Échantillonnage

Échantillonnage · Chapitre 7

L'allocation optimale et l'effet de plan

Le problème de l’allocation

Une question laissée ouverte

La variance dépend de la répartition

La taille n et les strates sont fixées. Reste à choisir n_1, \dots, n_H, avec \sum_h n_h = n. Comme W_h/N_h = 1/N : V(\overline{y}_{st}) = \sum_h W_h^2\,(1 - f_h)\,\frac{S_h^2}{n_h} = \underbrace{\sum_h \frac{W_h^2\,S_h^2}{n_h}}_{\text{dépend des } n_h} - \underbrace{\frac{1}{N}\sum_h W_h\,S_h^2}_{\text{fixe}} Sur les provinces, le terme fixe vaut 15\,142\,148/2\,000 = 7\,571{,}1.

Trois objectifs, trois répartitions
  1. La précision de la moyenne d’ensemble : l’allocation de Neyman.
  2. Le coût : tirer moins là où une interview coûte cher.
  3. La précision dans chaque strate : l’allocation égale, ou un compromis.

Sur la mini-population

Strates A, B, C et D, E : trois ménages à répartir
Répartition (n_1, n_2) (2, 1) (1, 2)
Strate 1 : 0{,}36\,(1 - f_1)\,S_1^2/n_1 0{,}14 0{,}56
Strate 2 : 0{,}16\,(1 - f_2)\,S_2^2/n_2 1 0
V(\overline{y}_{st}) 1{,}14 0{,}56

Dépenses 4, 6, 7 puis 9, 14 : S_1^2 = 7/3 et S_2^2 = 12{,}5 ; poids W_1 = 0{,}6 et W_2 = 0{,}4.

Tirer davantage là où cela varie

L’allocation proportionnelle (1{,}8 et 1{,}2) conduit à (2, 1). Or la strate D, E est petite mais très dispersée : en la recensant, on supprime sa variance, et V est divisée par deux. Vérification : les trois échantillons possibles donnent 7 ; 8{,}2 ; 8{,}8, de variance 0{,}56. Un sondage aléatoire simple de trois ménages : 1{,}93.

Trois répartitions de 200 ménages

Même taille, trois précisions

Variance de \overline{y}_{st} : 68\,139{,}7 (proportionnelle), 67\,172{,}3 (Neyman), 89\,027{,}4 (égale), contre 71\,435{,}5 pour un sondage aléatoire simple. La meilleure répartition suit la population en l’inclinant vers les provinces les plus dispersées ; la répartition égale fait moins bien que le hasard simple.

L’allocation de Neyman

La règle de Neyman

L’allocation de Neyman (1934)

Pour une taille n fixée, la variance de \overline{y}_{st} est minimale pour n_h = n\,\frac{N_h\,S_h}{\sum_k N_k\,S_k} Le taux de sondage f_h = n_h/N_h est alors proportionnel à S_h.

Deux raisons de tirer davantage dans une strate
  1. Elle est grande (N_h) : elle pèse lourd dans la moyenne d’ensemble.
  2. Elle est dispersée (S_h) : la même précision y demande plus d’unités.

Si tous les S_h sont égaux, on retrouve l’allocation proportionnelle n_h = n\,W_h.

La démonstration

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz

On minimise \sum_h W_h^2 S_h^2/n_h sous la contrainte \sum_h n_h = n. Pour des nombres positifs, \left(\sum a_h^2\right)\left(\sum b_h^2\right) \geq \left(\sum a_h b_h\right)^2 ; avec a_h = \sqrt{n_h} et b_h = W_h S_h/\sqrt{n_h} : n \times \sum_h \frac{W_h^2\,S_h^2}{n_h} \;\geq\; \Big(\sum_h W_h\,S_h\Big)^2 L’égalité a lieu quand b_h/a_h = W_h S_h/n_h est constant : n_h \propto W_h S_h, c’est-à-dire n_h \propto N_h S_h.

La variance minimale

V_{Ney} = \frac{\overline{S}^{\,2}}{n} - \frac{1}{N}\sum_h W_h\,S_h^2 \qquad\text{où}\qquad \overline{S} = \sum_h W_h\,S_h \overline{S} est la moyenne pondérée des écarts-types des strates.

