Analyse mathématique
Optimisation des fonctions de plusieurs variables
Analyse mathématique
Chapitre 4 : Optimisation des fonctions de plusieurs variables
Avant de commencer
Pourquoi ce chapitre
Pourquoi ce chapitre ?
Aucune décision économique réaliste n’est libre de toute contrainte : un budget, une capacité de production, une quantité qui ne peut être négative. Ce chapitre généralise l’optimisation du chapitre 2 à plusieurs variables, libres puis sous contrainte.
Un saut conceptuel : le nombre de dérivées explose
Une fonction d’une variable admet une seule dérivée première, une seule dérivée seconde. Une fonction de n variables en admet n (dérivées partielles premières) puis n^2 (dérivées partielles secondes). Les conditions d’optimalité, plus riches, s’en trouvent mécaniquement plus lourdes à formuler — d’où l’appui systématique sur le gradient et la hessienne du chapitre 3.
Extrema libres
Définitions
Extrema d’une fonction de n variables
Soit f:D\to\mathbb{R}, où D\subset\mathbb{R}^n, et a\in D.
- f admet un maximum global en a si \forall x\in D : f(x)\le f(a) ;
- f admet un minimum global en a si \forall x\in D : f(a)\le f(x) ;
- f admet un maximum (minimum) local en a si l’inégalité correspondante n’est vérifiée que sur un voisinage V(a) de a.
Comme au chapitre 2
Les définitions se transposent telles quelles depuis le cas d’une variable : tout extremum global est local, l’inverse est faux, et l’on peut parler d’extrema stricts (inégalité stricte pour x\neq a).
Condition suffisante d’existence
Existence d’extrema globaux (Weierstrass, cas multivarié)
Si f:D\to\mathbb{R} est continue dans D\subset\mathbb{R}^n et si D est fermé et borné (on dit compact), alors f admet un maximum global et un minimum global dans D.
Portée et limites
Ce résultat est précieux — le gestionnaire cherche des optima globaux — mais son hypothèse de compacité est restrictive : beaucoup de problèmes économiques portent sur des variables non bornées. Deux idées viendront compenser cette limite : la concavité/convexité globale (ci-dessous), et un traitement systématique des bords du domaine (via Lagrange et Kuhn-Tucker, plus loin), bien plus délicats à n\ge 2 variables qu’à une seule, où il n’y avait que deux bords possibles.
Condition nécessaire du premier ordre
Point critique
Si f:D\to\mathbb{R} est différentiable en a et y admet un extremum local, alors \nabla f(a) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \forall i=1,\dots,n : \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)=0. a est alors appelé point critique (ou point stationnaire).
Dresser la liste des candidats
Comme au chapitre 2, un extremum local ne peut se situer qu’en l’un de ces trois types de points : les points critiques (\nabla f=0), les points où f n’est pas différentiable, et les bords du domaine. Dans cette section, D est supposé ouvert : il n’a pas de bords, d’où le nom d’extrema « libres ».
Concavité, convexité : le raccourci global
Critère de convexité/concavité
Soit D\subset\mathbb{R}^n ouvert et convexe, f:D\to\mathbb{R}, et a un point critique.
- Si f est convexe dans D, alors f admet un minimum global en a ;
- Si f est concave dans D, alors f admet un maximum global en a.
Application en sciences économiques : la firme
Application en sciences économiques : la firme
Une firme utilisant capital K et travail W, avec fonction de production concave f(K,W) et prix unitaires p (output), r,w (facteurs), maximise \pi(K,W)=p\,f(K,W)-rK-wW — concave, comme somme d’une fonction concave et d’une fonction affine. La condition du premier ordre p\,\dfrac{\partial f}{\partial K}=r, \qquad p\,\dfrac{\partial f}{\partial W}=w (valeur du produit marginal = coût du facteur) donne directement l’optimum global grâce à la concavité. Pour une Cobb-Douglas f(K,W)=K^\alpha W^\beta à rendements décroissants (\alpha+\beta<1), on en déduit, en notant z=K^\alpha W^\beta le niveau de production optimal, la fonction d’offre de la firme : z^{\,1-\alpha-\beta} = \left(\frac{p\alpha}{r}\right)^{\!\alpha}\left(\frac{p\beta}{w}\right)^{\!\beta}.
