e = 500 dh 171{,}8 243{,}9 421{,}4
n pour N = 2\,000, arrondi 159 218 349
Chaque ingrédient compte au carré

n_0 est proportionnel à z^2, à S^2 et à 1/e^2. Passer de 95\,\% à 99\,\% multiplie n_0 par (2{,}576/1{,}96)^2 = 1{,}73. Le niveau de 95\,\% est la convention des enquêtes : c’est la marge e qui se discute avec le commanditaire.

La précision d’une moyenne

Trois marges sur la population du cours

La dépense moyenne des 2 000 ménages

Avec S = 3\,984{,}29 dh et N = 2\,000 :

Marge e n_0 = (1{,}96\,S/e)^2 n Arrondi f = n/N
\pm 500 dh 243{,}9 217{,}4 218 10{,}9\,\%
\pm 300 dh 677{,}6 506{,}1 507 25{,}4\,\%
\pm 200 dh 1\,524{,}6 865{,}1 866 43{,}3\,\%
Pourquoi arrondir au-dessus

Avec 217 ménages, la marge vaut 1{,}96 \times 3\,984{,}29 \times \sqrt{1/217 - 1/2\,000} = 500{,}5 dh : un peu trop. Avec 218, elle vaut 499{,}2 dh. Arrondir au plus proche ferait manquer l’objectif.

La taille selon la marge

Deux courbes

Sans correction (orange), n_0 explose quand la marge se resserre et dépasse N dès que e < 174{,}6 dh. Avec la correction (bleu), n reste sous N = 2\,000 ; elle compte dès que l’échantillon est une part notable de la population : à e = 174{,}6 dh, n_0 = N et n = N/2.

Ce que coûte la précision

Diviser la marge par 2,5 coûte quatre fois plus

De \pm 500 à \pm 200 dh, il faut passer de 218 à 866 ménages : 3{,}97 fois plus de questionnaires. Dans une population infinie, ce serait 2{,}5^2 = 6{,}25 fois plus. Le budget d’une enquête croît comme le carré de la précision demandée.

Un sondage de 200 ménages

Un sondage aléatoire simple de 200 ménages, comme l’échantillon fil rouge du chapitre 3, a une marge théorique de \pm 523{,}9 dh. Pour descendre à \pm 500 dh, il aurait fallu 18 ménages de plus ; pour \pm 300 dh, 307 de plus.

Une marge en pourcentage de la moyenne

Précision relative

On demande e = r\,\overline{Y}, par exemple une marge de r = 5\,\% de la moyenne. Alors n_0 = \left(\frac{z\,S}{r\,\overline{Y}}\right)^2 = \left(\frac{z\,CV}{r}\right)^2, \qquad CV = \frac{S}{\overline{Y}} Il suffit de connaître le coefficient de variation, ni S ni \overline{Y} séparément.

Avec un coefficient de variation de 0,5036
  • r = 5\,\%, soit \pm 395{,}6 dh : n_0 = (1{,}96 \times 0{,}5036/0{,}05)^2 = 389{,}7 ; n = 326{,}2, soit 327 ménages.
  • r = 3\,\%, soit \pm 237{,}3 dh : n_0 = 1\,082{,}6 ; n = 702{,}4, soit 703 ménages.

Pourquoi le coefficient de variation voyage bien

Un nombre sans unité

Si toutes les dépenses augmentent de 10\,\%, S passe à 4\,382{,}7 dh et la taille pour \pm 500 dh passe de 217{,}4 à 257{,}2. Le CV, lui, ne bouge pas : la taille pour une marge de \pm 5\,\% reste 326{,}2.

Démonstration : Pourquoi le coefficient de variation voyage bien

Multiplions toutes les valeurs par un facteur c > 0 (un changement d’unité, ou une hausse de 10\,\% pour c = 1{,}1) : y_k \to c\,y_k. Alors \overline{Y} \to c\,\overline{Y} et S \to c\,S, car \sum(c\,y_k - c\,\overline{Y})^2 = c^2\sum(y_k - \overline{Y})^2. Donc CV = \frac{S}{\overline{Y}} \to \frac{c\,S}{c\,\overline{Y}} = CV. Marge absolue. n_0 = (zS/e)^2 est multiplié par c^2 : pour la même marge de \pm 500 dh, n_0 = 243{,}9 devient 243{,}9 \times 1{,}21 = 295{,}2, et n = 295{,}2/(1 + 295{,}2/2\,000) = 257{,}2 (contre 217{,}4).