Démonstration : L’allocation de Neyman minimise la variance

Ce qui dépend de l’allocation. Comme f_h = n_h/N_h, on a \dfrac{1 - f_h}{n_h} = \dfrac{1}{n_h} - \dfrac{1}{N_h} ; et comme W_h^2/N_h = W_h/N, V = \sum_h \frac{W_h^2\,S_h^2}{n_h} - \frac1N\sum_h W_h\,S_h^2 = A - K, \qquad A = \sum_h \frac{W_h^2\,S_h^2}{n_h}. Le terme K ne dépend pas des n_h : minimiser V, c’est minimiser A sous la contrainte \sum_h n_h = n.

Une inégalité. Pour tous réels a_h et b_h, \big(\sum a_h b_h\big)^2 \leq \big(\sum a_h^2\big)\big(\sum b_h^2\big) (Cauchy-Schwarz). En effet, pour tout réel t, 0 \leq \sum_h (t\,a_h - b_h)^2 = t^2\sum a_h^2 - 2\,t\sum a_h b_h + \sum b_h^2. Un trinôme du second degré toujours positif ou nul a un discriminant négatif ou nul : 4\big(\sum a_h b_h\big)^2 - 4\sum a_h^2 \sum b_h^2 \leq 0. L’égalité a lieu si et seulement si le trinôme s’annule pour un t, c’est-à-dire si b_h = t\,a_h pour tout h.

Une borne. Prenons a_h = \sqrt{n_h} et b_h = W_h\,S_h/\sqrt{n_h}. Alors a_h b_h = W_h\,S_h, \sum a_h^2 = n et \sum b_h^2 = A, d’où n\,A \;\geq\; \Big(\sum_h W_h\,S_h\Big)^2 = \overline{S}^{\,2} \qquad\text{soit}\qquad A \geq \frac{\overline{S}^{\,2}}{n}. Cette borne vaut pour toute répartition de somme n, et ne dépend pas d’elle.

La borne est atteinte. L’égalité exige b_h = t\,a_h, c’est-à-dire W_h\,S_h/\sqrt{n_h} = t\,\sqrt{n_h}, soit n_h = W_h\,S_h/t : n_h est proportionnel à W_h\,S_h, donc à N_h\,S_h. La somme valant n, on a 1/t = n/\overline{S} et n_h = n\,\frac{W_h\,S_h}{\overline{S}} = n\,\frac{N_h\,S_h}{\sum_k N_k\,S_k}. Pour cette allocation, A = \sum_h W_h^2\,S_h^2\cdot\dfrac{\overline{S}}{n\,W_h\,S_h} = \dfrac{\overline{S}}{n}\sum_h W_h\,S_h = \dfrac{\overline{S}^{\,2}}{n}, d’où V_{Ney} = \dfrac{\overline{S}^{\,2}}{n} - K.

Ce que cela dit. Aucune répartition ne fait mieux que la règle de Neyman, et elle seule atteint la borne. La règle donne en général des nombres non entiers ; sur les provinces (90{,}6 ; 56{,}1 ; 35{,}3 ; 18{,}0), un parcours exhaustif de toutes les répartitions entières de 200 ménages (au moins 2 par province) montre que la meilleure est (91, 56, 35, 18), de variance 67\,174{,}1 contre 67\,172{,}3 à l’optimum réel. Si la formule donne n_h > N_h, elle est irréalisable : on recense la strate et l’on répartit le reste (section sur la strate exhaustive).

Sur les provinces

Deux cents ménages répartis selon Neyman
Province N_h\,S_h part n_h f_h
Tanger-Assilah 3\,502\,379 45{,}3\,\% 90{,}6 0{,}110
Tétouan 2\,168\,943 28{,}0\,\% 56{,}1 0{,}100
Larache 1\,365\,406 17{,}7\,\% 35{,}3 0{,}093
Al Hoceïma 695\,975 9{,}0\,\% 18{,}0 0{,}075
La variance

\overline{S} = 0{,}41 \times 4\,271{,}19 + 0{,}28 \times 3\,873{,}11 + 0{,}19 \times 3\,593{,}17 + 0{,}12 \times 2\,899{,}90 = 3\,866{,}35. V_{Ney} = \frac{3\,866{,}35^2}{200} - 7\,571{,}1 = 74\,743{,}4 - 7\,571{,}1 = 67\,172{,}3 Erreur-type 259{,}2 dh ; \mathit{deff} = 67\,172{,}3/71\,435{,}5 = 0{,}940. Arrondie à 91, 56, 35, 18 : V = 67\,174{,}1, la même.

