Échantillonnage

Échantillonnage · Chapitre 11

Les probabilités inégales

Tirer selon la taille

Des districts de tailles inégales

Cinq districts tirés à probabilités égales (chapitre 9)
Estimateur de la dépense moyenne Écart-type \mathit{deff}
Aléatoire simple de 200 ménages 267{,}3 1
5 districts, Horvitz-Thompson 1\,516{,}6 32{,}2
5 districts, ratio 773{,}8 8{,}4
Ce qui fait varier le total d’un district

Les districts comptent de 13 à 71 ménages. Le total Y_i d’un district dépend d’abord de sa taille M_i, ensuite seulement de la dépense de ses ménages. Tirés à probabilités égales, cinq districts héritent de toute la variation des tailles : c’est elle qui gonfle la variance de Horvitz-Thompson.

La dépense d’un district suit sa taille

Une corrélation de 0,87

Les points s’alignent autour de la droite Y_i = \overline{Y}\,M_i : la moyenne \overline{Y}_i = Y_i/M_i varie beaucoup moins que le total Y_i. Coefficient de variation des totaux : 0{,}45 ; des moyennes : 0{,}21.

Une probabilité proportionnelle à la taille

Le tirage proportionnel à la taille

On connaît pour chaque unité i, avant l’enquête, une mesure de taille x_i > 0, de total X. On tire l’unité i avec la probabilité p_i = \frac{x_i}{X}, \qquad \sum_i p_i = 1 On parle de tirage PPT (probabilité proportionnelle à la taille). Pour les districts : x_i = M_i, X = N = 2\,000 et p_i = M_i/2\,000.

Le plus grand et le plus petit district

District 1 : p_1 = 71/2\,000 = 0{,}0355. District 46 : p_{46} = 13/2\,000 = 0{,}0065. Le premier a 71/13 = 5{,}46 fois plus de chances d’être tiré que le second.

Avec remise : Hansen-Hurwitz

La méthode des tailles cumulées

Tirer selon la taille avec un seul nombre
  1. Calculer les tailles cumulées C_i = x_1 + \dots + x_i, avec C_0 = 0.
  2. Tirer un entier a au hasard entre 1 et X.
  3. Retenir l’unité i telle que C_{i-1} < a \leq C_i.

L’unité i occupe x_i entiers sur X : elle sort avec la probabilité x_i/X. On répète n fois, indépendamment : c’est un tirage avec remise.

La mini-population, avec la taille pour mesure

Tailles 2, 3, 3, 4, 6 ; cumuls 2, 5, 8, 12, 18. On tire a entre 1 et 18 : A si a \leq 2, B de 3 à 5, C de 6 à 8, D de 9 à 12, E de 13 à 18. Ainsi p_A = 2/18 = 1/9 et p_E = 6/18 = 1/3.

Tirer un ménage, garder son district

Pour les districts, X = N : tirer a, c’est tirer un ménage au hasard et retenir son district.

L’estimateur de Hansen-Hurwitz

Une estimation par tirage, puis leur moyenne

Au tirage j sort une unité de valeur y_{(j)} et de probabilité p_{(j)}. Ce tirage fournit à lui seul l’estimation z_j = y_{(j)}/p_{(j)} du total, et \widehat{Y}_{HH} = \frac1n \sum_{j=1}^{n} z_j = \frac1n \sum_{j=1}^{n} \frac{y_{(j)}}{p_{(j)}}

Sans biais, en une ligne

z_j vaut y_i/p_i avec la probabilité p_i, donc E(z_j) = \sum_i p_i\,\frac{y_i}{p_i} = \sum_i y_i = Y La moyenne de n estimations sans biais est sans biais. Avec p_i = 1/N, on retrouve N\,\overline{y}_{AR}, l’estimateur avec remise du chapitre 4.

Sa variance et son estimation

Des tirages indépendants et de même loi

V(\widehat{Y}_{HH}) = \frac{1}{n}\sum_{i} p_i\left(\frac{y_i}{p_i} - Y\right)^2 \qquad\quad \widehat{V}(\widehat{Y}_{HH}) = \frac{s_z^2}{n} = \frac{1}{n\,(n-1)}\sum_{j=1}^{n}\left(z_j - \widehat{Y}_{HH}\right)^2

La démonstration

Les z_j sont indépendants, d’espérance Y et de variance V(z) = \sum_i p_i\,(y_i/p_i - Y)^2 : leur moyenne a la variance V(z)/n. La variance s_z^2 des n valeurs z_j est sans biais pour V(z) (Statistique inférentielle, chapitre 3), quels que soient les p_i.

Démonstration : Hansen-Hurwitz, sans biais, sa variance et son estimation

Une estimation par tirage. Les tirages se font avec remise : à chaque tirage, l’unité i sort avec la probabilité p_i, quoi qu’il soit sorti avant. La variable z_j = y_{(j)}/p_{(j)} prend donc la valeur y_i/p_i avec la probabilité p_i, et z_1, \dots, z_n sont indépendantes et de même loi.

