Algèbre linéaire
Trace, déterminant et rang
Algèbre linéaire
Chapitre 2 : Trace, déterminant et rang
Avant de commencer
Pourquoi ce chapitre
Pourquoi ce chapitre ?
On associe aux matrices des caractéristiques numériques à usages variés. La trace et le déterminant ne concernent que les matrices carrées ; le rang, lui, se calcule pour toute matrice. Ces trois notions préparent directement l’inversion (chapitre 3) et la résolution des systèmes linéaires (chapitre 4).
La trace d’une matrice carrée
Définition et propriétés
Trace
La trace d’une matrice carrée A=(a_{ij})_{n\times n} est la somme de ses éléments diagonaux : \operatorname{tr}A = \sum_{i=1}^n a_{ii}. On a \operatorname{tr}(0_{n\times n})=0 et \operatorname{tr}(I_n)=n.
Propriétés de la trace
Pour des tailles compatibles : \operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}A+\operatorname{tr}B, \qquad \operatorname{tr}(\lambda A)=\lambda\operatorname{tr}A, \qquad \operatorname{tr}(A^\top)=\operatorname{tr}A, \qquad \operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA).
Définition et propriétés (suite)
La trace, malgré sa simplicité, est puissante
La dernière propriété, \operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA), est vraie même quand AB\neq BA : elle permet de « faire circuler » les matrices sous la trace, une manipulation fréquente en statistique (par exemple pour la variance totale d’un portefeuille, ci-dessous).
Le déterminant, matrice carrée
Cas particuliers : n=1,2,3
Déterminant, cas n\le 3
Toute matrice carrée A=(a_{ij})_{n\times n} admet un déterminant réel, noté \det A ou |A|.
- n=1 : \det(a_{11})=a_{11}.
- n=2 : \det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc.
- n=3 (règle de Sarrus) : \det\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.
Définition générale et propriétés
Définition générale
Pour A=(a_{ij})_{n\times n} quelconque, on considère les permutations de \{1,\dots,n\} (bijections de cet ensemble dans lui-même) ; chacune a une signature \operatorname{sign}\pi=\pm1. Le déterminant est la somme algébrique des n! produits \det A = \sum_{\pi} \operatorname{sign}(\pi)\;a_{1\pi(1)}\,a_{2\pi(2)}\cdots a_{n\pi(n)}, où la signature indique si chaque produit est affecté d’un signe + ou -. Les cas n=2,3 ci-dessus en sont des instances.
Propriétés du déterminant
Propriétés du déterminant
Soit A,B\in\mathbb{R}^{n\times n}.
- \det(\lambda A)=\lambda^n\det A ; \quad \det(AB)=\det A\cdot\det B=\det(BA) ; \quad \det(A^\top)=\det A.
- Le déterminant est nul si : une ligne (ou colonne) de zéros, deux lignes (ou colonnes) proportionnelles, ou une ligne (resp. colonne) combinaison linéaire des autres.
- Il est inchangé si on ajoute à une ligne (resp. colonne) une combinaison linéaire d’autres lignes (resp. colonnes) ; il change de signe si on permute deux lignes (ou colonnes) ; il est multiplié par \lambda si on multiplie une ligne (ou colonne) par \lambda.
Définition générale et propriétés (suite)
Le déterminant d’une somme n’est pas la somme des déterminants
Contrairement à la trace, le déterminant n’est pas linéaire : \det(A+B)\neq\det A+\det B en général. C’est en revanche multiplicatif : \det(AB)=\det A\cdot\det B, une propriété qui se révélera essentielle pour caractériser l’inversibilité (chapitre 3).
Exemple
A=\begin{pmatrix}2&1&0\\-1&3&2\\0&1&1\end{pmatrix}. Par Sarrus : \det A = 2\cdot3\cdot1+1\cdot2\cdot0+0\cdot(-1)\cdot1-0\cdot3\cdot0-1\cdot(-1)\cdot1-2\cdot2\cdot1=6+0+0-0+1-4=3.
Le rang, matrice rectangulaire
Définition et propriétés
Rang
Le rang de A=(a_{ij})_{n\times m}, noté \operatorname{rg}A, est le nombre de colonnes de A linéairement indépendantes. A est de plein rang si \operatorname{rg}A=\min\{m,n\}.
Propriétés du rang
- \operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^\top (le rang est symétrique en lignes et colonnes, malgré une définition qui semble privilégier les colonnes) ; \quad \operatorname{rg}A\le m et \operatorname{rg}A\le n.
- Le rang ne change pas si l’on permute des lignes (ou colonnes), multiplie une ligne (ou colonne) par un réel non nul, ou ajoute à une ligne (resp. colonne) une combinaison linéaire d’autres lignes (resp. colonnes).
Définition et propriétés (suite)
Exemple
A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\end{pmatrix} a un rang égal à 1 : sa deuxième ligne (et sa deuxième et troisième colonne) sont proportionnelles à la première. A n’est donc pas de plein rang (\min\{2,3\}=2\neq1).
Application en gestion : risque de portefeuille et multicolinéarité
Pour un portefeuille de poids w=(w_1,\dots,w_n)^\top et de matrice de variances-covariances \Sigma, la variance totale s’écrit w^\top \Sigma w ; la somme des variances individuelles, elle, est \operatorname{tr}\Sigma — deux résumés numériques bien distincts d’une même matrice. En économétrie, si les colonnes de la matrice des régresseurs X (les variables explicatives) sont linéairement dépendantes, \operatorname{rg}X<m : c’est la multicolinéarité parfaite, qui empêche l’estimation par moindres carrés (chapitre régression multiple). Enfin, un système de n prix d’équilibre n’admet une solution unique que si le déterminant de sa matrice de coefficients est non nul — le lien exact avec le chapitre 3.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
L’essentiel du chapitre 2
- Trace : somme des éléments diagonaux ; linéaire, et \operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA).
- Déterminant : nombre associé à toute matrice carrée ; multiplicatif (\det(AB)=\det A\det B), pas additif ; nul dès qu’il y a dépendance linéaire entre lignes ou colonnes.
- Rang : nombre de colonnes (= lignes) linéairement indépendantes ; invariant par combinaisons linéaires élémentaires.
Vers le chapitre 3
La nullité du déterminant s’avère être la caractéristique qui décide si une matrice carrée est inversible. Le chapitre 3 en fait la pierre angulaire de l’inversion.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)