Un gain modeste, et pourquoi

Ce que Neyman gagne sur la proportionnelle

Comme V_{prop} = \sum_h W_h S_h^2/n - \sum_h W_h S_h^2/N : V_{prop} - V_{Ney} = \frac{1}{n}\Big(\sum_h W_h\,S_h^2 - \overline{S}^{\,2}\Big) = \frac{1}{n}\sum_h W_h\,(S_h - \overline{S})^2 \;\geq\; 0 Le gain est la variance des écarts-types des strates, divisée par n.

Démonstration : Ce que Neyman gagne sur la proportionnelle

Les deux variances. Comme f/n = 1/N, on a \dfrac{1-f}{n} = \dfrac1n - \dfrac1N, donc V_{prop} = \frac{1-f}{n}\sum_h W_h\,S_h^2 = \frac1n\sum_h W_h\,S_h^2 - \frac1N\sum_h W_h\,S_h^2, \qquad V_{Ney} = \frac{\overline{S}^{\,2}}{n} - \frac1N\sum_h W_h\,S_h^2. Le terme fixe se retranche : V_{prop} - V_{Ney} = \frac1n\Big(\sum_h W_h\,S_h^2 - \overline{S}^{\,2}\Big). Une variance pondérée. Les poids W_h ont pour somme 1 et \overline{S} = \sum_h W_h\,S_h : \begin{align*} \sum_h W_h\,(S_h - \overline{S})^2 &= \sum_h W_h\,S_h^2 - 2\,\overline{S}\sum_h W_h\,S_h + \overline{S}^{\,2}\sum_h W_h\\ &= \sum_h W_h\,S_h^2 - 2\,\overline{S}^{\,2} + \overline{S}^{\,2} = \sum_h W_h\,S_h^2 - \overline{S}^{\,2}. \end{align*} Le gain est donc \dfrac1n\sum_h W_h\,(S_h - \overline{S})^2, somme de termes positifs, nulle si et seulement si tous les S_h sont égaux à \overline{S}.

Ce que cela dit. Neyman ne gagne sur la proportionnelle que dans la mesure où les écarts-types des strates diffèrent ; s’ils sont égaux, les deux allocations coïncident. Sur les provinces : 15\,142\,148 - 14\,948\,674 = 193\,474, et 193\,474/200 = 967{,}4.

Les provinces

\sum_h W_h\,(S_h - \overline{S})^2 = 193\,474, d’où un gain de 193\,474/200 = 967{,}4 = 68\,139{,}7 - 67\,172{,}3. La variance ne baisse que de 1{,}4\,\% : les S_h vont de 2\,900 à 4\,271 dh, ils se ressemblent trop pour que les répartir autrement change beaucoup.

Quand les dispersions diffèrent beaucoup

Le chiffre d’affaires de 1 200 entreprises, chiffres inventés
Taille N_h S_h (millions de dh) proportionnelle Neyman
Petites 1\,000 1 83{,}3 20
Moyennes 150 10 12{,}5 30
Grandes 50 60 4{,}2 50

Pour n = 100, la règle donne 54{,}5 grandes entreprises, plus qu’il n’y en a : on les prend toutes, et l’on répartit les 50 autres selon Neyman. Variance : 1{,}497, puis 0{,}076, divisée par 20.

La strate exhaustive

Quand n_h > N_h, on recense la strate (f_h = 1 : aucune erreur d’échantillonnage) et l’on répartit le reste. Dans les enquêtes auprès des entreprises, les plus grandes sont toujours interrogées.

Coûts et dispersions inconnues

Quand une interview coûte plus cher

L’allocation optimale avec coûts

Le coût de l’enquête est C = c_0 + \sum_h c_h\,n_h : frais fixes, plus c_h par unité de la strate h. À budget donné, la variance est minimale pour n_h \propto \frac{N_h\,S_h}{\sqrt{c_h}}

La démonstration par le lagrangien

On minimise \sum_h W_h^2 S_h^2/n_h + \lambda\left(\sum_h c_h n_h - C\right). La dérivée en n_h s’annule : -\frac{W_h^2\,S_h^2}{n_h^2} + \lambda\,c_h = 0 \quad\Longrightarrow\quad n_h = \frac{W_h\,S_h}{\sqrt{\lambda}\,\sqrt{c_h}} La constante \sqrt{\lambda} s’obtient en épuisant le budget. Si les c_h sont égaux, on retrouve Neyman.