Pas de biais. E(z_j) = \sum_{i} p_i\,\frac{y_i}{p_i} = \sum_{i} y_i = Y, \qquad E(\widehat{Y}_{HH}) = \frac1n\sum_{j=1}^{n} E(z_j) = Y. La variance de z. En développant le carré, avec \sum_i p_i = 1 et \sum_i p_i\,\dfrac{y_i}{p_i} = Y, V(z) = \sum_{i} p_i\left(\frac{y_i}{p_i} - Y\right)^2 = \sum_{i}\frac{y_i^2}{p_i} - 2\,Y\sum_i y_i + Y^2\sum_i p_i = \sum_{i}\frac{y_i^2}{p_i} - Y^2. Les z_j étant indépendantes, V(\widehat{Y}_{HH}) = V(z)/n.

L’estimation de la variance. Soit s_z^2 = \dfrac{1}{n-1}\sum_{j}(z_j - \overline{z})^2. En écrivant z_j - \overline{z} = (z_j - Y) - (\overline{z} - Y), \sum_{j}(z_j - \overline{z})^2 = \sum_{j}(z_j - Y)^2 - n\,(\overline{z} - Y)^2, dont l’espérance est n\,V(z) - n\,\dfrac{V(z)}{n} = (n-1)\,V(z). Donc E(s_z^2) = V(z) et E\big(s_z^2/n\big) = V(\widehat{Y}_{HH}) : l’estimateur de variance est sans biais, quels que soient les p_i.

Ce que cela dit. Sur la mini-population (n = 2, tailles 2, 3, 3, 4, 6), z = 36, 36, 42, 40{,}5, 42 : E(z) = 40 = Y et V(z) = 117/18 = 6{,}5, d’où V(\widehat{Y}_{HH}) = 3{,}25. L’énumération des 25 couples ordonnés de tirages, de probabilité p_i\,p_j, retrouve exactement E(\widehat{Y}_{HH}) = 40, V(\widehat{Y}_{HH}) = 3{,}25 et E\big(s_z^2/n\big) = 3{,}25 ; l’énumération des 125 triplets donne de même V(z)/3. À probabilités égales, la même population donne 145 avec remise : le tirage selon la taille divise la variance par 45 environ ; par 33 environ face aux 108{,}75 du sondage aléatoire simple sans remise.

Une variance nulle

Si y_i/p_i est le même pour toutes les unités, chaque tirage donne exactement Y : il faudrait des p_i proportionnels aux y_i. Comme les y_i sont inconnus, on prend une taille x_i qui leur est à peu près proportionnelle.

Sur la mini-population

Deux tirages proportionnels à la taille
Ménage A B C D E
y_i (milliers de dh) 4 6 7 9 14
p_i = x_i/18 1/9 1/6 1/6 2/9 1/3
z_i = y_i/p_i 36 36 42 40{,}5 42

V(z) = \frac{1}{18}\big(2 \times 4^2 + 3 \times 4^2 + 3 \times 2^2 + 4 \times 0{,}5^2 + 6 \times 2^2\big) = \frac{117}{18} = 6{,}5, d’où V(\widehat{Y}_{HH}) = 6{,}5/2 = 3{,}25.

Trente-trois fois moins que le sondage aléatoire simple

À probabilités égales, V(\widehat{Y}) = 25 \times 4{,}35 = 108{,}75 sans remise (chapitre 2), 25 \times 5{,}8 = 145 avec remise (chapitre 4). Ici 3{,}25 : la dépense par personne y_i/x_i ne va que de 2 à 2{,}33, et chaque z_i reste proche de Y = 40.

Cinq districts tirés selon leur taille

La moyenne des moyennes de district

Hansen-Hurwitz pour des grappes

Avec p_i = M_i/N et y_i = Y_i, chaque tirage donne z_j = Y_i/p_i = N\,\overline{Y}_i. La dépense moyenne s’estime par la moyenne simple des moyennes des districts tirés : \frac{\widehat{Y}_{HH}}{N} = \frac{1}{n_I}\sum_{j=1}^{n_I} \overline{Y}_{(j)} \qquad\quad V\Big(\frac{\widehat{Y}_{HH}}{N}\Big) = \frac{1}{n_I}\sum_{i=1}^{N_I} \frac{M_i}{N}\big(\overline{Y}_i - \overline{Y}\big)^2

Les tailles ont disparu

La variance ne dépend plus que des écarts entre moyennes de district : \sum_i \frac{M_i}{N}\big(\overline{Y}_i - \overline{Y}\big)^2 = 2\,844\,644, soit 18\,\% seulement de S^2. Pour n_I = 5 : 2\,844\,644/5 = 568\,929, et l’écart-type vaut 754{,}3 dh.

Démonstration : Hansen-Hurwitz avec des grappes, la moyenne des moyennes

Les tailles disparaissent. Le district i est tiré avec la probabilité p_i = M_i/N : tirer le ménage a au hasard parmi les N et retenir son district. Pour la variable y_i = Y_i = M_i\,\overline{Y}_i, le total du district, z = \frac{Y_i}{p_i} = \frac{M_i\,\overline{Y}_i}{M_i/N} = N\,\overline{Y}_i. L’estimateur de la moyenne est donc la moyenne simple des moyennes de district tirées : \frac{\widehat{Y}_{HH}}{N} = \frac{1}{n_I}\sum_{j=1}^{n_I}\frac{z_j}{N} = \frac{1}{n_I}\sum_{j=1}^{n_I}\overline{Y}_{(j)}. Sans biais. E(\overline{Y}_{(j)}) = \sum_i \dfrac{M_i}{N}\,\overline{Y}_i = \dfrac1N\sum_i Y_i = \overline{Y}.

