Analyse mathématique
Optimisation des fonctions d’une variable
Analyse mathématique
Chapitre 2 : Optimisation des fonctions d’une variable
Avant de commencer
Pourquoi ce chapitre
Pourquoi ce chapitre ?
Maximiser un profit, minimiser un coût : l’optimisation est au cœur de la modélisation économique. Ce chapitre transforme les outils du chapitre 1 (dérivée, concavité) en une méthode systématique pour trouver un optimum.
Les types d’extrema
Global, local, strict
Définitions
Soit f:D\to\mathbb{R} et a\in D.
- Maximum global en a : \forall x\in D : f(a)\ge f(x).
- Maximum local en a : \exists voisinage V(a) tel que \forall x\in V(a)\cap D : f(a)\ge f(x).
- Version stricte : inégalité stricte pour x\neq a. (Symétriquement pour les minima.)
À retenir
Tout maximum global est aussi local, mais l’inverse est faux. Une fonction peut avoir plusieurs maxima locaux et un seul maximum global — ou aucun optimum global du tout si le domaine n’est pas favorable.
Condition suffisante
Le théorème de Weierstrass
Propriété
Si f est continue dans un intervalle fermé et borné [a,b], alors f admet un maximum global et un minimum global dans [a,b].
Pourquoi c’est important
En dehors de ce cadre (domaine ouvert, non borné, ou fonction discontinue), rien ne garantit l’existence d’un optimum global — même local. La première question à se poser, avant tout calcul, est donc : le théorème de Weierstrass s’applique-t-il ?
Application en sciences économiques
Une entreprise qui choisit une quantité q\in[0,\bar q] (capacité de production finie) est assurée d’avoir un profit maximal atteint quelque part sur cet intervalle fermé — ce qui n’est pas garanti si l’on autorise q\to+\infty sans hypothèse supplémentaire sur le coût.
Condition du premier ordre
Points critiques et liste des candidats
Point critique
Si f est dérivable en a et admet un extremum local en a, alors f'(a)=0 : a est un point critique (tangente horizontale).
Méthode : dresser la liste des candidats
Un extremum local ne peut se situer qu’en l’un de ces trois types de points :
- les points critiques (f'(a)=0) ;
- les bords du domaine (D\setminus D') — dits solutions de coin ;
- les points où f n’est pas dérivable (points anguleux).
Application en sciences économiques
La condition f'(a)=0 traduit l’idée centrale de l’analyse marginale : à l’optimum, une petite variation de la décision (quantité, prix, investissement) ne change plus la valeur de l’objectif au premier ordre — coût marginal = revenu marginal en est l’exemple le plus célèbre.
Trancher pour chaque candidat
Condition suffisante du second ordre
Propriété
Si f est deux fois dérivable en a, f'(a)=0 et f''(a)\neq 0, alors : f''(a)<0 \Rightarrow \text{maximum local en } a, \qquad f''(a)>0 \Rightarrow \text{minimum local en } a.
Exemple
f(x)=x^3-3x-2. f'(x)=3x^2-3=0 \Leftrightarrow x\in\{-1,1\}. Comme f''(x)=6x : f''(-1)=-6<0 (maximum local en -1), f''(1)=6>0 (minimum local en 1).
Quand f''(a)=0 : la condition d’ordre n
Propriété (ordre supérieur)
Si f'(a)=f''(a)=\cdots=f^{(n-1)}(a)=0 et f^{(n)}(a)\neq 0 :
- n pair et f^{(n)}(a)<0 \Rightarrow maximum local ; n pair et f^{(n)}(a)>0 \Rightarrow minimum local ;
- n impair \Rightarrow pas d’extremum en a (point d’inflexion à tangente horizontale).
Une alternative : le tableau de signes
Sans calculer f''
Si f change de signe de + à - autour de a (f croissante puis décroissante) \Rightarrow maximum local en a (et inversement pour un minimum). Cette méthode s’applique même aux points où f n’est pas dérivable ou situés en un bord du domaine.
Extrema globaux
Comparer les candidats
Méthode
Une fois tous les extrema locaux identifiés, l’extremum global (s’il existe) s’obtient en comparant les valeurs f(x) en chacun d’eux — le plus grand pour un maximum global, le plus petit pour un minimum global.
Cas favorable
Si f est continue sur un intervalle fermé et borné (Weierstrass), la comparaison suffit : l’existence est garantie. Sinon, il faut examiner en plus le comportement de f aux bords exclus et pour x\to\pm\infty.
Convexité et extrema
Le raccourci le plus utile en économie
Propriété
Soit D convexe et f:D\to\mathbb{R} dérivable dans D'.
- Si f est concave dans D : f'(a)=0 \iff f admet un maximum global en a.
- Si f est convexe dans D : f'(a)=0 \iff f admet un minimum global en a.
Pourquoi c’est puissant
Sous concavité, la condition du premier ordre suffit : plus besoin d’examiner la dérivée seconde, ni de comparer plusieurs candidats. C’est la raison pour laquelle les modèles économiques supposent si souvent des fonctions concaves (production, utilité) ou convexes (coût).
Exemple : le producteur (Monsieur X)
Exemple
f(x) = valeur produite pour x heures de travail, concave et dérivable, coût du travail C(x)=cx. Le profit g(x)=f(x)-cx est concave. L’optimum x^* vérifie : g'(x^*)=0 \iff f'(x^*)=c (productivité marginale = coût marginal).
Solution de coin
Si f'(x)\le c pour tout x\ge 0 (jamais rentable de produire davantage), la solution optimale est la solution de coin x^*=0 — un cas fréquent qu’il ne faut jamais négliger.
Exemple : monopole discriminant
Application en sciences économiques
Une firme en monopole sur deux marchés, avec demandes q_1=40-2p_1 et q_2=20-\tfrac12 p_2 et coût C=25+4q : maximiser séparément R_1(q_1)-C et R_2(q_2)-C (condition R_i'=C') donne des prix différents sur chaque marché (p_1=12, p_2=22) — la discrimination de prix par les tiers, illustration directe de la condition du premier ordre appliquée deux fois.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
L’essentiel du chapitre 2
- Weierstrass : f continue sur [a,b] \Rightarrow extrema globaux garantis.
- Candidats : points critiques (f'=0), bords, points non dérivables.
- Trancher : signe de f'' (ordre 2), ou tableau de signes de f'.
- Raccourci concave/convexe : f'(a)=0 devient une condition nécessaire et suffisante d’optimum global.
Vers le chapitre 3
En pratique, une décision économique dépend rarement d’une seule variable. Le chapitre 3 étend tout ce vocabulaire — limite, continuité, dérivée — aux fonctions de plusieurs variables.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)