Démonstration : L’allocation avec coûts par l’inégalité de Cauchy-Schwarz

Le problème. Soit C le budget des interviews, frais fixes c_0 déduits : \sum_h c_h\,n_h = C. Le terme K ne dépend pas des n_h (démonstration précédente) : on minimise A = \sum_h W_h^2\,S_h^2/n_h sous cette contrainte de coût.

Une borne. Prenons a_h = \sqrt{c_h\,n_h} et b_h = W_h\,S_h/\sqrt{n_h}. Alors a_h b_h = W_h\,S_h\,\sqrt{c_h}, \sum a_h^2 = \sum c_h\,n_h = C et \sum b_h^2 = A. L’inégalité de Cauchy-Schwarz, démontrée plus haut, donne C \times A \;\geq\; \Big(\sum_h W_h\,S_h\,\sqrt{c_h}\Big)^2. Le cas d’égalité. Il faut b_h = t\,a_h, c’est-à-dire W_h\,S_h/\sqrt{n_h} = t\,\sqrt{c_h}\,\sqrt{n_h}, soit n_h = \dfrac{W_h\,S_h}{t\,\sqrt{c_h}} : n_h est proportionnel à N_h\,S_h/\sqrt{c_h}. Écrivons n_h = \lambda\,N_h\,S_h/\sqrt{c_h} ; le budget fixe la constante, car \sum_h c_h\,n_h = \lambda\sum_h N_h\,S_h\,\sqrt{c_h} = C. Donc n_h = C\;\frac{N_h\,S_h/\sqrt{c_h}}{\sum_k N_k\,S_k\,\sqrt{c_k}}. La variance minimale. Pour cette allocation, A = \Big(\sum_h W_h\,S_h\,\sqrt{c_h}\Big)^2/C, d’où V_{opt} = \frac1C\Big(\sum_h W_h\,S_h\,\sqrt{c_h}\Big)^2 - \frac1N\sum_h W_h\,S_h^2. Si tous les coûts valent c, alors C = c\,n et l’on retrouve \overline{S}^{\,2}/n - K : l’allocation de Neyman.

Ce que cela dit. Annuler la dérivée du lagrangien donne un candidat ; l’inégalité prouve que c’est bien le minimum : aucune autre répartition de même coût ne fait mieux. Sur le milieu rural (c = 2) et urbain (c = 1), avec un budget de 200 : n_h = 30{,}06 et 139{,}88 (coût 2 \times 30{,}06 + 139{,}88 = 200), V_{opt} = 82\,718{,}5. Parmi toutes les répartitions entières de coût au plus 200, la meilleure est (30, 140).

Rural et urbain

Un ménage rural coûte deux fois plus, budget de 200 unités
Milieu N_h S_h c_h N_h\,S_h/\sqrt{c_h} n_h
Rural 562 3\,215{,}03 2 1\,277\,634 30{,}1
Urbain 1\,438 4\,134{,}11 1 5\,944\,846 139{,}9

n_h = 200 \times \frac{N_h\,S_h/\sqrt{c_h}}{\sum_k N_k\,S_k\,\sqrt{c_k}} \qquad\text{avec}\qquad \sum_k N_k\,S_k\,\sqrt{c_k} = 8\,500\,114 Coût : 2 \times 30{,}06 + 139{,}88 = 200.

Moins de ruraux, mais plus de ménages

Taux de sondage : 5{,}3\,\% à la campagne, 9{,}7\,\% en ville. Le budget achète 169{,}9 ménages ; la variance vaut 82\,718{,}5, l’erreur-type 287{,}6 dh.

À budget égal

Comparer à l’allocation proportionnelle de même coût

Un ménage coûte en moyenne 0{,}281 \times 2 + 0{,}719 \times 1 = 1{,}281 : le budget en paie 200/1{,}281 = 156{,}1.

Allocation de même coût ruraux urbains V erreur-type
Optimale 30{,}1 139{,}9 82\,718{,}5 287{,}6
Proportionnelle 43{,}9 112{,}3 89\,713{,}8 299{,}5

À coût égal, la variance baisse de 7{,}8\,\%. Un sondage aléatoire simple de 156 ménages ferait pire : 93\,739{,}2.