La variance. \overline{Y}_{(j)} prend la valeur \overline{Y}_i avec la probabilité M_i/N et a pour espérance \overline{Y} ; sa variance est \sum_i \frac{M_i}{N}\big(\overline{Y}_i - \overline{Y}\big)^2. Les n_I tirages sont indépendants : on divise par n_I. Seuls les écarts entre moyennes interviennent.

Le coût en ménages. Le nombre de ménages enquêtés dans un tirage est M_i, d’espérance \sum_i \frac{M_i}{N}\,M_i = \sum_i M_i^2/N.

Ce que cela dit. Sur la population du cours, \sum_i \frac{M_i}{N}\big(\overline{Y}_i - \overline{Y}\big)^2 = 2\,844\,644, soit 17{,}9\,\% de S^2 ; pour n_I = 5 districts, 568\,929 et un écart-type de 754{,}3 dh. À probabilités égales, les cinq districts héritent des écarts de taille : 1\,516{,}6 dh avec Horvitz-Thompson. Le prix du tirage selon la taille est le nombre de ménages : \sum_i M_i^2/N = 44{,}5 par tirage, soit 222{,}6 pour cinq tirages. Pour la suite 1704, 358, 53, 1280, 731, les tailles cumulées désignent les districts 42, 7, 1, 30, 16, d’où \frac15\sum_j \overline{Y}_{(j)} = 7\,986{,}74 dh.

Un tirage de cinq districts

Cinq nombres entre 1 et 2 000, graine 2026
Nombre a District Province, milieu M_i \overline{Y}_i
1\,704 42 Larache, rural 43 6\,845{,}35
358 7 Tanger-Assilah, urbain 70 10\,953{,}29
53 1 Tanger-Assilah, urbain 71 7\,014{,}65
1\,280 30 Tétouan, rural 26 7\,074{,}23
731 16 Tanger-Assilah, rural 47 8\,046{,}17
L’estimation

\frac15\big(6\,845{,}35 + 10\,953{,}29 + 7\,014{,}65 + 7\,074{,}23 + 8\,046{,}17\big) = 7\,986{,}74 dh, pour \overline{Y} = 7\,911{,}44. On a enquêté 257 ménages. Les deux plus grands districts, 1 et 7, sont tirés tous les deux : le plan les favorise.

Estimer la précision

Cinq moyennes, une variance

Écarts des \overline{Y}_i à leur moyenne : -1\,141{,}4 ; 2\,966{,}5 ; -972{,}1 ; -912{,}5 ; 59{,}4. Somme des carrés 11\,884\,335, d’où s^2 = 11\,884\,335/4 = 2\,971\,084 et \widehat{V} = \frac{2\,971\,084}{5} = 594\,217 \qquad \text{erreur-type estimée } 770{,}9 \text{ dh} Intervalle à 95\,\%, Student à 4 degrés de liberté : 7\,986{,}7 \pm 2{,}776 \times 770{,}9 = [5\,846{,}8\,;10\,126{,}6].

Cinq observations, pas 257

La variance se calcule sur les cinq moyennes de district : c’est le tirage des districts qui porte l’aléa, et les ménages d’un même district se ressemblent. L’erreur-type estimée, 770{,}9, est proche de la vraie, 754{,}3 ; l’erreur commise, +75 dh, est bien couverte.

Le gain

Cinq districts, trois façons de faire
Cinq districts, estimateur Ménages Écart-type \mathit{deff}
(aléatoire simple de 200 ménages) 200 267{,}3 1
Égales, Horvitz-Thompson 200 1\,516{,}6 32{,}2
Égales, ratio 200 773{,}8 8{,}4
PPT, Hansen-Hurwitz 222{,}6 754{,}3 8{,}0

Ménages : nombre moyen de ménages enquêtés. Effet de plan rapporté à l’aléatoire simple de 200 ménages.

Aussi bon que le ratio, sans ses défauts

Le tirage PPT fait aussi bien que le ratio, mais son estimateur est exactement sans biais, et sa variance s’estime par une formule exacte. Le prix : les grands districts, plus souvent tirés, font enquêter en moyenne \sum_i M_i^2/N = 44{,}5 ménages par tirage, soit 222{,}6 au lieu de 200.

Vingt mille enquêtes

Trois estimateurs, cinq districts, graine 11

Horvitz-Thompson à probabilités égales se trompe de plus de 2\,000 dh dans 18{,}6\,\% des enquêtes, le ratio dans 0{,}7\,\%, Hansen-Hurwitz dans 0{,}8\,\%. Écarts-types simulés : 1\,512{,}9, 769{,}9 et 761{,}7 dh.

Sans remise : Horvitz-Thompson

Éviter les répétitions

Un district tiré deux fois

Avec remise, cinq tirages donnent cinq districts distincts avec la probabilité 0{,}795 seulement : une enquête sur cinq tire deux fois le même district, et n’apprend rien de plus la seconde fois.

Des probabilités d’inclusion proportionnelles à la taille

Sans remise, on vise \pi_i = n\,x_i/X, ce qui exige n\,x_i \leq X, et l’on emploie l’estimateur de Horvitz-Thompson (chapitre 2), \widehat{Y}_{HT} = \sum_{i \in S} y_i/\pi_i. Pour 5 districts, \pi_i = 5\,M_i/2\,000 = M_i/400, de 0{,}0325 à 0{,}1775 : \widehat{Y}_{HT}/N est encore la moyenne simple des \overline{Y}_i tirés.