Marge relative. On demande e = r\,\overline{Y}, qui est aussi multipliée par c : n_0 = \left(\frac{z\,cS}{r\,c\,\overline{Y}}\right)^2 = (z\,CV/r)^2 ne change pas. Pour r = 5\,\% : n_0 = 389{,}7 et n = 326{,}2, avant comme après la hausse.

Ce que cela dit. Une taille d’échantillon calculée avec un écart-type est liée à l’unité de mesure et à l’année ; calculée avec un coefficient de variation et une précision relative, elle se transpose.

Transposer une enquête à une autre

Un CV se transpose d’une année, d’une région ou d’une monnaie à l’autre bien mieux qu’un écart-type. C’est pourquoi l’on raisonne volontiers en précision relative pour les montants : dépenses, revenus, chiffres d’affaires, rendements agricoles.

La précision d’une proportion

La formule pour une proportion

Taille pour une marge donnée sur une proportion

n_0 = \frac{z^2\,P\,(1-P)}{e^2} \qquad\qquad n = \frac{n_0}{1 + (n_0 - 1)/N} La marge e s’exprime en points : e = 0{,}05 pour \pm 5 points.

La démonstration

Pour une proportion, S^2 = \frac{N}{N-1}\,P\,(1-P) (chapitre 1). L’équation (1/n - 1/N)\,S^2 = e^2/z^2 devient \frac{N - n}{n\,(N-1)} = \frac{1}{n_0} \quad\Longrightarrow\quad n\,(N - 1 + n_0) = n_0\,N \quad\Longrightarrow\quad n = \frac{n_0\,N}{N - 1 + n_0} La formule de la moyenne, n_0/(1 + n_0/N), ne s’en écarte que d’une fraction d’unité.

Démonstration : La taille pour une proportion, formule exacte et formule approchée

Pour une proportion, la variance du sondage aléatoire simple est V(\widehat{P}) = \dfrac{N-n}{N-1}\cdot\dfrac{P(1-P)}{n} (chapitre 4). Imposer z^2 V(\widehat{P}) = e^2 donne, avec n_0 = z^2P(1-P)/e^2 : \frac{N-n}{n\,(N-1)} = \frac{e^2}{z^2P(1-P)} = \frac1{n_0} \;\Longrightarrow\; n_0\,(N-n) = n\,(N-1) \Longrightarrow\; n = \frac{n_0\,N}{N - 1 + n_0} = \frac{n_0}{1 + (n_0 - 1)/N}. L’écart avec la formule de la moyenne. La formule approchée n_a = \frac{n_0 N}{N + n_0} est inférieure, et n - n_a = \frac{n_0\,N}{N - 1 + n_0} - \frac{n_0\,N}{N + n_0} = \frac{n_0\,N}{(N-1+n_0)(N+n_0)} = \frac{n_a}{N - 1 + n_0}. Comme n_a < N et n_0 \geq 1, on a N - 1 + n_0 \geq N donc 0 < n - n_a < 1 : les deux formules diffèrent de moins d’une unité, et après arrondi au-dessus, elles donnent presque toujours le même entier.

Le pire des cas. P(1-P) \leq \frac14 avec égalité en P = \frac12 (chapitre 1) : prendre P = \frac12 donne un n_0 au moins aussi grand que celui de la vraie proportion, donc une marge tenue quelle que soit P. Pour e = 0{,}05 : n_0 = \frac{1{,}96^2 \times 0{,}25}{0{,}05^2} = 384{,}2, n = 322{,}4 pour N = 2\,000, contre 322{,}3 par la formule approchée.

Ce que cela dit. Pour une proportion, la bonne formule contient N - 1, parce que la variance d’une proportion est \frac{N}{N-1}P(1-P) ; mais l’écart est une fraction d’unité, sans conséquence pratique.

La moitié, par prudence

Les ménages connectés de la population du cours
Marge n_0, P = 0{,}5 n Arrondi Si P = 0{,}674
\pm 5 points 384{,}2 322{,}4 323 289
\pm 3 points 1\,067{,}1 696{,}1 697 639

Avec la formule approchée n_0/(1 + n_0/N) : 322{,}3 et 695{,}8.

Le pire des cas

P\,(1-P) vaut au plus 0{,}25, pour P = 0{,}5 : en le prenant, la marge est tenue quelle que soit la vraie proportion. Savoir que P \approx 0{,}674 donne P\,(1-P) = 0{,}2197 : n_0 ne baisse que de 12\,\%, et il faut encore 289 ménages au lieu de 323.