Le prix de l’économie

La moyenne rurale perd en précision : erreur-type 570{,}5 dh contre 466{,}1. Si elle doit être publiée, il faut un plancher. Et le surcoût rural vient surtout des déplacements : le chapitre 9 le réduira en regroupant les interviews.

Quand les écarts-types sont inconnus

Où trouver les écarts-types des strates
  1. Une enquête antérieure, ou une enquête pilote (chapitre 5).
  2. Une variable liée, connue par le recensement.
  3. Un coefficient de variation supposé commun : S_h \approx CV \times \overline{Y}_h, d’où n_h \propto N_h\,\overline{Y}_h, le total de la strate.
Une erreur sur les écarts-types se paie

Dans les provinces, S_h/\overline{Y}_h va de 0{,}475 à 0{,}495 : la répartition au prorata des totaux (89{,}4 ; 57{,}7 ; 34{,}8 ; 18{,}1) a un \mathit{deff} de 0{,}941, presque celui de Neyman. Mais avec S_h surestimé de 30\,\% à Tanger-Assilah et sous-estimé de 30\,\% à Al Hoceïma, \mathit{deff} = 0{,}978 : moins bien que la proportionnelle (0{,}954).

L’allocation égale et les domaines

Cinquante ménages par province

Une allocation qui fait perdre

V = 89\,027{,}4, soit \mathit{deff} = 1{,}246 : ce plan stratifié est moins précis qu’un sondage aléatoire simple de même taille. Les poids d_k = N_h/50 vont de 16{,}4 à Tanger-Assilah à 4{,}8 à Al Hoceïma (chapitre 1).

Des poids inégaux sans raison

Si toutes les strates avaient la même dispersion, sans correction de population finie : \mathit{deff} = n\sum_h \frac{W_h^2}{n_h} = 4\sum_h W_h^2 = 4 \times 0{,}297 = 1{,}188 = 1 + CV^2(d_k) C’est la formule de Kish : des poids inégaux coûtent 1 + CV^2 des poids. Ils ne se justifient que par des S_h ou des coûts différents, ou par un autre objectif.

Démonstration : La formule de Kish

Le cadre. Supposons que toutes les strates ont la même dispersion, S_h = S, et négligeons la correction de population finie. Alors V = \sum_h W_h^2\,S^2/n_h et V_{SAS} = S^2/n, d’où \mathit{deff} = \frac{\sum_h W_h^2\,S^2/n_h}{S^2/n} = n\sum_h \frac{W_h^2}{n_h}. Les poids de l’échantillon. Une unité de la strate h a le poids d_h = N_h/n_h ; l’échantillon contient n_h unités de poids d_h. La moyenne des poids est \overline{d} = \frac1n\sum_h n_h\,\frac{N_h}{n_h} = \frac Nn. La variance des poids (diviseur n) est la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne, et son coefficient de variation vérifie CV^2(d) = \frac{\frac1n\sum_h n_h\,d_h^2}{\overline{d}^{\,2}} - 1. Le calcul. Comme n_h\,d_h^2 = N_h^2/n_h = N^2\,W_h^2/n_h, on a \dfrac1n\sum_h n_h\,d_h^2 = \dfrac{N^2}{n}\sum_h \dfrac{W_h^2}{n_h}. En divisant par \overline{d}^{\,2} = N^2/n^2, 1 + CV^2(d) = n\sum_h \frac{W_h^2}{n_h} = \mathit{deff}. Jamais mieux que 1. Cauchy-Schwarz, avec a_h = \sqrt{n_h} et b_h = W_h/\sqrt{n_h}, donne n\sum_h W_h^2/n_h \geq \big(\sum_h W_h\big)^2 = 1, avec égalité si et seulement si n_h \propto W_h : l’allocation proportionnelle, dont les poids sont tous égaux (CV = 0).

Sur l’allocation égale. Avec n_h = 50 : \sum_h W_h^2 = 0{,}41^2 + 0{,}28^2 + 0{,}19^2 + 0{,}12^2 = 0{,}297, d’où \mathit{deff} = 200 \times 0{,}297/50 = 1{,}188. Les poids sont 16{,}4 ; 11{,}2 ; 7{,}6 ; 4{,}8, de moyenne 10 : leur CV^2 vaut 0{,}188.