Condition suffisante du second ordre : la hessienne
Classification par la hessienne
Soit a un point critique de f\in C^2, D ouvert. Selon la nature de Hf(a) :
- définie positive \Rightarrow minimum local ;
- définie négative \Rightarrow maximum local ;
- indéfinie \Rightarrow point-selle (ni max, ni min) — critère du point-selle ;
- semi-définie \Rightarrow cas douteux, la hessienne ne permet pas de conclure (étude directe nécessaire).
Test pratique en dimension 2 : les mineurs principaux
Pour Hf(a)=\begin{pmatrix}f_{xx} & f_{xy}\\ f_{xy} & f_{yy}\end{pmatrix}, notons D_1=f_{xx}, D_2=\det Hf = f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2 :
- D_1>0 et D_2>0 \Rightarrow minimum local ;
- D_1<0 et D_2>0 \Rightarrow maximum local ;
- D_2<0 \Rightarrow point-selle ;
- D_2=0 \Rightarrow cas douteux.
Condition suffisante du second ordre : la hessienne (suite)
Exemple : un point-selle et un minimum non global
f(x,y)=x^2+y^3-2xy-y. Les points critiques résolvent f_x=2x-2y=0 et f_y=3y^2-2x-1=0, soit x=y et 3y^2-2y-1=0 : deux candidats, (1,1) et \left(-\tfrac13,-\tfrac13\right).
En (1,1) : Hf=\begin{pmatrix}2&-2\\-2&6\end{pmatrix}, D_1=2>0, D_2=8>0 \Rightarrow minimum local, f(1,1)=-1 — mais pas global, puisque f(0,-2)=-6<-1.
En \left(-\tfrac13,-\tfrac13\right) : D_2=-8<0 \Rightarrow point-selle.
Exemple : domaine ouvert borné
f(x,y)=x^2+y^2 sur le disque ouvert D=\{(x,y):x^2+y^2<1\}. L’unique point critique est (0,0) ; comme \forall (x,y)\in D : f(x,y)\ge 0=f(0,0), il s’agit d’un minimum global, établi ici directement par la définition plutôt que par la hessienne. En revanche f n’admet aucun maximum : la borne supérieure (atteinte en norme 1) n’appartient pas au domaine, qui est borné mais pas fermé — Weierstrass ne s’applique pas.
Extrema, contraintes d’égalité
Le problème et le lagrangien
Problème lié et lagrangien
Maximiser (ou minimiser) f(x), x\in D\subset\mathbb{R}^n, sous les contraintes g_1(x)=0,\dots,g_m(x)=0 (m<n). On introduit les multiplicateurs de Lagrange \lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_m) et le lagrangien : \mathcal{L}(x,\lambda) = f(x) - \sum_{j=1}^m \lambda_j\,g_j(x). Les solutions du système \nabla_{x,\lambda}\mathcal{L}=0 sont les points critiques du lagrangien.
Pourquoi un problème plus grand résout un problème contraint
Ajouter les m multiplicateurs peut sembler alourdir le problème — de n à n+m variables. C’est pourtant ce détour qui permet d’incorporer directement la ou les contraintes dans une condition du premier ordre unique, sans devoir isoler une variable en fonction des autres.
Le théorème de Lagrange
Théorème de Lagrange
Si f,g_1,\dots,g_m sont de classe C^1 et si a résout le problème lié en un point régulier des contraintes (jacobienne des g_j de rang plein m en a), alors il existe \lambda^*\in\mathbb{R}^m tel que (a,\lambda^*) est point critique de \mathcal{L} : \nabla f(a) = \sum_{j=1}^m \lambda_j^*\,\nabla g_j(a), \qquad g_j(a)=0 \ (j=1,\dots,m).
Lecture géométrique : la tangence
Pour n=2, m=1 : \nabla f(a)=\lambda^*\nabla g(a) signifie que les gradients de f et de g sont colinéaires en a — la courbe de niveau de f passant par a est tangente à la contrainte g(x)=0. C’est exactement la condition de tangence entre courbe d’indifférence et droite de budget en microéconomie.
Exemple : le consommateur Cobb-Douglas
Maximiser U(x,y)=\sqrt{xy} sous p_1x+p_2y=R. Le lagrangien \mathcal{L}=\sqrt{xy}-\lambda(p_1x+p_2y-R) donne \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{y}{x}}=\lambda p_1, \qquad \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{x}{y}}=\lambda p_2 \ \Longrightarrow\ \dfrac{y}{x}=\dfrac{p_1}{p_2}, d’où, avec la contrainte, l’unique point critique x^*=\dfrac{R}{2p_1}, \qquad y^*=\dfrac{R}{2p_2}, \qquad U(x^*,y^*)=\dfrac{R}{2\sqrt{p_1p_2}}.