Une proportion rare

Trois points sur une proportion de cinq pour cent

Pour une proportion voisine de 5\,\%, une marge de \pm 3 points (n_0 = 202{,}8) laisse un intervalle de 2\,\% à 8\,\% : du simple au quadruple. La marge absolue n’a plus de sens.

Raisonner en précision relative

Exiger \pm 20\,\% de P, soit \pm 1 point : n_0 = \frac{1{,}96^2 \times 0{,}05 \times 0{,}95}{0{,}01^2} = 1\,824{,}8 et n = 954{,}4 dans la population du cours. Les phénomènes rares (pauvreté extrême, entreprises exportatrices, maladies) exigent de grands échantillons.

Ce que l’on ignore avant l’enquête

D’où vient l’écart-type S

Trois sources
  1. Une enquête antérieure sur la même population, par exemple la vague précédente d’une enquête répétée.
  2. Une enquête pilote : quelques dizaines d’unités interrogées pour tester le questionnaire, et mesurer la dispersion.
  3. Un coefficient de variation connu d’enquêtes semblables, qui suffit pour une précision relative.
Un cercle, et comment en sortir

Il faut connaître S pour dimensionner l’enquête qui va mesurer la population. Un ordre de grandeur suffit, mais il compte au carré : une erreur de 10\,\% sur S change n_0 de 21\,\%, car 1{,}1^2 = 1{,}21.

Une enquête pilote de trente ménages

Deux mille pilotes simulés

Chaque pilote tire 30 ménages, calcule leur écart-type s, puis la taille n pour \pm 500 dh. Les tailles conseillées vont de 54 à 525 ; dans 57{,}6\,\% des cas, elles sont inférieures à la taille exacte 217{,}4.

Se prémunir contre un pilote trop optimiste

Pourquoi le pilote se trompe plutôt par défaut

Les dépenses ont une longue queue à droite : un petit échantillon manque souvent les gros budgets, et sous-estime S. L’écart-type médian des pilotes vaut 3\,875 dh, contre S = 3\,984 dh.

Majorer l’écart-type par prudence
Écart-type utilisé s 1{,}1\,s 1{,}2\,s 1{,}3\,s
Taille trop petite (\%) 57{,}6 35{,}2 18{,}8 9{,}1
Taille médiane conseillée 207 245 285 326

Première ligne : part des 2\,000 pilotes qui conseillent moins de 217{,}4 ménages. La sécurité se paie : majorer S de 20\,\% multiplie n_0 par 1{,}44.

La non-réponse

Tirer plus pour obtenir assez

Si l’on attend un taux de réponse \tau, on tire n/\tau unités pour obtenir environ n réponses.

Avec le taux de réponse de la population du cours

\tau = 0{,}8085. Pour \pm 5 points : 322{,}4/0{,}8085 = 398{,}8, soit 399 ménages à tirer. Pour \pm 3 points : 696{,}1/0{,}8085 = 860{,}9, soit 861.

La taille, pas le biais

Diviser par \tau assure le nombre de réponses, pas leur représentativité. Les répondants de la population du cours dépensent en moyenne 7\,692{,}00 dh, contre \overline{Y} = 7\,911{,}44 : un biais de -219{,}43 dh que la taille ne réduit pas (chapitre 14).

Plusieurs objectifs, un budget

Plusieurs variables, une seule taille

Deux objectifs pour une même enquête
  • Dépense moyenne à \pm 500 dh : 218 ménages.
  • Part des ménages connectés à \pm 5 points : 323 ménages.

On retient 323, la plus grande des deux. La dépense est alors connue à \pm 397{,}9 dh, mieux que demandé.

L’objectif le plus exigeant commande

Une enquête porte sur des dizaines de variables. On la dimensionne sur quelques indicateurs clés, et l’on retient la plus grande des tailles obtenues ; les autres variables profitent de cette précision supplémentaire.

Une précision par province

Une marge dans chaque province

Barres pâles : la taille nationale, répartie au prorata des provinces. Barres foncées : la taille qui donne la même marge dans chaque province. Pour \pm 500 dh, il faut 588 ménages au lieu de 218.

Ce que coûtent les domaines

Une marge de 500 dh dans chaque province
Province N_h S_h n_0 n_h f_h
Tanger-Assilah 820 4\,271 280{,}3 209 25{,}5\,\%
Tétouan 560 3\,873 230{,}5 164 29{,}3\,\%
Larache 380 3\,593 198{,}4 131 34{,}5\,\%
Al Hoceïma 240 2\,900 129{,}2 84 35{,}0\,\%
Ensemble 2\,000 588 29{,}4\,\%
Chaque domaine coûte presque une enquête

La taille dépend peu de N_h : Tanger-Assilah seule demande 209 ménages, presque autant que toute la région (218). Avec 218 ménages répartis au prorata, Al Hoceïma n’en aurait que 26, et une marge de \pm 1\,053 dh. L’échantillon n’est plus proportionnel : il faudra des poids (chapitre 1) et une allocation réfléchie (chapitre 7).