Les unités trop grandes

Si n\,x_i > X, l’unité est prise d’office (\pi_i = 1) et l’on tire les autres parmi le reste. Avec 40 districts, \pi_i = M_i/50 dépasserait 1 pour les 8 districts de plus de 50 ménages.

Le tirage systématique proportionnel à la taille

Tailles cumulées et pas constant
  1. Ranger les unités dans un ordre choisi ; calculer les tailles cumulées C_i.
  2. Fixer le pas k = X/n ; tirer un départ r au hasard entre 1 et k.
  3. Retenir les unités dont l’intervalle ]C_{i-1}\,;C_i] contient l’un des points r, r + k, \dots, r + (n-1)\,k.

Si x_i \leq k, l’intervalle de l’unité i reçoit un point pour exactement x_i des k départs : \pi_i = x_i/k = n\,x_i/X.

Cinq districts dans l’ordre du fichier

k = 2\,000/5 = 400 ; départ tiré (graine 2026) : r = 341. Les points 341, 741, 1\,141, 1\,541 et 1\,941 tombent dans les districts 7, 17, 26, 37 et 49.

Démonstration : Le tirage systématique proportionnel à la taille

Un point par départ. Posons k = X/n et tirons le départ r parmi 1, \dots, k, chacun avec la probabilité 1/k. Un entier a de l’axe \{1, \dots, X\} est l’un des points r, r+k, \dots, r+(n-1)k pour un seul départ : celui qui vaut a modulo k.

La probabilité d’inclusion. L’unité i occupe les x_i entiers de ]C_{i-1}\,;C_i]. Si x_i \leq k, deux de ces entiers diffèrent de moins de k : ils ne sont pas congrus modulo k, donc ils correspondent à x_i départs distincts. L’unité i est tirée pour exactement x_i des k départs : \pi_i = \frac{x_i}{k} = \frac{n\,x_i}{X}. Un échantillon de taille fixe. Deux points d’un même départ sont distants de k, plus que la longueur x_i d’un intervalle : ils tombent dans deux unités différentes. Chaque départ donne donc n unités distinctes.

Horvitz-Thompson. y_i/\pi_i = k\,y_i/x_i. Pour les districts, y_i = Y_i = M_i\,\overline{Y}_i et x_i = M_i : Y_i/\pi_i = k\,\overline{Y}_i, avec k = N/n_I. Alors \frac{\widehat{Y}_{HT}}{N} = \frac{1}{N}\cdot\frac{N}{n_I}\sum_{i \in S}\overline{Y}_i = \frac{1}{n_I}\sum_{i \in S}\overline{Y}_i, la moyenne simple des moyennes de district, comme avec remise. L’estimateur est sans biais : E(\widehat{Y}_{HT}) = \sum_i \pi_i\,\dfrac{y_i}{\pi_i} = Y.

Ce que cela dit. Sur la mini-population (n = 2, k = 9), les 9 départs donnent cinq échantillons : AD, BD, BE, CE et DE, de probabilités 2/9, 1/9, 2/9, 3/9 et 1/9 ; chaque ménage a bien \pi_i = 2\,x_i/18. Sur les districts (k = 400), chacun reçoit un départ pour M_i des 400 départs, chaque départ donne cinq districts distincts, et la moyenne des 400 estimations vaut exactement \overline{Y} = 7\,911{,}44. Le départ 341 donne 7\,475{,}0 dh.

Cinq districts sur l’axe des ménages

L’estimation et sa précision

\frac15\,(10\,953{,}29 + 5\,828{,}14 + 6\,146{,}35 + 7\,688{,}91 + 6\,758{,}33) = 7\,475{,}0 dh, soit 436 dh de moins que \overline{Y}. Sur les 400 départs possibles, l’écart-type exact vaut 668{,}3 dh, contre 754{,}3 avec remise : chaque province reçoit sa part de points, une stratification implicite (chapitre 8).

Sur la mini-population

Deux ménages, pas de 9, ordre A à E

\pi_i = 2\,x_i/18 : \frac29, \frac13, \frac13, \frac49, \frac23 ; y_i/\pi_i : 18, 18, 21, 20{,}25, 21. Les 9 départs donnent cinq échantillons :

Échantillon AD BD BE CE DE
Probabilité 2/9 1/9 2/9 3/9 1/9
\widehat{Y}_{HT} 38{,}25 38{,}25 39 42 41{,}25
Sans remise, un peu mieux

E(\widehat{Y}_{HT}) = 360/9 = 40 = Y et V(\widehat{Y}_{HT}) = 2{,}75, contre 3{,}25 avec remise : aucun tirage n’est perdu à reprendre un ménage déjà tiré. Mais AB, AC, AE, BC et CD ne sont jamais tirés ensemble : \pi_{kl} = 0 pour cinq paires sur dix.

La variance de Sen-Yates-Grundy

La forme du chapitre 2, pour un plan de taille fixe

V(\widehat{Y}_{HT}) = \frac12 \sum_{k}\sum_{l \neq k} \left(\pi_k\,\pi_l - \pi_{kl}\right) \left(\frac{y_k}{\pi_k} - \frac{y_l}{\pi_l}\right)^2 Mini-population : les dix paires, multipliées par 81, donnent 54 (AC), -50{,}625 (AD), 108 (AE), 81 (BC), 15{,}1875 (BD), 6{,}75 (CD), 8{,}4375 (DE), 0 pour les autres. Total : 222{,}75/81 = 2{,}75, la variance de l’énumération.

