Algèbre linéaire

Systèmes linéaires

Algèbre linéaire

Chapitre 4 : Systèmes linéaires

Auteur·rice

Affiliation

Jaouad Madkour

Faculté d’Économie et de Gestion de Tanger

Date de publication

24 septembre 2026

Avant de commencer

Pourquoi ce chapitre

Pourquoi ce chapitre ?

Un empilement d’équations linéaires modélise des situations très diverses : équilibres de marché à plusieurs biens, bilans comptables, modèles entrées-sorties. Ce chapitre en systématise la résolution — au-delà des seuls systèmes carrés inversibles du chapitre 3.

Définitions et propriétés

Écriture matricielle

Système linéaire

Un système linéaire de n équations à m inconnues s’écrit sous forme matricielle AX=B, où A=(a_{ij})_{n\times m}, B=(b_i)_{n\times1} et X=(x_j)_{m\times1}. Une solution est un vecteur X dont les composantes vérifient simultanément toutes les équations. Le système est dit :

carré si m=n ;
de Cramer si, de plus, A est inversible ;
homogène si B=0.

Existence et multiplicité des solutions

Tout système homogène AX=0 admet au moins la solution nulle.
Si AX=B admet deux solutions distinctes, il en admet une infinité : l’ensemble des solutions est \{X=\tilde X+Y : AY=0\}, où \tilde X est une solution particulière.
En notant [A\!:\!B] la matrice « augmentée » (colonne B accolée à A) : AX=B admet au moins une solution \iff \operatorname{rg}A=\operatorname{rg}[A\!:\!B] ; elle est unique \iff \operatorname{rg}A=\operatorname{rg}[A\!:\!B]=m.

Trois issues possibles, jamais deux

Un système linéaire n’a jamais exactement deux solutions : soit aucune, soit une seule, soit une infinité — conséquence directe de la structure affine de l’ensemble des solutions ci-dessus.

La méthode de Gauss

Principe

Élimination de Gauss

La méthode de Gauss résout AX=B par substitutions successives : à l’étape k, si le coefficient pivot a_{kk}\neq0 (sinon on permute d’abord deux équations), on annule le coefficient de x_k dans toutes les autres équations en leur soustrayant un multiple approprié de l’équation k. Le système obtenu, équivalent au système initial, s’achève lorsque toutes les variables ou équations ont été traitées. À ce stade, chaque équation restante appartient à l’un des trois cas suivants.

Équation sans inconnue : 0=0 (on l’élimine) ou 0=c\neq0 (le système est impossible, inutile de poursuivre).
Équation à une seule inconnue x_i : sa valeur est immédiatement donnée.
Équation à plusieurs inconnues : le système est indéterminé ; on exprime x_i en fonction des autres (traitées comme des paramètres).

Gauss calcule aussi le rang

Moyennant une éventuelle permutation de colonnes (qui ne change pas le rang), la méthode de Gauss ramène toute matrice à une forme triangulaire par blocs dont le nombre de « pivots » non nuls est précisément \operatorname{rg}A — un sous-produit précieux de la méthode.

Principe (suite)

Exemple

\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\x+2y-z=2\end{cases}. En éliminant x (L2\leftarrowL2-2L1, L3\leftarrowL3-L1) : \begin{cases}x+y+z=6\\-3y-z=-9\\y-2z=-4\end{cases}, puis en éliminant y (L3\leftarrowL3+\tfrac13L2) : -\tfrac73z=-\tfrac{21}3\Rightarrow z=3. On remonte : y=-4+2z=2, puis x=6-y-z=1. Solution unique (x,y,z)=(1,2,3).

Application en gestion : équilibre simultané de plusieurs marchés

Trois biens aux prix p_1,p_2,p_3 ont des demandes et offres linéaires dépendant les unes des autres (biens substituts ou complémentaires). L’équilibre simultané (D_i=O_i pour i=1,2,3) se ramène à un système linéaire AP=B où A contient les coefficients croisés de prix. Si le système est de Cramer, P^*=A^{-1}B donne directement les prix d’équilibre (chapitre 3) ; sinon, la méthode de Gauss reste applicable et révèle, le cas échéant, une indétermination — signe que l’un des marchés est redondant avec les autres (rang déficient).

Synthèse

Ce qu’il faut retenir

L’essentiel du chapitre 4

AX=B : existence \iff \operatorname{rg}A=\operatorname{rg}[A\!:\!B] ; unicité si, en plus, ce rang commun vaut m.
Un système homogène a toujours la solution nulle ; s’il en a une autre, il en a une infinité.
La méthode de Gauss résout tout système, quelle que soit sa taille, et calcule au passage le rang de A.

Vers le chapitre 5

La méthode de Gauss « annule » des éléments par transformations successives. Pousser cette logique jusqu’à obtenir une matrice diagonale semblable à une matrice carrée donnée est l’objet du chapitre 5 : la diagonalisation.

← Chapitre précédentInversion de matrices carrées Chapitre suivant →Diagonalisation des matrices carrées