L’effet de plan comme multiplicateur

Corriger la taille selon le plan

Si un plan a une variance \mathit{deff} fois celle d’un sondage aléatoire simple de même taille (l’effet de plan, chapitre 7), on multiplie n_0 par \mathit{deff}, puis on corrige pour la population finie : n_0' = \mathit{deff} \times n_0 \qquad\qquad n = \frac{n_0'}{1 + n_0'/N}

Deux plans à venir, pour une marge de 500 dh
  • Stratifié par province, \mathit{deff} = 0{,}954 (chapitre 6) : n_0' = 243{,}9 \times 0{,}954 = 232{,}7 ; n = 208{,}5, soit 209 ménages au lieu de 218.
  • Par grappes de 40 ménages, \mathit{deff} \approx 1 + 39 \times 0{,}162 = 7{,}32 (chapitre 9) : n_0' = 1\,785{,}1 ; n = 943{,}2, soit 24 districts entiers.
Démonstration : L’effet de plan multiplie la taille

Supposons que la variance du plan soit, pour tout échantillon de taille n de ce plan, égale à \mathit{deff} fois celle du sondage aléatoire simple de même taille : V_{\text{plan}}(n) = \mathit{deff}\times\left(\frac1n - \frac1N\right)S^2 (hypothèse de travail : \mathit{deff} varie peu avec n). La marge e = z\sqrt{V_{\text{plan}}(n)} exige \mathit{deff}\left(\frac1n - \frac1N\right)S^2 = \frac{e^2}{z^2} \;\Longrightarrow\; \frac1n - \frac1N = \frac{e^2}{z^2S^2\,\mathit{deff}} = \frac{1}{\mathit{deff}\times n_0} = \frac1{n_0'}. Donc n_0' = \mathit{deff}\times n_0 joue le rôle de n_0, et \frac1n = \frac1{n_0'} + \frac1N donne n = \dfrac{n_0'}{1 + n_0'/N}.

Pour les deux plans du texte, marge \pm 500 dh (n_0 = 243{,}9). Stratifié, \mathit{deff} = 0{,}954 : n_0' = 232{,}7 et n = 232{,}7/(1 + 232{,}7/2\,000) = 208{,}5, soit 209 ménages. Par grappes de 40, \mathit{deff} = 1 + 39 \times 0{,}162 = 7{,}318 : n_0' = 1\,785{,}1 et n = 1\,785{,}1/(1 + 1\,785{,}1/2\,000) = 943{,}2, soit 943{,}2/40 \approx 24 districts.

Ce que cela dit. Un effet de plan inférieur à 1 économise des questionnaires, supérieur à 1 en coûte : la correction de population finie intervient après le multiplicateur, ce qui explique que n augmente moins vite que \mathit{deff} (7{,}3 fois plus pour n_0, 4{,}3 fois pour n, par rapport à 217{,}4).

Le budget et la démarche complète

Cinq étapes
  1. Fixer l’indicateur clé, la marge e et le niveau de confiance.
  2. Trouver S, CV ou P ; calculer n_0.
  3. Multiplier par l’effet de plan ; corriger pour la population finie.
  4. Diviser par le taux de réponse attendu ; arrondir au-dessus.
  5. Chiffrer le coût C = c_0 + c\,n ; si le budget ne suffit pas, revoir la marge.
Un exemple chiffré, avec des coûts supposés

Dépense à \pm 300 dh, plan stratifié (\mathit{deff} = 0{,}954), \tau = 0{,}8085 : 677{,}6 \times 0{,}954 = 646{,}4 ; n = 488{,}5 ; 488{,}5/0{,}8085 = 604{,}2, soit 605 questionnaires. À 20\,000 dh de frais fixes et 150 dh par questionnaire : 110\,750 dh. Avec 80\,000 dh, on n’envoie que 400 questionnaires, pour une marge d’environ \pm 388 dh.

S’entraîner

Exercice 1 : les loyers des étudiants

Une enquête dans une ville universitaire

Une association veut estimer le loyer mensuel moyen des 4\,000 étudiants locataires d’une ville universitaire. Une enquête de l’an dernier donne un écart-type d’environ 600 dh.