Pas d’estimation sans biais

\widehat{V}_{SYG} divise chaque paire par \pi_{kl} : il exige \pi_{kl} > 0. Or 1\,028 paires de districts sur 1\,225 (84\,\%) ne sont jamais tirées ensemble. On calcule alors la variance comme avec remise, s^2/n_I sur les \overline{Y}_i tirés : erreur-type 925{,}6 dh ici, \sqrt{599\,512} = 774{,}3 dh en moyenne sur les 400 départs, pour un écart-type vrai de 668{,}3. C’est prudent.

Démonstration : Des couples jamais tirés ensemble, et la variance prudente

Pourquoi \pi_{kl} = 0. Deux unités sont tirées ensemble seulement si un même départ place un point dans chacune : il faut deux entiers a \in\;]C_{k-1}\,;C_k] et b \in\;]C_{l-1}\,;C_l] dont l’écart b - a est un multiple de k. Si tous les écarts possibles tombent strictement entre deux multiples consécutifs de k, la paire n’est jamais tirée. Sur la mini-population (k = 9), A occupe 1-2, B 3-5, C 6-8, D 9-12, E 13-18 : les écarts entre A et B vont de 1 à 4, entre 0 et 9 ; aucun n’est un multiple de 9, donc \pi_{AB} = 0. Même chose pour AC (4 à 7), AE (11 à 17), BC (1 à 5) et CD (1 à 6) ; les écarts entre A et D, de 7 à 11, atteignent 9 : \pi_{AD} > 0.

La variance exacte. Pour un plan de taille fixe, la forme de Sen-Yates-Grundy est V(\widehat{Y}_{HT}) = \sum_{k < l}\big(\pi_k\,\pi_l - \pi_{kl}\big)\left(\frac{y_k}{\pi_k} - \frac{y_l}{\pi_l}\right)^2. En développant, V(\widehat{Y}_{HT}) = \sum_k \frac{1-\pi_k}{\pi_k}\,y_k^2 + \sum_{k \neq l}\frac{\pi_{kl} - \pi_k\pi_l}{\pi_k\,\pi_l}\,y_k\,y_l. Pour un couple de \pi_{kl} = 0, le produit y_k\,y_l a pour coefficient -1 : un estimateur sans biais devrait le contenir. Mais aucun échantillon ne contient à la fois k et l : le produit n’est jamais observé, et aucun estimateur ne peut être sans biais pour la variance. L’estimateur de Sen-Yates-Grundy divise par \pi_{kl} : il n’existe pas.

Que faire. On remplace le plan par un tirage avec remise de même probabilité p_i = \pi_i/n et l’on estime s_z^2/n, ici s^2/n_I sur les \overline{Y}_i tirés. L’estimateur est sans biais pour la variance du tirage avec remise. Ici elle dépasse celle du plan systématique, qui stratifie implicitement : l’erreur est du côté de la prudence. Ce n’est pas une règle générale, qui dépend de l’ordre de la liste.

Ce que cela dit. Mini-population : les dix paires, multipliées par 81, donnent 54 (AC), -50{,}625 (AD), 108 (AE), 81 (BC), 15{,}1875 (BD), 6{,}75 (CD), 8{,}4375 (DE) et 0 pour AB, BE et CE : leur somme est 222{,}75, d’où V(\widehat{Y}_{HT}) = 222{,}75/81 = 2{,}75 ; l’énumération des cinq échantillons le confirme, et E(\widehat{Y}_{HT}) = 40. Pour les districts, 1\,028 des 1\,225 paires ne sont jamais tirées ensemble ; la variance prudente vaut 774{,}3^2 = 599\,512 en moyenne sur les 400 départs, pour un écart-type exact de 668{,}3 dh.

Deux degrés autopondéré

Districts selon leur taille, ménages en nombre fixe

Le plan
  1. Tirer n_I districts proportionnellement à leur taille : \pi_i = n_I\,M_i/N.
  2. Dans chaque district tiré, tirer m ménages par sondage aléatoire simple, le même nombre partout.

Un ménage du district i est tiré avec la probabilité \pi_k = \frac{n_I\,M_i}{N} \times \frac{m}{M_i} = \frac{n_I\,m}{N} la même pour tous : le plan est autopondéré.

Vingt districts de dix ménages

\pi_i = 20\,M_i/2\,000 = M_i/100, de 0{,}13 à 0{,}71 ; \pi_k = 200/2\,000 = 0{,}1 et d_k = 10 pour chacun des 200 ménages. L’estimateur est la simple moyenne \overline{y} des 200 ménages.

Pourquoi les instituts l’aiment

Trois avantages pratiques
  1. Une charge fixe par district : chaque équipe réalise m entretiens, quel que soit le district.
  2. Une taille d’échantillon fixée à n_I\,m ménages, donc un budget connu.
  3. Des poids égaux : moyennes et proportions se calculent sans pondération.
Ce que le chapitre 10 ne réunissait pas

À probabilités égales, m ménages par district donnent des poids d_k = N_I\,M_i/(n_I\,m) qui varient de 3{,}25 à 17{,}75 ; des m_i proportionnels à M_i rendent le plan autopondéré, mais la charge devient inégale. Le tirage selon la taille réunit les deux avantages.

