Analyse mathématique
Fonctions de plusieurs variables
Analyse mathématique
Chapitre 3 : Fonctions de plusieurs variables
Avant de commencer
Pourquoi ce chapitre
Pourquoi ce chapitre ?
Une décision économique dépend presque toujours de plusieurs variables : quantités de plusieurs biens, capital et travail, prix et revenu. Ce chapitre étend limite, continuité et dérivée au cas f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}, avant l’optimisation du chapitre 4.
Domaine et courbes de niveau
De \mathbb{R}\to\mathbb{R} à \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}
Définitions
f: D\to\mathbb{R}, où D\subset\mathbb{R}^n, associe à x=(x_1,\dots,x_n)\in D un unique réel f(x). Pour n=2, le graphe z=f(x,y) est une surface de \mathbb{R}^3.
Exemples d’applications à la gestion
- Utilité : U=f(x_1,\dots,x_n), quantités consommées de n biens ;
- Production : P=f(K,W), capital et travail (fonction de Cobb-Douglas f(K,W)=K^\alpha W^\beta) ;
- Coût : dépend du format, du volume, des matières premières, etc.
Courbes de niveau
Définition
La courbe de niveau k de f:D\to\mathbb{R} (D\subset\mathbb{R}^2) est la courbe plane d’équation f(x,y)=k — une « tranche horizontale » du graphe, comme les courbes d’altitude d’une carte.
Application en sciences économiques
Pour une Cobb-Douglas f(x,y)=x^\alpha y^\beta, les courbes de niveau sont les isoquantes (combinaisons de facteurs produisant un même niveau k). Pour f(\mu,\sigma)=\mu-\alpha\sigma^2 (utilité espérance-variance), ce sont les courbes d’indifférence d’un investisseur averse au risque.
Limites et continuité
Une subtilité : une infinité de directions
La difficulté propre à n\ge 2
Dans \mathbb{R}, on approche un point par la gauche ou par la droite : deux directions. Dans \mathbb{R}^2, il existe une infinité de chemins menant à un point. La limite \lim_{x\to a} f(x)=b n’existe que si tous les chemins donnent la même valeur.
Exemple : une limite qui n’existe pas
f(x,y)=\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}. Le long de y=0 : f(x,0)=1 \to 1. Le long de x=0 : f(0,y)=-1\to -1. Les deux limites diffèrent \Rightarrow \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) n’existe pas.
Astuce pratique
Pour n=2, passer en coordonnées polaires x=a_1+\rho\cos\theta,\ y=a_2+\rho\sin\theta ramène souvent le calcul à une limite en \rho\to0 d’une fonction d’une seule variable (avec \theta comme paramètre à surveiller).
Continuité
Définition
f est continue en a si \lim_{x\to a} f(x) = f(a) (limite au sens ci-dessus). Les fonctions élémentaires (polynômes, exponentielle, logarithme…) et leurs sommes/produits/composées sont continues sur leur domaine, exactement comme pour une variable.
Dérivées et élasticités
Dériver « toutes choses égales par ailleurs »
Dérivée partielle
La dérivée partielle de f par rapport à x_i en a est \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a_1,\dots,a_i+h,\dots,a_n)-f(a)}{h} — on dérive comme une fonction d’une seule variable, en gelant toutes les autres.
Exemple
f(x,y)=x^3+x^2y^3-2y^2. \dfrac{\partial f}{\partial x}=3x^2+2xy^3, \dfrac{\partial f}{\partial y}=3x^2y^2-4y. En (2,1) : \dfrac{\partial f}{\partial x}=16, \dfrac{\partial f}{\partial y}=8.
Application en sciences économiques
\dfrac{\partial f}{\partial K} = productivité marginale du capital, \dfrac{\partial f}{\partial W} = productivité marginale du travail ; \dfrac{\partial U}{\partial x_i} = utilité marginale du bien i. Ce sont les grandeurs marginales du chapitre 1, généralisées quand plusieurs variables sont en jeu.
Élasticités partielles
Définition
L’élasticité de f par rapport à x_i en a (avec a_i\neq0,\ f(a)\neq0) est E_{f}^{i}(a) = \frac{a_i}{f(a)}\,\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a) = \dfrac{\partial \ln f}{\partial \ln x_i}(a) — la variation relative de f pour 1 % de variation relative de x_i.
Application en sciences économiques
Pour une demande Q(p_1,p_2,p_3,R), l’élasticité E_Q^{p_2}>0 signale des biens substituts, E_Q^{p_3}<0 des biens complémentaires — la lecture du signe des élasticités croisées est un résultat de base en microéconomie de la consommation.
Différentiabilité, tangente
Le gradient et l’approximation linéaire
Différentiabilité
f est différentiable en a s’il existe une approximation linéaire de f au voisinage de a : f(a+\Delta x) \approx f(a) + df_a(\Delta x), \qquad df_a(\Delta x) = \sum_{i=1}^n \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)\,dx_i = \nabla f(a)\cdot dx, où \nabla f(a) = \left(\dfrac{\partial f}{\partial x_1}(a),\dots,\dfrac{\partial f}{\partial x_n}(a)\right) est le gradient de f en a.
