Algèbre linéaire
Formes quadratiques
Algèbre linéaire
Chapitre 6 : Formes quadratiques
Avant de commencer
Pourquoi ce chapitre
Pourquoi ce chapitre ?
Dernier maillon de ce cours : les formes quadratiques généralisent le carré x^2 à plusieurs variables. Leur signe — positif, négatif, ou variable — repose entièrement sur les outils des chapitres précédents (déterminant, valeurs propres), et conditionne directement la classification des extrema en optimisation à plusieurs variables.
Signe d’une forme quadratique
Définitions
Forme quadratique
Une forme quadratique est une fonction Q:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} de la forme Q(x)=X^\top\alpha X=\sum_{i,j}\alpha_{ij}x_ix_j, où \alpha\in\mathbb{R}^{n\times n}. Comme \alpha_{ij}x_ix_j+\alpha_{ji}x_jx_i ne dépend que de \alpha_{ij}+\alpha_{ji}, on peut toujours supposer, sans perte de généralité, que \alpha est symétrique.
Signe d’une forme quadratique
Soit Q(x)=X^\top\alpha X, \alpha symétrique.
- Q est définie positive (resp. définie négative) si \forall x\neq0 : Q(x)>0 (resp. Q(x)<0).
- Q est semi-définie positive (resp. négative) si \forall x : Q(x)\ge0 (resp. \le0).
- Q est indéfinie si \exists x,y : Q(x)>0 et Q(y)<0.
(Toujours : Q(0)=0.)
Définitions (suite)
Lien avec la diagonalisation
Diagonaliser pour lire le signe
Toute matrice symétrique \alpha est diagonalisable (chapitre 5) : \alpha=H^{-1}\beta H, \beta diagonale, H inversible. Le changement de variable Y=HX donne Q(x)=\hat Q(y)=\sum_i d_i y_i^2, où les d_i sont les valeurs propres de \alpha (éléments diagonaux de \beta) : Q et \hat Q ont le même signe.
Signe et valeurs propres
Soit Q(x)=X^\top\alpha X, \alpha symétrique.
- Q définie positive \iff toutes les valeurs propres de \alpha sont >0.
- Q définie négative \iff toutes les valeurs propres de \alpha sont <0.
- Q semi-définie positive (resp. négative) \iff toutes les valeurs propres sont \ge0 (resp. \le0).
La méthode des mineurs principaux
Mineurs principaux
Les mineurs principaux de \alpha=(\alpha_{ij})_{n\times n} sont les déterminants \det\alpha^{(i)} des n sous-matrices « en haut à gauche » de taille i\times i, i=1,\dots,n. Cette méthode, souvent plus rapide qu’une diagonalisation complète, permet de trancher :
- \alpha définie positive \iff \forall i : \det\alpha^{(i)}>0 ;
- \alpha définie négative \iff \forall i : (-1)^i\det\alpha^{(i)}>0 (signes alternés, en commençant par négatif) ;
- \alpha semi-définie positive (resp. négative) \Rightarrow \forall i : \det\alpha^{(i)}\ge0 (resp. (-1)^i\det\alpha^{(i)}\ge0) — condition nécessaire, non suffisante ;
- s’il existe i pair avec \det\alpha^{(i)}<0, alors \alpha est indéfinie.
Cas particulier 2\times2
Cas particulier 2\times2
Pour \alpha=\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}, associée à Q(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2, les mineurs sont \det\alpha^{(1)}=a et \det\alpha^{(2)}=ac-b^2 :
- définie positive \iff a>0 et ac-b^2>0 ;
- définie négative \iff a<0 et ac-b^2>0 ;
- ac-b^2<0 \Rightarrow indéfinie.
La méthode des mineurs principaux (suite)
Exemple : une forme définie positive
Q(x,y)=x^2+3y^2+2xy, associée à \alpha=\begin{pmatrix}1&1\\1&3\end{pmatrix}. Mineurs : \det\alpha^{(1)}=1>0, \det\alpha^{(2)}=3-1=2>0 \Rightarrow Q est définie positive. Vérification par les valeurs propres : \operatorname{tr}\alpha=4, \det\alpha=2, d’où \lambda=2\pm\sqrt2 — toutes deux strictement positives.
Exemple : une forme indéfinie
Q(x,y)=x^2-y^2, associée à \alpha=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}. \det\alpha^{(2)}=-1<0 (avec i=2 pair) \Rightarrow Q est indéfinie : Q(1,0)=1>0 mais Q(0,1)=-1<0.
La méthode des mineurs principaux (suite 2)
Application en gestion : variance d’un portefeuille et convexité des coûts
Pour un portefeuille de poids w et de matrice de variances-covariances \Sigma, la variance totale Q(w)=w^\top\Sigma w est toujours semi-définie positive (Q(w)\ge0 pour tout w, puisqu’une variance ne peut être négative) — et définie positive dès lors qu’aucun actif n’est une combinaison linéaire exacte des autres. Plus généralement, une fonction de coût C(x) est convexe si et seulement si sa matrice hessienne (chapitre suivant, cours d’analyse mathématique) est semi-définie positive en tout point : c’est très exactement le critère de cette section, appliqué à la matrice des dérivées secondes plutôt qu’à une matrice de données. La boucle entre algèbre linéaire et optimisation à plusieurs variables est ainsi bouclée.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
L’essentiel du chapitre 6
- Q(x)=X^\top\alpha X, \alpha symétrique : son signe se lit sur les valeurs propres de \alpha (toutes >0, <0, \ge0, \le0, ou mélangées).
- La méthode des mineurs principaux offre un test pratique, souvent plus rapide que la diagonalisation.
- Cas 2\times2 : a>0,\ ac-b^2>0 \Rightarrow définie positive ; ac-b^2<0 \Rightarrow indéfinie.
- Cette classification est exactement celle utilisée pour la matrice hessienne en optimisation à plusieurs variables.
Fin du parcours
Ces sept chapitres — des opérations élémentaires sur les matrices jusqu’aux formes quadratiques — donnent tous les outils d’algèbre linéaire mobilisés ailleurs dans le cursus : optimisation à plusieurs variables, économétrie (moindres carrés, multicolinéarité), analyse de portefeuille, modèles entrées-sorties.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)