La variance et son estimation

Districts tirés avec remise

Chaque tirage donne la moyenne \overline{y}_{(j)} de m ménages d’un district ; l’estimateur est \overline{y} = \frac{1}{n_I}\sum_j \overline{y}_{(j)}, de variance V(\overline{y}) = \frac{1}{n_I}\Big[\underbrace{\sum_i \frac{M_i}{N}\big(\overline{Y}_i - \overline{Y}\big)^2}_{\text{entre districts}} + \underbrace{\sum_i \frac{M_i}{N}\Big(1 - \frac{m}{M_i}\Big)\frac{S_i^2}{m}}_{\text{dans les districts}}\Big] où S_i^2 est la variance des dépenses dans le district i.

Une estimation qui voit les deux degrés

Les n_I moyennes \overline{y}_{(j)} sont indépendantes et de même loi, d’espérance \sum_i \frac{M_i}{N}\,\overline{Y}_i = \overline{Y}. Donc \widehat{V}(\overline{y}) = s_b^2/n_I, où s_b^2 est la variance de ces n_I moyennes : les deux degrés y sont, sans calculer un seul S_i^2.

Démonstration : Le plan autopondéré à deux degrés et sa variance

La probabilité d’inclusion. Un ménage k du district i est tiré si son district l’est, puis s’il est tiré dans son district : \pi_k = \frac{n_I\,M_i}{N}\times\frac{m}{M_i} = \frac{n_I\,m}{N}. Le poids d_k = N/(n_I\,m) est le même pour tous : \widehat{Y} = d\sum_{k \in S} y_k et l’estimateur de la moyenne est la moyenne simple \overline{y} des n_I\,m ménages.

La variance. Au tirage j, on tire le district i avec la probabilité p_i = M_i/N, puis m ménages par sondage aléatoire simple : on obtient la moyenne \overline{y}_{(j)}. Les n_I tirages sont indépendants et de même loi, donc V(\overline{y}) = V(\overline{y}_{(j)})/n_I. La loi de la variance totale (chapitre 10) donne V(\overline{y}_{(j)}) = V\big[E(\overline{y}_{(j)} \mid i)\big] + E\big[V(\overline{y}_{(j)} \mid i)\big]. Sachant i, \overline{y}_{(j)} est la moyenne d’un sondage aléatoire simple de m ménages : E(\overline{y}_{(j)} \mid i) = \overline{Y}_i et V(\overline{y}_{(j)} \mid i) = \big(1 - \tfrac{m}{M_i}\big)\dfrac{S_i^2}{m}. Avec la loi p_i, V(\overline{y}_{(j)}) = \underbrace{\sum_i \frac{M_i}{N}\big(\overline{Y}_i - \overline{Y}\big)^2}_{\text{entre districts}} + \underbrace{\sum_i \frac{M_i}{N}\Big(1 - \frac{m}{M_i}\Big)\frac{S_i^2}{m}}_{\text{dans les districts}}, \qquad \text{car } E(\overline{y}_{(j)}) = \sum_i \frac{M_i}{N}\,\overline{Y}_i = \overline{Y}. L’estimation. Les n_I moyennes \overline{y}_{(j)} sont indépendantes, d’espérance \overline{Y} et de variance V(\overline{y}_{(j)}) : par le même calcul que pour Hansen-Hurwitz, s_b^2/n_I est sans biais pour V(\overline{y}), les deux termes inclus.

Ce que cela dit. Sur trois districts de 3, 2 et 4 ménages et m = 2, l’énumération exacte des tirages donne V(\overline{y}_{(j)}) = 13{,}85 = 9{,}47 + 4{,}38 ; pour deux tirages, l’énumération des tirages et des échantillons confirme E\big(s_b^2/n_I\big) = V(\overline{y}). Sur la population du cours (m = 10) : \sum_i \frac{M_i}{N}\big(1 - \frac{10}{M_i}\big)S_i^2 = 10\,105\,597, d’où, pour n_I = 20, 2\,844\,644/20 = 142\,232 entre les districts et 10\,105\,597/200 = 50\,528 dans les districts : variance 192\,760, écart-type 439{,}0 dh. Les districts tirés à probabilités égales donnent 383\,368 entre districts, 2{,}7 fois plus. Avec 25 districts de 8 ménages, 113\,786 + 53\,768 = 167\,554.

Vingt districts de dix ménages sur la population

Deux plans de 200 ménages
Districts tirés Entre Dans Écart-type \mathit{deff}
Probabilités égales 383\,368 59\,169 665{,}2 6{,}19
Selon leur taille 142\,232 50\,528 439{,}0 2{,}70

Variance de \overline{y} entre districts et dans les districts. PPT : 2\,844\,644/20 = 142\,232 et 10\,105\,597/200 = 50\,528, où 10\,105\,597 = \sum_i \frac{M_i}{N}\big(1 - \frac{10}{M_i}\big)S_i^2.

Le premier degré reste le plus lourd

Le tirage selon la taille divise par 2{,}7 la variance entre districts et ramène l’effet de plan de 6{,}19 à 2{,}70. Le premier degré fait encore 74\,\% de la variance. Pour le plan 10 \times 20 du chapitre 10 (\mathit{deff} = 14{,}9), l’effet de plan tomberait à 4{,}5 environ.

