Analyse mathématique
Rappels : ensembles de nombres et fonctions
Analyse mathématique
Introduction : Rappels — ensembles de nombres et fonctions
Prérequis
Ce que ce cours suppose acquis
Aucun cours préalable
Le programme du baccalauréat. Le cours reprend la construction depuis les suites et les limites.
Les notions mobilisées
L’algèbre élémentaire, la notion de fonction, la lecture d’un graphique. Les inégalités et la valeur absolue.
Ce que le cours établit lui-même
Repris depuis le début
Limite, continuité, dérivabilité, intégrale : tout est établi ici, avec les démonstrations.
Ce cours et Mathématiques pour la gestion se recoupent volontairement : le second va au plus vite vers l’application, le premier prend le temps de la construction. Les suivre tous deux n’est pas redondant.
Avant de commencer
Pourquoi ce chapitre
Pourquoi ce chapitre ?
Avant de parler de limites, de dérivées ou d’optimisation, il faut un langage commun : les ensembles de nombres, l’ordre sur \mathbb{R}, et la notion de fonction. Ce chapitre pose ces fondations.
Ensembles de nombres
Du dénombrable au continu
Notations
- \mathbb{N} = \{0,1,2,\dots\} : entiers naturels.
- \mathbb{Z} = \{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\} : entiers relatifs.
- \mathbb{Q} = \left\{\dfrac{p}{q} : p\in\mathbb{Z},\ q\in\mathbb{Z},\ q\neq 0\right\} : nombres rationnels.
- \mathbb{R} : nombres réels, identifiés aux points d’une droite orientée (la droite réelle).
On a les inclusions strictes : \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}, car par exemple \pi \in \mathbb{R} mais \pi \notin \mathbb{Q}.
Exemple
\mathbb{N}_0 = \mathbb{N}^* = \mathbb{N}\setminus\{0\}=\{1,2,\dots\}, \quad \mathbb{R}^+ = \{x\in\mathbb{R} : x\ge 0\}, \quad \mathbb{R}_0^- = \{x\in\mathbb{R} : x<0\}.
Application en sciences économiques
Une quantité de biens discrets (nombre de voitures vendues) vit dans \mathbb{N} ; un prix, un taux d’intérêt, une quantité de bien divisible (litres de pétrole) vivent dans \mathbb{R}^+. Le choix de l’ensemble n’est pas anodin : il détermine si l’on peut dériver la fonction de demande.
L’ordre dans \mathbb{R}
Une droite ordonnée
Propriétés de \le
La relation \le est un ordre total sur \mathbb{R} : réflexive, antisymétrique, transitive, et \forall x,y\in\mathbb{R} : x\le y ou y\le x.
Elle est compatible avec l’addition et la multiplication par un réel positif : x\le y \Rightarrow x+z\le y+z, \qquad z\ge 0,\ x\le y \Rightarrow xz\le yz.
Attention
Multiplier par un nombre négatif renverse l’inégalité : z<0,\ x\le y \Rightarrow xz \ge yz. C’est l’erreur la plus fréquente en optimisation sous contrainte.
Densité
\mathbb{R} est dense : \forall x,y\in\mathbb{R},\ x<y,\ \exists z\in\mathbb{R} : x<z<y. \mathbb{Q} et \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} sont denses dans \mathbb{R} ; \mathbb{N} et \mathbb{Z} ne le sont pas.
Majorants, minorants, bornes
Définitions
Soit A\subset\mathbb{R} et b\in\mathbb{R}.
- b est un majorant de A si \forall x\in A : x\le b ; A est majoré s’il en admet un.
- Le plus petit majorant est le supremum, noté \sup A ; s’il appartient à A, c’est le maximum, \max A.
- On définit de façon symétrique minorant, majoré/minoré ⇒ borné, infimum \inf A et minimum \min A.
Propriété fondamentale de \mathbb{R}
Dans \mathbb{R}, tout ensemble non vide majoré admet un supremum, et tout ensemble non vide minoré admet un infimum — même quand il n’y a pas de maximum ou de minimum (ex. (0,1) : \sup=1 mais pas de maximum).
Application en sciences économiques
Un budget contraint l’ensemble des paniers accessibles ; sa borne supérieure (le revenu disponible) est le majorant qui structure tout problème du consommateur. Un prix plancher ou un prix plafond réglementaire sont des minorants/majorants imposés au marché.
Convexes de \mathbb{R}
Intervalles et demi-droites
Convexité dans \mathbb{R}
A\subset\mathbb{R} est convexe si : \forall x,y\in A,\ \forall z\in\mathbb{R} : x\le z\le y \Rightarrow z\in A.
Les sous-ensembles convexes de \mathbb{R} sont exactement les intervalles, les demi-droites et les triviaux \varnothing, \mathbb{R} :
- fermé [a,b], ouvert (a,b), semi-ouverts [a,b), (a,b] ;
- demi-droites fermées [a,+\infty), (-\infty,b] ; ouvertes (a,+\infty), (-\infty,b).
Application en sciences économiques
Les contraintes de positivité (x\ge 0) et les plages admissibles (taux d’intérêt \in[0,1], part de marché \in[0,1]) sont des intervalles — le premier exemple d’ensembles convexes que l’on rencontrera à nouveau au chapitre 2 (optimisation) et au chapitre 4.