  1. Quelle taille faut-il pour une marge de \pm 50 dh à 95\,\% ?
  2. Et pour \pm 25 dh ? Pourquoi la taille ne quadruple-t-elle pas ?
  3. Quelle taille faut-il pour \pm 50 dh à 99\,\% ?

Exercice 1 : solution

Marge absolue
  1. n_0 = (1{,}96 \times 600/50)^2 = 553{,}2 ; n = 553{,}2/(1 + 553{,}2/4\,000) = 485{,}98, soit 486 étudiants.
  2. n_0 = 2\,212{,}8, quatre fois plus ; mais n = 1\,424{,}7, soit 1\,425 : 2{,}9 fois plus seulement. L’échantillon devient une part notable (36\,\%) de la population, et la correction joue davantage.
Niveau de confiance
  1. n_0 = (2{,}576 \times 600/50)^2 = 955{,}6 ; n = 771{,}3, soit 772 étudiants : 59\,\% de plus qu’à 95\,\%.

Exercice 2 : une proportion dans une commune

Les chauffe-eau solaires

Une commune de 3\,000 ménages veut connaître la part des ménages équipés d’un chauffe-eau solaire, à \pm 4 points près, à 95\,\%.

  1. Quelle taille retenir si l’on ne sait rien de cette part ?
  2. Une enquête voisine indique une part proche de 20\,\%. Quelle taille suffit alors ?
  3. On attend 75\,\% de réponses. Combien de ménages faut-il tirer dans le cas de la question 1 ?

Exercice 2 : solution

Le pire des cas, puis l’information
  1. P = 0{,}5 par prudence : n_0 = 1{,}96^2 \times 0{,}25/0{,}04^2 = 600{,}25 ; n = \dfrac{600{,}25}{1 + 599{,}25/3\,000} = 500{,}3, soit 501 ménages.
  2. P\,(1-P) = 0{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}16 : n_0 = 384{,}16 ; n = 340{,}6, soit 341 ménages, un tiers de moins.
La non-réponse
  1. 500{,}3/0{,}75 = 667{,}1 : il faut tirer 668 ménages pour obtenir environ 501 réponses. Si les non-répondants diffèrent des répondants, ce surcroît ne corrige pas le biais.

Exercice 3 : urbain et rural

Une marge dans chaque milieu

Dans la population du cours, les 1\,438 ménages urbains ont un écart-type de dépense de 4\,134 dh, les 562 ménages ruraux de 3\,215 dh. On veut une marge de \pm 600 dh à 95\,\%.

  1. Quelle taille faut-il pour la seule moyenne d’ensemble (S = 3\,984{,}29 dh) ?
  2. Quelle taille faut-il dans chaque milieu pour y obtenir cette marge ? Quel est le total ?
  3. Si l’on répartit la taille de la question 1 au prorata des milieux, quelle est la marge pour les ruraux ?

Exercice 3 : solution

Ensemble et milieux
  1. n_0 = (1{,}96 \times 3\,984{,}29/600)^2 = 169{,}4 ; n = 156{,}2, soit 157 ménages.
  2. Urbain : n_0 = 182{,}4, n = 161{,}9, soit 162. Rural : n_0 = 110{,}3, n = 92{,}2, soit 93. Total : 255 ménages, 1{,}62 fois plus.
Le prorata ne suffit pas
  1. Les ruraux recevraient 157 \times 562/2\,000 = 44 ménages, d’où une marge de 1{,}96 \times 3\,215 \times \sqrt{1/44 - 1/562} = 912 dh : une fois et demie l’objectif. Pour publier par milieu, il faut suréchantillonner le rural (chapitre 7).

Ce qu’il faut retenir

Le résumé du chapitre

Sept points
  1. On part de la marge e voulue et l’on inverse la variance : n_0 = (zS/e)^2.
  2. La population finie réduit la taille : n = n_0/(1 + n_0/N) < N ; on arrondit au-dessus.
  3. La taille croît comme le carré de la précision : diviser e par deux multiplie n_0 par quatre.
  4. En précision relative, seul compte le coefficient de variation : n_0 = (z\,CV/r)^2.
  5. Pour une proportion, P = 0{,}5 par prudence : \pm 5 points demandent n_0 = 384{,}2.
  6. On majore le S du pilote par prudence ; on divise par le taux de réponse.
  7. Chaque domaine coûte presque une enquête ; l’effet de plan multiplie n_0.
La suite

Le chapitre 6 tire séparément dans chaque province : c’est le sondage stratifié, plus précis à taille égale.

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