Le risque d’une mauvaise mesure de taille

Une mesure de taille, plusieurs variables

Le total estimé avec cinq districts

Ménages connectés : coefficient de variation de 11{,}6\,\% en PPT, contre 20{,}8\,\% à probabilités égales. Ménages ruraux : 71{,}5\,\% en PPT, contre 65{,}9\,\% : le tirage selon la taille fait moins bien.

Quand la taille va à rebours

La mini-population, tailles inversées

Avec les tailles 6, 4, 3, 3, 2 pour A à E : z_i = y_i/p_i = 12, 27, 42, 54, 126, et V(z) = 20\,772/18 = 1\,154. Avec les vraies tailles, V(z) = 6{,}5 ; à probabilités égales, 290, soit quatre fois mieux.

Une petite probabilité sur une grande valeur

V(z) = \sum_i p_i\,(y_i/p_i - Y)^2 explose quand une unité a une grande valeur y_i et une petite probabilité p_i : E, qui dépense le plus, n’a plus que p_E = 2/18 et compte, s’il est tiré, pour 126 au lieu de 40. Les ruraux sont un cas voisin : R_i/p_i vaut N pour un district rural, 0 pour un district urbain.

Démonstration : Une mesure de taille mal choisie fait exploser la variance

Ce qui fait la variance. Pour le tirage avec remise, V(z) = \sum_i y_i^2/p_i - Y^2 : le terme de l’unité i est grand quand sa valeur y_i est grande et sa probabilité p_i petite.

Le minimum. Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz, Y^2 = \Big(\sum_i \frac{y_i}{\sqrt{p_i}}\cdot\sqrt{p_i}\Big)^2 \leq \Big(\sum_i \frac{y_i^2}{p_i}\Big)\Big(\sum_i p_i\Big) = \sum_i \frac{y_i^2}{p_i}, donc V(z) \geq 0, avec égalité si et seulement si y_i/\sqrt{p_i} est proportionnel à \sqrt{p_i}, c’est-à-dire p_i \propto y_i. La variance est nulle pour des probabilités proportionnelles aux valeurs, inconnues avant l’enquête ; la mesure de taille x_i est un substitut, d’autant meilleur que y_i/x_i varie peu.

Un exemple à rebours. Avec les tailles 6, 4, 3, 3, 2 au lieu de 2, 3, 3, 4, 6, les probabilités sont p_i = 6/18, \dots, 2/18 et z_i = y_i/p_i = 12, 27, 42, 54, 126. Alors V(z) = \sum_i p_i\,(z_i - 40)^2 = \frac{20\,772}{18} = 1\,154 = \sum_i\frac{y_i^2}{p_i} - 40^2. Ce que cela dit. Trois mesures de taille pour la même population : V(z) = 6{,}5 avec les vraies tailles, 290 à probabilités égales, 1\,154 à rebours, soit quatre fois plus que sans information. Le ménage E, qui dépense le plus, n’a plus que p_E = 2/18 : s’il sort, il compte pour 126 au lieu de 40.

Une taille périmée

Un district qui a quadruplé

Un district compté 13 ménages au recensement en abrite aujourd’hui 52, après la construction d’un lotissement. Tiré avec p_i = 13/2\,000, il fournit à lui seul z_j/2\,000 = 52\,\overline{Y}_i/13 = 4\,\overline{Y}_i. L’estimateur reste sans biais, car p_i est la vraie probabilité de tirage, mais sa variance s’envole ; en deux degrés, ses m ménages devraient peser quatre fois plus que les autres : le plan n’est plus autopondéré.

Bien choisir la mesure de taille
  1. Liée à la variable principale : y_i/x_i doit varier peu d’une unité à l’autre.
  2. À jour : recensement récent, liste actualisée, ou dénombrement des districts tirés avant l’enquête.
  3. Adaptée à toutes les variables : une taille en ménages convient aux totaux qui croissent avec la taille ; pour un groupe concentré dans certains districts, comme les ruraux, mieux vaut stratifier (chapitre 6).

S’entraîner

Exercice 1 : quatre villages

Hansen-Hurwitz sur quatre villages

Quatre villages comptent 10, 20, 30 et 40 ménages ; leurs dépenses totales sont 60, 140, 180 et 320 milliers de dh. On tire deux villages avec remise, proportionnellement au nombre de ménages.

  1. Calculer les p_i, les z_i = Y_i/p_i, et vérifier que E(z) = Y.
  2. Calculer V(\widehat{Y}_{HH}). Comparer à deux tirages avec remise à probabilités égales.
  3. On tire les villages 2 et 4. Calculer \widehat{Y}_{HH}, son erreur-type estimée, et la dépense moyenne par ménage estimée.

Exercice 1 : solution

Probabilités et variance
  1. p_i = 0{,}1 ; 0{,}2 ; 0{,}3 ; 0{,}4 et z_i = 600, 700, 600, 800. E(z) = 60 + 140 + 180 + 320 = 700 = Y.
  2. V(z) = 0{,}1 \times 100^2 + 0 + 0{,}3 \times 100^2 + 0{,}4 \times 100^2 = 8\,000, d’où V(\widehat{Y}_{HH}) = 4\,000. À probabilités égales, z_i = 4\,Y_i = 240, 560, 720, 1\,280 : V(z) = 142\,000 et V = 71\,000, soit 17{,}75 fois plus.
Une estimation
  1. \widehat{Y}_{HH} = (700 + 800)/2 = 750 milliers de dh ; \widehat{V} = \frac{1}{2 \times 1}\big(50^2 + 50^2\big) = 2\,500, erreur-type 50. Par ménage : 750/100 = 7{,}5 milliers de dh, pour une vraie valeur de 7.