Attention : plus fort que la dérivabilité
Contrairement au cas n=1, l’existence des dérivées partielles n’entraîne pas la différentiabilité (ni même la continuité !) quand n\ge 2. La différentiabilité doit se vérifier séparément — c’est elle qui garantit l’existence d’un (hyper)plan tangent \Pi_a \equiv z = f(a) + df_a(x-a).
La règle de dérivation en chaîne
Chain rule
Si y=f(x) est différentiable et x=x(t) l’est aussi, alors \dfrac{d}{dt} f\big(x(t)\big) = \displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{\partial f}{\partial x_i}\,\frac{dx_i}{dt}.
Application en sciences économiques
Consommateur sous contrainte de budget p_xx+p_yy=R : en substituant y=f(x)=\dfrac{R-p_xx}{p_y} dans U(x,y), la chain rule donne \dfrac{dV}{dx} = \dfrac{\partial U}{\partial x} - \dfrac{\partial U}{\partial y}\dfrac{p_x}{p_y} — l’expression qui, égalée à zéro, produira au chapitre 4 la condition de tangence budget/préférences.
Fonctions homogènes
Rendements d’échelle et formule d’Euler
Définition et théorème
f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} est homogène de degré k si \forall\lambda>0 : f(\lambda x) = \lambda^k f(x).
Formule d’Euler : si f est homogène de degré k et différentiable, \displaystyle\sum_{i=1}^n x_i\,\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(x) = k\,f(x).
Exemple : Cobb-Douglas
f(x,y)=x^\alpha y^{1-\alpha} est homogène de degré 1 (rendements d’échelle constants) : f(\lambda x,\lambda y)=\lambda f(x,y). La formule d’Euler donne x\,\dfrac{\partial f}{\partial x}+y\,\dfrac{\partial f}{\partial y} = f(x,y).
Application en sciences économiques
Sous rendements constants, la formule d’Euler dit que payer chaque facteur à sa productivité marginale épuise exactement la production totale — un résultat fondamental de la théorie de la répartition. Le degré d’homogénéité (k<1, =1, >1) classe les rendements d’échelle décroissants, constants, croissants.
Dérivées et matrice hessienne
La généralisation de f''
Matrice hessienne
Les dérivées partielles secondes \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j} forment la matrice hessienne Hf(a), de taille n\times n.
Théorème de Schwarz : si f\in C^2(D), Hf(a) est symétrique (\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_i}).
Exemple
f(x,y)=x^2y+xy^3 : Hf(x,y)=\begin{pmatrix}2y & 2x+3y^2\\ 2x+3y^2 & 6xy\end{pmatrix}, bien symétrique.
Pourquoi c’est essentiel
La matrice hessienne est à l’optimisation à plusieurs variables (chapitre 4) ce que f'' est à l’optimisation à une variable (chapitre 2) : son signe (via ses valeurs propres) tranchera entre maximum, minimum et point-selle.
Fonctions concaves et convexes
Caractérisation par la hessienne
Définitions et propriété
f est concave dans D (convexe) si \forall a,b\in D,\ \forall t\in[0,1] : f\big((1-t)a+tb\big) \ge (\le)\ (1-t)f(a)+t\,f(b).
Si f\in C^2(D), D ouvert convexe : f \text{ concave} \iff Hf(x) \text{ semi-définie négative } \forall x\in D, \qquad f \text{ convexe} \iff Hf(x) \text{ semi-définie positive}.
Comment vérifier le signe d’une hessienne 2\times2
Pour Hf=\begin{pmatrix}f_{xx} & f_{xy}\\ f_{xy} & f_{yy}\end{pmatrix} : semi-définie négative \iff f_{xx}\le0, f_{yy}\le0 et \det Hf = f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2 \ge 0 (critère des mineurs, repris en détail au chapitre 4).
Caractérisation par la hessienne (suite)
Application en sciences économiques
La concavité d’une fonction de production (rendements marginaux décroissants dans chaque facteur, et effets croisés « raisonnables ») et d’une fonction d’utilité (aversion au risque multivariée) sont les hypothèses qui garantiront, au chapitre 4, que la condition du premier ordre suffit à caractériser un optimum global.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
L’essentiel du chapitre 3
- Courbes de niveau : isoquantes, courbes d’indifférence.
- Limite : doit coïncider le long de tous les chemins.
- Dérivée partielle \dfrac{\partial f}{\partial x_i} = grandeur marginale ; gradient \nabla f = vecteur des dérivées partielles.
- Différentiabilité \neq simple existence des dérivées partielles.
- Homogénéité : formule d’Euler, rendements d’échelle.
- Hessienne Hf : généralise f'' ; son signe caractérise concavité/convexité.
Vers le chapitre 4
Tous les outils sont réunis : gradient et hessienne vont nous permettre de généraliser, à plusieurs variables et sous contrainte, la théorie de l’optimisation du chapitre 2.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)