Analyse mathématique
Fonctions d’une variable : limites, continuité, dérivabilité
Analyse mathématique
Chapitre 1 : Fonctions d’une variable — limites, continuité, dérivabilité
Avant de commencer
Pourquoi ce chapitre
Pourquoi ce chapitre ?
Les extrema (chapitre 2) reposent sur la dérivée ; la dérivée repose sur la limite. Ce chapitre construit, dans l’ordre, limite → continuité → dérivabilité, puis introduit les notions qui décrivent la « forme » d’une fonction.
Limites de fonctions
Le domaine d’examen des limites
Domaine D'
Pour f:D\to\mathbb{R}, le domaine d’examen des limites bilatérales D' est l’ensemble des points que l’on peut approcher, par la gauche et par la droite, tout en restant dans D — sans que le point lui-même doive appartenir à D.
Exemple
f:[0,1]\to\mathbb{R}. On a D'=(0,1) : en 0 on ne peut approcher que par la droite (0\in D'_D), en 1 que par la gauche (1\in D'_G).
Limite bilatérale et limites unilatérales
Limite en un point
f a pour limite b quand x\to a (noté \lim_{x\to a} f(x)=b) si les valeurs de f(x) se rapprochent d’aussi près que l’on veut de b lorsque x se rapproche d’aussi près que l’on veut de a (avec x\neq a).
Si le comportement diffère à gauche et à droite, on parle de limite à gauche (\lim_{x\to a^-}) et de limite à droite (\lim_{x\to a^+}).
Propriété clé
La limite bilatérale existe si et seulement si les deux limites unilatérales existent et coïncident. C’est l’outil standard pour établir la non-existence d’une limite en un point charnière (fonction définie par morceaux).
Application en sciences économiques
Une fonction de coût total définie par paliers (tarification par tranches, ex. électricité) a des limites à gauche et à droite différentes aux points de rupture : le coût n’est pas continu, ce qui a des implications directes sur le coût marginal.
Limites infinies et à l’infini
Extensions
On étend la notion de limite : comportement de f quand x\to+\infty ou x\to-\infty (asymptotes horizontales), et cas où f(x)\to\pm\infty quand x\to a (asymptotes verticales, voir plus loin).
Règles de calcul et pincement
Les règles usuelles (somme, produit, quotient, composée) s’appliquent tant qu’on n’obtient pas une forme indéterminée (\infty-\infty, 0\cdot\infty, \tfrac{0}{0}…). Le principe du pincement (f\le g\le h et \lim f=\lim h=b \Rightarrow \lim g = b) permet de conclure quand le calcul direct échoue.
Continuité
Continuité en un point et dans un domaine
Continuité
f est continue en a si \lim_{x\to a} f(x) = f(a). f est continue dans D si elle l’est en tout point de D (avec les adaptations à gauche/droite aux bords).
Le domaine de continuité D_C est le plus grand sous-ensemble de D où f est continue.
Exemple
f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} : x \to \begin{cases} x & \text{si } x<0\\ 3 & \text{si } x=0\\ x+3 & \text{si } x>0\end{cases}
\lim_{x\to 0^-} f(x)=0 \neq f(0)=3 : f n’est pas continue en 0 (mais continue à droite).
Méthode pratique
- Décomposer f en somme/produit/composée de fonctions de référence (continues sur leur domaine) ;
- Aux points « charnières » (changement d’expression), calculer explicitement les limites à gauche et à droite ;
- Ne pas oublier les bords du domaine.
Le théorème du point fixe de Brouwer
Théorème de Brouwer
Si f:[a,b]\to[a,b] est continue, alors \exists c\in[a,b] : f(c)=c (point fixe) — existence garantie, unicité non garantie.
Application en sciences économiques
Le théorème de Brouwer (et sa généralisation à \mathbb{R}^n, Kakutani) est l’outil qui garantit l’existence d’un équilibre général en économie : un vecteur de prix qui égalise offre et demande sur tous les marchés simultanément est un point fixe d’une fonction de meilleure réponse.
Asymptotes
Trois types d’asymptotes
Définitions
- Asymptote verticale en a : \lim_{x\to a^{\pm}} f(x) = \pm\infty (le graphe « part à l’infini » en restant collé à la droite x=a).
- Asymptote horizontale : \lim_{x\to\pm\infty} f(x) = b \in \mathbb{R} (le graphe se rapproche de y=b).
- Asymptote oblique y=mx+p : \lim_{x\to\pm\infty}\big[f(x)-(mx+p)\big]=0, avec m=\lim \tfrac{f(x)}{x}, p=\lim[f(x)-mx].
Application en sciences économiques
Le coût moyen CM(q)=C(q)/q admet souvent une asymptote — sa limite quand q\to+\infty renseigne sur les rendements d’échelle de long terme de la firme (le coût moyen tend vers le coût marginal constant dans les modèles à coûts fixes négligeables).