Ce que cela dit. À dispersions égales, des poids inégaux ne rapportent rien et coûtent 1 + CV^2(d) en variance. Le plan réel a un effet de plan un peu plus fort, 1{,}246 : la formule néglige la correction de population finie (qui donne 1{,}209) et suppose des S_h égaux, alors que les provinces sous-représentées, les plus peuplées, sont aussi les plus dispersées.

La précision dans chaque province

Erreur-type de la moyenne provinciale, en dh

\sqrt{(1 - f_h)\,S_h^2/n_h} pour chaque province ; dernière ligne : la moyenne d’ensemble.

Province proportionnelle Neyman égale
Tanger-Assilah 447{,}5 423{,}3 585{,}3
Tétouan 491{,}0 490{,}5 522{,}7
Larache 553{,}0 575{,}9 473{,}5
Al Hoceïma 561{,}6 657{,}4 364{,}9
Ensemble 261{,}0 259{,}2 298{,}4
Chaque domaine est une petite enquête

Pour publier la dépense d’Al Hoceïma, Neyman est le pire choix : 18 ménages, une marge de \pm 1\,288 dh. L’allocation égale la ramène à \pm 715 dh. Ce qui est optimal pour la région ne l’est pas pour chaque province.

Le compromis

Lire la courbe

En abscisse, l’effet de plan de la moyenne régionale ; en ordonnée, le pire coefficient de variation provincial. La règle n_h \propto \sqrt{N_h} (65{,}6 ; 54{,}2 ; 44{,}7 ; 35{,}5) abaisse ce pire CV de 9{,}4\,\% à 7{,}5\,\%, pour un \mathit{deff} de 1{,}046 au lieu de 0{,}954.

Suréchantillonner une petite strate

Un plancher de 30 ménages à Al Hoceïma

On donne 30 ménages à Al Hoceïma et l’on répartit les 170 autres au prorata : 79{,}2 ; 54{,}1 ; 36{,}7. Poids : 10{,}35 dans les trois grandes provinces, 8 à Al Hoceïma. Résultat : \mathit{deff} = 0{,}975, et la marge d’Al Hoceïma passe de \pm 1\,101 à \pm 971 dh.

Suréchantillonner, puis repondérer

On suréchantillonne les domaines trop petits pour être bien estimés, puis l’on rend à chaque ménage son poids d_k = N_h/n_h dans les estimations d’ensemble. L’effet de plan, un peu plus élevé, est le prix de la précision locale : un choix de diffusion, pas une erreur.

L’effet de plan

La définition de Kish

Effet de plan, taille effective

Pour un estimateur \widehat{\theta} et un plan de taille n : \mathit{deff} = \frac{V_{plan}(\widehat{\theta})}{V_{SAS}(\widehat{\theta})} \qquad n_{eff} = \frac{n}{\mathit{deff}} \qquad \mathit{deft} = \sqrt{\mathit{deff}} où V_{SAS} est la variance d’un sondage aléatoire simple de même taille n.

Trois lectures d’un même nombre

Allocation égale, \mathit{deff} = 1{,}246 :

  • la variance est supérieure de 24{,}6\,\% à celle du sondage aléatoire simple ;
  • les 200 ménages valent n_{eff} = 160{,}5 ménages tirés au hasard simple ;
  • la marge est plus large de \mathit{deft} - 1 = 11{,}6\,\% : \pm 584{,}8 dh au lieu de \pm 523{,}9.

Taille effective et taille nécessaire

Les allocations de 200 ménages, dépense
Plan \mathit{deff} n_{eff} marge à 95\,\%
Aléatoire simple 1 200 \pm 523{,}9
Stratifié, proportionnelle 0{,}954 209{,}7 \pm 511{,}6
Stratifié, Neyman 0{,}940 212{,}7 \pm 508{,}0
Stratifié, égale 1{,}246 160{,}5 \pm 584{,}8
L’effet de plan multiplie le budget

Pour une marge de \pm 300 dh, le chapitre 5 demandait 507 ménages en aléatoire simple. Le calcul exact donne 483 avec Neyman et 624 avec l’allocation égale. L’allocation égale exige 23\,\% d’interviews de plus que le hasard simple : l’effet de plan se lit comme un coût.

L’échelle des effets de plan

Ce que montre l’échelle

En bleu, les plans déjà vus : entre 0{,}93 et 1{,}25, stratifier rapporte peu sur cette population. En gris, la suite : les grappes multiplient la variance par 7 à 15 ; ratio, régression ou ordre du fichier la divisent par 1{,}5 à 2{,}4.