Fonctions réelles
Domaine, graphe, image
Définitions
f est une fonction de A dans B si à tout x\in A correspond un unique f(x)\in B ; on note f: A\to B : x \to f(x).
A = \operatorname{Dom} f est le domaine. Le graphe est la courbe y=f(x), x\in A. L’image est \mathrm{Im}\,f(A) = \{f(x) : x\in A\}.
Exemple
f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+ : x \to \max\{x,1\}. Tous les points de (-\infty,1] ont pour image 1 ; les autres sont envoyés sur eux-mêmes. On a \mathrm{Im}\,f(\mathbb{R})=[1,+\infty).
Injectivité, surjectivité, bijectivité
Définitions
Soit f: A \to B : x \to f(x).
- f est injective si f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2 (chaque image vient d’un seul antécédent) ;
- f est surjective si \forall y\in B,\ \exists x\in A : y=f(x) (tout point de B est atteint) ;
- f est bijective si injective et surjective ; elle admet alors une fonction réciproque f^{-1}: B\to A.
Composée de fonctions
Si f:A\to B et g:B\to C, la composée g\circ f : A\to C est définie par (g\circ f)(x) = g\big(f(x)\big) — le passage d’un input brut à un output final via une étape intermédiaire.
Application en sciences économiques
Une fonction de demande q=D(p) n’est inversible (on peut écrire p=D^{-1}(q), la demande inverse utilisée en microéconomie) que si D est injective — typiquement, si elle est strictement décroissante. C’est pourquoi les modèles supposent presque toujours la monotonie stricte des fonctions d’offre et de demande.
Aperçu des complexes
Pourquoi sortir de \mathbb{R} ?
Nombres complexes
\mathbb{C} = \{a+bi : a,b\in\mathbb{R},\ i^2=-1\}. Le conjugué de z=a+bi est \bar z = a-bi ; le module est |z|=\sqrt{z\bar z}. On a \mathbb{R}\subset\mathbb{C}.
Théorème de D’Alembert
Tout polynôme de degré n\ge 1 à coefficients complexes admet exactement n racines complexes (distinctes ou non). En particulier, l’équation ax^2+bx+c=0 (a\neq0) admet toujours une solution dans \mathbb{C}, via \Delta=b^2-4ac.
Ce qu’il faut retenir
Ce cours reste presque exclusivement dans \mathbb{R} et \mathbb{R}^n. Les complexes n’interviennent, en économie, que ponctuellement — par exemple pour étudier la stabilité de modèles dynamiques linéaires (les racines complexes d’une équation caractéristique gouvernent l’apparition de cycles amortis ou explosifs).
Topologie dans \mathbb{R}^n
Distance et boule ouverte
Définitions dans \mathbb{R}^n
Pour p=(p_1,\dots,p_n) et q=(q_1,\dots,q_n) dans \mathbb{R}^n, la distance euclidienne est d(p,q) = \sqrt{\textstyle\sum_{i=1}^n (p_i-q_i)^2}. La boule ouverte de rayon r centrée en p est B(p,r)=\{x\in\mathbb{R}^n : d(p,x)<r\} — elle généralise l’intervalle ouvert de \mathbb{R}.
Intérieur, adhérence, ouvert, fermé
Définitions
Soit A\subset\mathbb{R}^n et p\in\mathbb{R}^n.
- p est intérieur à A si \exists r>0 : B(p,r)\subset A ; \mathrm{Int}\,A = ensemble de ces points ; A est ouvert si \mathrm{Int}\,A = A.
- p est adhérent à A si \forall r>0 : B(p,r)\cap A \neq \varnothing ; \mathrm{Adh}\,A = ensemble de ces points ; A est fermé si \mathrm{Adh}\,A = A.
Exemple dans \mathbb{R}^2
B\big((0,0),2\big) = \{(x,y) : x^2+y^2<4\} est ouvert ; \{(x,y):x^2+y^2\le 4\} est fermé ; \{(x,y):1<x^2+y^2<4\} est ouvert mais non convexe.
Convexité dans \mathbb{R}^n
Définition
A\subset\mathbb{R}^n est convexe si \forall p,q\in A,\ \forall\lambda\in[0,1] : \lambda p + (1-\lambda) q \in A — tout segment reliant deux points de A reste dans A.
Application en sciences économiques
L’espace des biens est \mathbb{R}^n_+ (n biens, quantités positives). Un panier de consommation est un point x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n_+. La convexité de l’ensemble de budget, et celle des préférences du consommateur, sont les hypothèses qui garantissent l’existence d’un optimum bien défini — thème central du chapitre 4.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
L’essentiel de l’introduction
- Ensembles : \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R} ; \mathbb{R} est dense et complet (sup/inf existent).
- Sous-ensembles convexes de \mathbb{R} = intervalles et demi-droites.
- Fonction f:A\to B : domaine, image, injectivité/surjectivité/bijectivité, réciproque.
- \mathbb{R}^n : distance, boule ouverte, ouvert/fermé, convexité — le décor des chapitres 3 et 4.
Vers le chapitre 1
Muni de ce vocabulaire, nous allons étudier en profondeur les fonctions d’une seule variable réelle : leur comportement local (limites, continuité, dérivabilité) puis leur optimisation (chapitre 2).
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)