Dérivabilité
Définition et interprétation géométrique
Dérivée en un point
f est dérivable en a si \displaystyle\lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} existe (dans \mathbb{R}) ; cette limite, notée f'(a), est le taux de variation instantané.
Géométriquement, f'(a) est le coefficient directeur de la tangente au graphe en a : T_a \equiv y = f(a) + f'(a)(x-a).
Application en sciences économiques
f'(a) formalise la notion de grandeur marginale, omniprésente en économie : coût marginal C'(q), utilité marginale U'(x), productivité marginale f'(K). C’est la notion la plus utilisée de tout ce cours.
Fonctions de référence et règles de calcul
Dérivées usuelles
| f(x) | f'(x) | f(x) | f'(x) | |
|---|---|---|---|---|
| x^\alpha | \alpha x^{\alpha-1} | e^x | e^x | |
| \ln x | 1/x | \text{cste} | 0 |
Règles de calcul
(f+g)'=f'+g', (fg)'=f'g+fg', \left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g-fg'}{g^2}, et dérivation en chaîne : (g\circ f)'(a) = g'\big(f(a)\big)\,f'(a).
Dérivabilité, continuité et points anguleux
Propriétés
f dérivable en a \Rightarrow f continue en a (la réciproque est fausse : f(x)=|x| est continue mais non dérivable en 0).
Un point où f'_g(a) \neq f'_d(a) (dérivées à gauche/droite distinctes) est un point anguleux.
La règle de l’Hospital
Règle de l’Hospital
Si \lim f = \lim g = 0 (ou \pm\infty) et \lim \dfrac{f'}{g'} existe, alors \displaystyle\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}.
À utiliser en dernier recours
Valable seulement sur les formes indéterminées \tfrac00 ou \tfrac{\infty}{\infty} (les autres formes 0\times\infty, \infty-\infty, 0^0… s’y ramènent par réécriture). Toujours essayer de simplifier algébriquement d’abord.
Le théorème de Taylor
Approximation polynomiale locale
Théorème de Taylor
Si f est (p+1) fois dérivable au voisinage de a : f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(p)}(a)}{p!}(x-a)^p + R_p(x), où R_p (le reste) est négligeable au voisinage de a.
Intuition
Taylor dit qu’au voisinage d’un point, toute fonction suffisamment régulière ressemble à un polynôme. À l’ordre 1, c’est exactement l’approximation par la tangente ; les ordres supérieurs affinent l’approximation.
Application en sciences économiques
L’approximation au premier ordre (\Delta f \approx f'(a)\,\Delta x) est le fondement du raisonnement « marginal » standard en économie : une petite variation de prix ou de quantité produit un effet approximé par la dérivée. L’ordre 2 apparaît dans l’analyse de l’aversion au risque (concavité de l’utilité).
Monotonie et convexité
Fonctions croissantes et décroissantes
Lien avec la dérivée
Si f est dérivable dans un intervalle D : f \text{ croissante dans } D \iff \forall x\in D : f'(x)\ge 0, \qquad f \text{ décroissante} \iff f'(x)\le 0.
Application en sciences économiques
La quantité demandée est (généralement) décroissante en le prix (D'(p)\le 0), la quantité offerte croissante (O'(p)\ge 0) — l’existence même d’un équilibre de marché unique repose sur ces propriétés de monotonie.
Concavité et convexité
Définitions
f est concave dans D (convexe) si : \forall x,y\in D,\ \forall\lambda\in[0,1] : f(\lambda x+(1-\lambda)y) \ge (\le)\ \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y).
Si f est deux fois dérivable : f concave \iff f''\le 0 ; f convexe \iff f''\ge 0.
Lecture graphique
Concave = le graphe est sous ses cordes (courbé « vers le bas », comme une fonction de production à rendements décroissants). Convexe = au-dessus de ses cordes.
Concavité et convexité (suite)
Application en sciences économiques
Une fonction de production à un facteur est typiquement concave (rendements marginaux décroissants) ; une fonction d’utilité concave traduit l’aversion au risque de l’agent. Cette notion, essentielle pour caractériser un optimum global, sera au cœur du chapitre 2.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
L’essentiel du chapitre 1
- Limite : comportement local ; existe \iff limites à gauche et à droite coïncident.
- Continuité : \lim_{x\to a} f(x)=f(a) ; le théorème de Brouwer garantit l’existence de points fixes (équilibres).
- Dérivée f'(a) = pente de la tangente = grandeur marginale ; dérivable \Rightarrow continue.
- Taylor : approximation polynomiale locale ; concavité/convexité : signe de f''.
Vers le chapitre 2
Ces outils — dérivée première, dérivée seconde, concavité — sont exactement ceux dont nous avons besoin pour répondre à la question centrale de la gestion : où se situe l’optimum d’une fonction ?
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)