Proportions et plusieurs variables

Le cas d’une proportion

Neyman pour une proportion

S_h^2 = \frac{N_h}{N_h - 1}\,P_h\,(1 - P_h) \qquad\text{d'où, à peu près,}\qquad n_h \propto N_h\,\sqrt{P_h\,(1 - P_h)} Or \sqrt{P(1 - P)} varie peu : 0{,}50 pour P = 0{,}5 ; 0{,}46 pour 0{,}3 ; 0{,}40 pour 0{,}2. Il ne tombe vite que pour les proportions rares : 0{,}14 pour 0{,}02.

Les ménages connectés, stratifiés par milieu

P_h = 0{,}434 (rural) et 0{,}768 (urbain), d’où S_h = 0{,}496 et 0{,}422. Neyman : 62{,}9 ruraux et 137{,}1 urbains, contre 56{,}2 et 143{,}8 en proportionnelle. Effet de plan : 0{,}893 contre 0{,}898. Pour une proportion, Neyman se confond presque avec la proportionnelle.

Une allocation pour plusieurs variables

Effet de plan pour la dépense et pour internet, 200 ménages
Allocation n_h dépense internet
Proportionnelle 82, 56, 38, 24 0{,}954 0{,}966
Neyman dépense 91, 56, 35, 18 0{,}940 0{,}997
Neyman internet 78, 55, 41, 26 0{,}968 0{,}963
Égale 50 partout 1{,}246 1{,}122
La proportionnelle, un compromis robuste

L’allocation optimale pour une variable est médiocre pour une autre : Neyman pour la dépense ne gagne rien sur internet. La proportionnelle n’est jamais loin de la meilleure. En pratique : on optimise pour la variable principale, on contrôle les autres, et l’on ajoute des planchers pour les domaines.

S’entraîner

Exercice 1 : l’allocation de Neyman

Trois catégories d’exploitations agricoles

Une province compte 1\,000 exploitations. On veut estimer leur superficie cultivée moyenne, en hectares, avec n = 140 exploitations.

Strate Petites Moyennes Grandes
N_h 600 300 100
S_h (hectares) 2 5 15
  1. Calculer l’allocation proportionnelle et l’allocation de Neyman.
  2. Calculer les deux variances de \overline{y}_{st}.
  3. Retrouver leur différence par \frac1n\sum_h W_h\,(S_h - \overline{S})^2.
  4. Quels sont le taux de sondage et le poids d’une grande exploitation ?

Exercice 1 : solution

Les deux allocations
  1. Proportionnelle : 84, 42, 14. N_h S_h = 1\,200, 1\,500, 1\,500, de somme 4\,200 : Neyman donne 40, 50, 50.
  2. \sum_h W_h S_h^2 = 2{,}4 + 7{,}5 + 22{,}5 = 32{,}4 ; V_{prop} = (1 - 0{,}14) \times 32{,}4/140 = 0{,}1990. \overline{S} = 1{,}2 + 1{,}5 + 1{,}5 = 4{,}2 ; V_{Ney} = 4{,}2^2/140 - 32{,}4/1\,000 = 0{,}126 - 0{,}0324 = 0{,}0936 : la variance est divisée par 2{,}1.
Le gain et les poids
  1. 0{,}6 \times 2{,}2^2 + 0{,}3 \times 0{,}8^2 + 0{,}1 \times 10{,}8^2 = 2{,}904 + 0{,}192 + 11{,}664 = 14{,}76 ; 14{,}76/140 = 0{,}1054 = 0{,}1990 - 0{,}0936. Les S_h sont très inégaux : le gain est fort.
  2. f_h = 50/100 = 0{,}5 et d_k = 2 pour une grande exploitation, contre f_h = 0{,}067 et d_k = 15 pour une petite.

Exercice 2 : des coûts différents

Ville et campagne

Une enquête sur la dépense porte sur 6\,000 ménages urbains (S_h = 4\,000 dh) et 4\,000 ruraux (S_h = 3\,000 dh). Un questionnaire coûte 100 dh en ville et 400 dh à la campagne ; le budget des questionnaires est de 60\,000 dh.