Interprétation du multiplicateur
Prix implicite (shadow price)
En paramétrant le niveau des contraintes g_j(x)=R_j et en notant F(R)=f(x^*(R)) la valeur optimale, on a, sous les conditions de régularité usuelles : \lambda_j^* = \dfrac{\partial F(R)}{\partial R_j}. Le multiplicateur mesure la variation de l’objectif optimal pour une unité supplémentaire de ressource j — nul si la contrainte est superflue, élevé si elle pénalise fortement l’optimum.
Application en sciences économiques : le consommateur
Reprenons U(x,y)=\sqrt{xy} sous p_1x+p_2y=R. Le multiplicateur optimal \lambda^* s’interprète comme l’utilité marginale du revenu : \lambda^* = \dfrac{\partial U(x^*(R),y^*(R))}{\partial R}. Plus généralement, pour le consommateur sous contrainte budgétaire, la condition du premier ordre \dfrac{\partial U}{\partial x}=\lambda p_1, \dfrac{\partial U}{\partial y}=\lambda p_2 donne \dfrac{\partial U/\partial x}{\partial U/\partial y}=\dfrac{p_1}{p_2} — le taux marginal de substitution égale le rapport des prix.
Classification des candidats
Hessienne partielle et conditions du second ordre
Soit \mathcal{L} de classe C^2 et H_{\mathcal{L}}(x,\lambda)=\left(\dfrac{\partial^2 \mathcal{L}}{\partial x_i\partial x_j}\right) sa hessienne partielle (dérivées par rapport aux x_i seulement). En un point critique (x^*,\lambda^*) :
- H_{\mathcal{L}}(x^*,\lambda^*) définie positive \Rightarrow minimum local lié ;
- H_{\mathcal{L}}(x^*,\lambda^*) définie négative \Rightarrow maximum local lié ;
- H_{\mathcal{L}}(x,\lambda^*) semi-définie positive \forall x\in D \Rightarrow minimum global lié ;
- H_{\mathcal{L}}(x,\lambda^*) semi-définie négative \forall x\in D \Rightarrow maximum global lié.
Contrairement aux extrema libres, une hessienne indéfinie ne permet ici aucune conclusion.
Retour à l’exemple : un optimum global via la semi-définie
Pour U(x,y)=\sqrt{xy} ci-dessus, on calcule H_{\mathcal{L}}(x,y)=\begin{pmatrix}-\tfrac14 x^{-3/2}y^{1/2} & \tfrac14 x^{-1/2}y^{-1/2}\\[2pt] \tfrac14 x^{-1/2}y^{-1/2} & -\tfrac14 x^{1/2}y^{-3/2}\end{pmatrix}, dont le déterminant est nul sur tout D=\{x>0,y>0\} : elle est semi-définie négative partout — pas seulement au point critique. On conclut donc à un maximum global lié, cohérent avec le caractère concave (mais non strictement) de la racine du produit \sqrt{xy}.
Extrema, inégalités
Contraintes saturées et régularité
Vocabulaire
Pour une contrainte g(x)\le 0 en un point admissible a :
- elle est saturée (active) si g(a)=0 — la frontière est atteinte ;
- elle est non saturée si g(a)<0 — localement sans effet sur l’optimum.
Un point a est régulier si la jacobienne des contraintes saturées en a est de rang maximum ; sinon il est singulier, et automatiquement retenu comme candidat.
Intuition
Une contrainte non saturée peut être ignorée au voisinage de l’optimum : tout se passe comme si elle n’existait pas. Seules les contraintes saturées influencent la condition d’optimalité.
