Algèbre linéaire

Matrices particulières et sous-matrices

Algèbre linéaire

Algèbre linéaire

Chapitre 1 : Matrices particulières et sous-matrices

Auteur·rice
Affiliation

Jaouad Madkour

Faculté d’Économie et de Gestion de Tanger

Date de publication

24 septembre 2026

Avant de commencer

Pourquoi ce chapitre

Pourquoi ce chapitre ?

Certaines matrices ont une structure remarquable qui simplifie leurs propriétés — trace, déterminant, inversion (chapitres suivants). Repérer ces structures est souvent la première chose à faire face à une matrice donnée.

Matrices carrées particulières

Triangulaires et symétriques

Matrices carrées particulières

Soit A=(a_{ij})_{n\times n}.

  • A est triangulaire supérieure (resp. inférieure) si \forall i>j (resp. j>i) : a_{ij}=0 — tous les éléments sous (resp. au-dessus de) la diagonale sont nuls.
  • A est symétrique (resp. antisymétrique) si \forall i,j : a_{ij}=a_{ji} (resp. a_{ij}=-a_{ji}).
Lire une matrice symétrique

Une matrice symétrique vérifie A=A^\top : elle est son propre miroir par rapport à la diagonale. C’est la structure la plus fréquente en pratique — toute matrice de variances-covariances, par exemple, est symétrique — et elle jouera un rôle privilégié au chapitre 5 (elle est toujours diagonalisable).

Matrices diagonales et matrice identité

Matrice diagonale, matrice identité

A=(a_{ij})_{n\times n} est diagonale si \forall i\neq j : a_{ij}=0 (seule la diagonale peut être non nulle) — à la fois triangulaire supérieure et inférieure. La matrice identité I_n=(\delta_{ij})_{n\times n}, où \delta_{ij}=1 si i=j et 0 sinon, est la matrice diagonale dont tous les éléments diagonaux valent 1. Elle est neutre pour le produit matriciel : \forall A\in\mathbb{R}^{n\times n} : I_n A = A = A I_n.

Exemple

A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&-1&0\\0&0&5\end{pmatrix} est diagonale (et donc symétrique, triangulaire supérieure et inférieure). I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} vérifie I_3A=AI_3=A.

Rectangulaires, sous-matrices

Matrices lignes, colonnes, sous-matrices

Vecteurs lignes et colonnes

Parmi les matrices de taille quelconque (dites rectangulaires), on distingue les matrices colonnes, de taille n\times 1, et les matrices lignes, de taille 1\times n. Toute ligne ou colonne extraite d’une matrice A en est une sous-matrice.

Des lignes et colonnes aux vecteurs

À toute ligne ou colonne de A, on associe naturellement un vecteur de \mathbb{R}^n. Cela permet de parler d’indépendance linéaire entre les lignes ou les colonnes d’une matrice donnée — une notion centrale pour le rang (chapitre 2) : des colonnes sont linéairement indépendantes si aucune n’est combinaison linéaire des autres.

Application en gestion : lire un tableau de données

Une matrice A\in\mathbb{R}^{n\times m} de dépenses par ménage (n ménages, m postes de consommation) a pour lignes les budgets individuels et pour colonnes les dépenses agrégées par poste sur l’échantillon. Une matrice diagonale de coûts unitaires signifie que chaque input a un coût qui lui est propre, indépendant des quantités des autres inputs — l’hypothèse la plus simple, souvent le point de départ d’un modèle de coûts avant d’introduire des termes croisés (matrice non diagonale).

Synthèse

Ce qu’il faut retenir

L’essentiel du chapitre 1
  • Triangulaire (sup./inf.) : zéros sous/au-dessus de la diagonale ; diagonale : les deux à la fois.
  • Symétrique : A=A^\top ; antisymétrique : A=-A^\top.
  • I_n est neutre pour le produit matriciel.
  • Lignes et colonnes s’identifient à des vecteurs — d’où la notion d’indépendance linéaire entre elles.
Vers le chapitre 2

Comment résumer une matrice carrée par un seul nombre ? La trace et le déterminant répondent à cette question, tandis que le rang généralise l’indépendance linéaire à toute matrice, carrée ou non.

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