  1. Calculer l’allocation optimale.
  2. Calculer l’allocation proportionnelle de même coût.
  3. Comparer les variances de \overline{y}_{st}.
  4. Que perd-on sur la moyenne rurale ?

Exercice 2 : solution

Les deux allocations
  1. N_h S_h/\sqrt{c_h} : 6\,000 \times 4\,000/10 = 2\,400\,000 et 4\,000 \times 3\,000/20 = 600\,000, soit n_u = 4\,n_r. Le budget : 100 \times 4\,n_r + 400\,n_r = 800\,n_r = 60\,000, d’où n_r = 75 et n_u = 300.
  2. Coût moyen : 0{,}6 \times 100 + 0{,}4 \times 400 = 220 dh, donc n = 272{,}7 : 163{,}6 urbains et 109{,}1 ruraux.
Les variances
  1. Optimale : 0{,}36 \times 0{,}95 \times 16\,000\,000/300 = 18\,240 en ville, 0{,}16 \times 0{,}981 \times 9\,000\,000/75 = 18\,840 à la campagne, d’où V_{opt} = 37\,080. Proportionnelle : V_{prop} = (1 - 0{,}0273) \times 13\,200\,000/272{,}7 = 47\,080. Soit 21\,\% de variance en moins, au même prix.
  2. L’erreur-type de la moyenne rurale passe de 283{,}3 à 343{,}1 dh. Si elle doit être publiée, on impose un plancher.

Exercice 3 : effet de plan et taille effective

Cent ménages par milieu, le retour

On reprend le plan des chapitres 1 et 6 : 100 ménages urbains et 100 ruraux. Sa variance vaut 88\,918{,}3, contre 71\,435{,}5 pour un sondage aléatoire simple de 200 ménages.

  1. Calculer \mathit{deff}, n_{eff} et \mathit{deft}. Interpréter.
  2. Calculer les poids, puis l’effet de plan de Kish n\sum_h n_h d_h^2/\left(\sum_h n_h d_h\right)^2. Pourquoi est-il plus faible que le vrai ?
  3. Répartir 200 ménages selon Neyman, avec S_h = 4\,134{,}11 (urbain) et 3\,215{,}03 (rural). Son effet de plan vaut 0{,}945 : conclure.

Exercice 3 : solution

Le plan à 100 et 100
  1. \mathit{deff} = 88\,918{,}3/71\,435{,}5 = 1{,}245 ; n_{eff} = 200/1{,}2447 = 160{,}7 ; \mathit{deft} = 1{,}116. Les 200 ménages en valent 161 tirés au hasard simple ; la marge est 11{,}6\,\% plus large.
  2. Poids 14{,}38 et 5{,}62 ; Kish : 200 \times 100 \times (14{,}38^2 + 5{,}62^2)/2\,000^2 = 1{,}192. Le vrai est plus fort, car la strate sous-représentée, l’urbaine, est aussi la plus dispersée.
Neyman par milieu
  1. N_h S_h = 5\,944\,846 (urbain) et 1\,806\,848 (rural) : 76{,}7\,\% et 23{,}3\,\%, soit 153{,}4 urbains et 46{,}6 ruraux. C’est l’inverse du plan à 100 et 100 : moins de ruraux que la proportionnelle (56{,}2), et un gain au lieu d’une perte.

Ce qu’il faut retenir

Le résumé du chapitre

Sept points
  1. À n fixé, seul \sum_h W_h^2 S_h^2/n_h dépend de la répartition de l’échantillon.
  2. Neyman : n_h \propto N_h S_h minimise la variance ; f_h est proportionnel à S_h.
  3. Son gain sur la proportionnelle vaut \frac1n\sum_h W_h(S_h - \overline{S})^2 : faible si les S_h se ressemblent, énorme sinon (strate exhaustive).
  4. Avec des coûts c_h : n_h \propto N_h S_h/\sqrt{c_h}.
  5. L’allocation égale sert les domaines, au prix d’un \mathit{deff} de 1{,}246 ici.
  6. \mathit{deff} = V_{plan}/V_{SAS}, n_{eff} = n/\mathit{deff} ; des poids inégaux coûtent 1 + CV^2 (Kish).
  7. Pour les proportions et quand il y a plusieurs variables, la proportionnelle est un compromis robuste.
La suite

Le chapitre 8 tire un ménage tous les k dans une liste ordonnée : le sondage systématique, une stratification implicite qui ne dit pas son nom.

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