Exercice 2 : huit douars

Un tirage systématique proportionnel à la taille

Huit douars comptent, dans l’ordre de la liste, 12, 30, 18, 25, 40, 15, 35 et 25 ménages. On en tire 4 par tirage systématique proportionnel à la taille, et l’on enquête tous leurs ménages.

  1. Calculer les tailles cumulées, le pas k et les \pi_i. Tous les \pi_i sont-ils inférieurs à 1 ?
  2. Avec le départ r = 37, quels douars sont tirés ?
  3. Leurs dépenses moyennes sont 6{,}2 ; 7{,}5 ; 5{,}8 et 6{,}9 milliers de dh. Estimer la dépense moyenne et le total.
  4. Peut-on estimer la variance sans biais ? Que faire ?

Exercice 2 : solution

Le tirage
  1. Cumuls : 12, 42, 60, 85, 125, 140, 175, 200 ; k = 200/4 = 50 ; \pi_i = 4\,M_i/200 = M_i/50, de 0{,}24 à 0{,}8 : tous les douars ont M_i \leq 50.
  2. Points 37, 87, 137, 187 : douars 2 (]12\,;42]), 5 (]85\,;125]), 6 (]125\,;140]) et 8 (]175\,;200]).
L’estimation
  1. Y_i/\pi_i = M_i\overline{Y}_i/(M_i/50) = 50\,\overline{Y}_i : \widehat{Y}_{HT} = 50 \times 26{,}4 = 1\,320 milliers de dh, et la moyenne vaut 1\,320/200 = 6{,}6, la moyenne simple des quatre \overline{Y}_i.
  2. Non : sept paires, dont les douars 1 et 2, ne sont jamais tirées ensemble (\pi_{kl} = 0). On calcule comme avec remise : s^2 = 1{,}7/3 = 0{,}5667, \widehat{V} = 0{,}5667/4 = 0{,}1417, erreur-type 0{,}376 millier de dh, une valeur prudente.

Exercice 3 : vingt-cinq districts de huit ménages

Un plan autopondéré sur la population du cours

On tire 25 districts par tirage systématique proportionnel à la taille, puis 8 ménages dans chacun ; la variance se calcule comme si les districts étaient tirés avec remise.

  1. Calculer \pi_k et le poids des ménages, puis \pi_i pour les districts de 71 et de 13 ménages.
  2. Avec \sum_i \frac{M_i}{N}(\overline{Y}_i - \overline{Y})^2 = 2\,844\,644 et \sum_i \frac{M_i}{N}\big(1 - \frac{8}{M_i}\big) S_i^2 = 10\,753\,679, calculer V(\overline{y}), l’écart-type et l’effet de plan (V_{SAS} = 71\,435{,}5).
  3. Pourquoi ne pourrait-on pas tirer ainsi 40 districts de 5 ménages ?

Exercice 3 : solution

Probabilités et variance
  1. \pi_k = 25 \times 8/2\,000 = 0{,}1 et d_k = 10 pour tous. \pi_i = 25\,M_i/2\,000 = M_i/80 : 0{,}8875 et 0{,}1625.
  2. 2\,844\,644/25 = 113\,786 et 10\,753\,679/(25 \times 8) = 53\,768 : V = 167\,554, écart-type 409{,}3 dh, \mathit{deff} = 167\,554/71\,435{,}5 = 2{,}35, contre 4{,}45 si les districts sont tirés à probabilités égales.
Les grands districts
  1. \pi_i = 40\,M_i/2\,000 = M_i/50 dépasserait 1 pour les 8 districts de plus de 50 ménages. Il faudrait les prendre d’office, et y tirer M_i/10 ménages pour garder \pi_k = 0{,}1.

Ce qu’il faut retenir

Le résumé du chapitre

Sept points
  1. Tirer proportionnellement à une taille : p_i = x_i/X, par les tailles cumulées.
  2. Hansen-Hurwitz : \widehat{Y}_{HH} = \frac1n\sum_j y_{(j)}/p_{(j)}, sans biais, et \widehat{V} = s_z^2/n.
  3. Sa variance est faible quand y_i/x_i varie peu, nulle si y_i est proportionnel à x_i.
  4. Cinq districts selon leur taille : écart-type 754{,}3 dh, contre 1\,516{,}6 à probabilités égales.
  5. Sans remise : \pi_i = n\,x_i/X et Horvitz-Thompson ; des \pi_{kl} nuls, une variance prudente.
  6. Districts selon leur taille, puis m ménages : un plan autopondéré à charge fixe.
  7. Une taille mal liée à y, ou périmée, peut faire pire que les probabilités égales.
La suite

Le chapitre 12 se sert de l’information auxiliaire pour estimer, non plus pour tirer : connaissant le nombre total de personnes, X = 7\,859, l’estimateur par le ratio corrige la moyenne de l’échantillon.

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