Contraintes saturées et régularité (suite)
Exemple : extrema sur un disque fermé
Optimiser f(x,y)=x+y-1 sous x^2+y^2\le 1. Comme \nabla f=(1,1)\neq(0,0) partout, il n’y a aucun point critique intérieur : les candidats sont sur le bord x^2+y^2=1. Le lagrangien associé, \mathcal{L}=x+y-1-\mu(x^2+y^2-1), donne x=y=\tfrac{1}{2\mu}, d’où, avec la contrainte, deux candidats : \left(\tfrac{\sqrt2}{2},\tfrac{\sqrt2}{2}\right) et \left(-\tfrac{\sqrt2}{2},-\tfrac{\sqrt2}{2}\right). Le domaine (disque fermé) est compact : Weierstrass garantit l’existence d’un maximum et d’un minimum globaux, atteints respectivement en \left(\tfrac{\sqrt2}{2},\tfrac{\sqrt2}{2}\right) (valeur \sqrt2-1) et \left(-\tfrac{\sqrt2}{2},-\tfrac{\sqrt2}{2}\right) (valeur -\sqrt2-1).
Le théorème de Kuhn et Tucker
Conditions de Kuhn-Tucker (maximisation)
Pour maximiser f(x) sous g_i(x)\le 0 (i=1,\dots,p) et, le cas échéant, h_k(x)=0 (k=1,\dots,m), avec lagrangien \mathcal{L} = f(x) - \sum_i \mu_i\,g_i(x) - \sum_k \lambda_k\,h_k(x), un optimum a en un point régulier vérifie :
\mu_i \ge 0, \qquad \nabla_x \mathcal{L}(a,\mu,\lambda) = 0, \qquad \mu_i\,g_i(a)=0 \quad \text{(conditions d'exclusion)}.
Lire la condition d’exclusion
\mu_i\,g_i(a)=0 signifie : soit la contrainte i est saturée (g_i(a)=0), soit son multiplicateur est nul (\mu_i=0). Si aucune contrainte n’est saturée en un extremum, tous les \mu_i s’annulent et le théorème se réduit à la condition des extrema libres ; si toutes les contraintes actives le sont sous forme d’égalité, on retrouve le théorème de Lagrange. Kuhn-Tucker généralise ainsi les deux résultats précédents.
Le théorème de Kuhn et Tucker (suite)
Retour à l’exemple, via Kuhn-Tucker
Reprenons f(x,y)=x+y-1 sous x^2+y^2\le 1, avec \mathcal{L}=x+y-1-\mu(x^2+y^2-1). La condition d’exclusion \mu(x^2+y^2-1)=0 exclut \mu=0 (impossible avec \nabla f\neq0) : la contrainte est nécessairement saturée, ce qui ramène le problème à l’égalité x^2+y^2=1 déjà résolue — retrouvant les deux mêmes candidats, avec \mu=\tfrac{1}{\sqrt2}>0 au maximum.
Application en sciences économiques : solution de coin
Consommateur maximisant U(x,y) sous p_1x+p_2y\le R, x\ge0, y\ge0. Si le bien y procure une utilité marginale trop faible dès y=0, la contrainte y\ge0 est saturée : y^*=0 (solution de coin), et son multiplicateur est strictement positif. C’est l’outil qui traite proprement les biens non consommés — un cas que Lagrange seul (contraintes d’égalité) ne peut pas capturer.
Le théorème de Kuhn et Tucker (suite 2)
Application en sciences économiques : capacité de production
Une firme minimise son coût C(K,W) sous f(K,W)\ge \bar q (niveau de production imposé) et K\le \bar K (capacité en capital limitée). Si \bar K n’est pas contraignante, son multiplicateur est nul et le problème se résout comme si la contrainte de capacité n’existait pas ; si elle sature, le multiplicateur mesure le coût marginal de la capacité manquante — une information clé pour décider d’investir.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
L’essentiel du chapitre 4
- Extrema libres : candidats = points critiques (\nabla f=0) ; hessienne définie/indéfinie tranche en local ; concavité/convexité \Rightarrow optimum global directement.
- Lagrange (contrainte d’égalité) : point critique du lagrangien \mathcal{L}=f-\sum\lambda_j g_j ; hessienne partielle pour classer ; \lambda^* = prix implicite (sensibilité à la contrainte).
- Kuhn-Tucker (contrainte d’inégalité) : ajoute \mu\ge0 et la condition d’exclusion \mu\,g=0 — généralise à la fois les extrema libres et le théorème de Lagrange, et traite proprement les solutions de coin.
Fin du parcours
Ces cinq chapitres — des ensembles de nombres à Kuhn-Tucker — couvrent l’essentiel des outils d’analyse utilisés dans le reste du cursus : microéconomie (théorie du consommateur et du producteur), macroéconomie, et économétrie.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)