Algèbre linéaire

Inversion de matrices carrées

Algèbre linéaire

Chapitre 3 : Inversion de matrices carrées

Auteur·rice

Affiliation

Jaouad Madkour

Faculté d’Économie et de Gestion de Tanger

Date de publication

24 septembre 2026

Avant de commencer

Pourquoi ce chapitre

Pourquoi ce chapitre ?

Dans \mathbb{R}^{n\times n}, I_n joue le rôle du nombre 1 pour le produit matriciel. L’inversion cherche l’équivalent matriciel de « diviser par A » — un outil décisif pour résoudre des systèmes linéaires (chapitre 4) et, en économie, pour quantifier des effets multiplicateurs.

Matrices inversibles

Définition

Matrice inversible

A\in\mathbb{R}^{n\times n} est inversible (ou régulière) s’il existe A^{-1}\in\mathbb{R}^{n\times n} telle que A\,A^{-1} = A^{-1}A = I_n. A^{-1} est alors la matrice inverse de A. Une matrice carrée non nulle n’est pas nécessairement inversible ; on parle de matrice singulière dans le cas contraire.

Propriétés de l’inverse

Si A\in\mathbb{R}^{n\times n} est inversible : (A^{-1})^{-1}=A, \qquad (A^{-1})^\top=(A^\top)^{-1}. Si A,B\in\mathbb{R}^{n\times n} sont inversibles, alors AB l’est aussi et (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} \quad \text{(ordre inversé, comme pour la transposition).}

Caractériser l’inversibilité

Critère d’inversibilité

A\in\mathbb{R}^{n\times n} \text{ est inversible} \iff \det A\neq 0 \iff \operatorname{rg}A=n.

Trois façons de dire la même chose

Ces trois formulations sont équivalentes et se complètent : le déterminant offre un test numérique rapide, le rang une lecture en termes d’indépendance linéaire des lignes ou colonnes. En pratique, calculer \det A est souvent le test le plus direct.

Calcul pratique de l’inverse

Deux méthodes usuelles

On peut déterminer A^{-1} en posant AX=I_n pour une matrice X inconnue et en résolvant le système linéaire obtenu (chapitre 4), ou en exploitant les propriétés du déterminant (matrice des cofacteurs). Pour n=2, une formule explicite existe.

Formule explicite pour n=2

Si A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} et \det A=ad-bc\neq0, alors A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}.

Calcul pratique de l’inverse (suite)

Exemple

A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}, \det A=2-1=1\neq0, donc A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}. On vérifie AA^{-1}=\begin{pmatrix}2-1&-2+2\\1-1&-1+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2.

Application en gestion : la matrice de Leontief

Un modèle entrées-sorties décrit n secteurs dont la production totale X satisfait X=AX+D, où A est la matrice des coefficients techniques (l’élément a_{ij} = quantité du bien i nécessaire pour produire une unité du bien j) et D la demande finale. Si (I_n-A) est inversible, X = (I_n-A)^{-1}D, où (I_n-A)^{-1} est la matrice de Leontief (ou matrice des multiplicateurs) : chacun de ses éléments donne l’effet total — direct et indirect — d’une variation unitaire de demande finale d’un bien sur la production de tous les autres. C’est l’un des exemples les plus classiques de l’algèbre linéaire appliquée à l’économie.

Synthèse

Ce qu’il faut retenir

L’essentiel du chapitre 3

A inversible \iff \exists A^{-1} tel que AA^{-1}=A^{-1}A=I_n.
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} (ordre inversé).
A inversible \iff \det A\neq0 \iff \operatorname{rg}A=n — trois lectures d’une même propriété.
Application phare : la matrice de Leontief (I_n-A)^{-1} en analyse entrées-sorties.

Vers le chapitre 4

L’inversion permet de résoudre directement les systèmes carrés de type Cramer (X=A^{-1}B). Le chapitre 4 généralise à tous les systèmes linéaires, carrés ou non, grâce à la méthode de Gauss.

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