Algèbre linéaire
Diagonalisation des matrices carrées
Algèbre linéaire
Chapitre 5 : Diagonalisation des matrices carrées
Avant de commencer
Pourquoi ce chapitre
Pourquoi ce chapitre ?
Un système linéaire carré AX=B où A est diagonale se résout trivialement, équation par équation. La diagonalisation cherche à ramener une matrice carrée quelconque à cette forme simple — un outil crucial pour l’optimisation à plusieurs variables (chapitre suivant) et pour découpler des dynamiques économiques couplées.
Valeurs et vecteurs propres
Matrices semblables et diagonalisables
Matrices semblables, matrice diagonalisable
A,B\in\mathbb{R}^{n\times n} sont semblables s’il existe H\in\mathbb{R}^{n\times n} inversible telle que B=H^{-1}AH ; H est alors la matrice de passage. A est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale.
Vecteur propre, valeur propre
X\neq0 est un vecteur propre de A associé à la valeur propre \lambda\in\mathbb{R} si AX=\lambda X.
Matrices semblables et diagonalisables (suite)
L’action de A le long d’un vecteur propre
Un vecteur propre est une direction que A ne fait que dilater (ou contracter, ou inverser) d’un facteur \lambda, sans la faire pivoter. Diagonaliser A, c’est trouver une base entière formée de telles directions privilégiées.
Matrices semblables et diagonalisables (suite 2)
Le spectre d’une matrice
Spectre
\lambda\in\mathbb{R} est valeur propre de A \iff \det(A-\lambda I_n)=0. Le polynôme \det(A-\lambda I_n), de degré n, est le polynôme caractéristique de A ; l’équation \det(A-\lambda I_n)=0 est son équation caractéristique. L’ensemble de ses solutions complexes est le spectre de A, noté S_A. La multiplicité algébrique d’une valeur propre est sa multiplicité comme racine de cette équation.
Propriétés du spectre
- A et A^\top ont le même spectre.
- Si A est inversible, 0 n’est pas valeur propre de A, et \lambda^{-1} est valeur propre de A^{-1} pour toute valeur propre réelle \lambda de A.
- Des matrices semblables ont toutes le même spectre.
La diagonalisabilité
Conditions nécessaires et suffisantes
Cas des matrices diagonales et symétriques
Les valeurs propres d’une matrice diagonale sont exactement ses éléments diagonaux. Toute matrice symétrique est diagonalisable — un résultat qui sera central au chapitre 6.
Conditions de diagonalisabilité
- Condition nécessaire : si A est diagonalisable, toutes ses valeurs propres sont réelles.
- Condition suffisante : si le spectre de A comporte n valeurs propres réelles distinctes, A est diagonalisable.
- Condition nécessaire et suffisante (cas général) : A est diagonalisable \iff toutes ses valeurs propres sont réelles et, pour toute valeur propre \lambda de multiplicité algébrique m_\lambda\ge2, le système AX=\lambda X admet une infinité de solutions à m_\lambda paramètres (la dimension de l’espace propre égale la multiplicité algébrique).
Conditions nécessaires et suffisantes (suite)
La méthode en trois étapes
- Calculer le spectre (racines de \det(A-\lambda I_n)=0).
- Si une valeur propre est complexe non réelle : pas diagonalisable. Si toutes sont réelles et distinctes : diagonalisable.
- Sinon, pour chaque valeur propre de multiplicité \ge2, comparer la dimension de l’espace des solutions de AX=\lambda X à sa multiplicité algébrique.
Si A est diagonalisable, la matrice diagonale semblable s’obtient en plaçant simplement les valeurs propres sur la diagonale (avec répétition).
Exemple : un cas diagonalisable
A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&3&1\\0&1&3\end{pmatrix} (symétrique). Le bloc \begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix} a pour valeurs propres 2 et 4 (trace 6, déterminant 8). Le spectre de A est donc \{2,2,4\} : \lambda=2 a une multiplicité algébrique 2, et son espace propre — engendré par (1,0,0)^\top et (0,1,-1)^\top — est bien de dimension 2. A est diagonalisable, semblable à \operatorname{diag}(2,2,4).
Conditions nécessaires et suffisantes (suite 2)
Exemple : un cas non diagonalisable
A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix} a pour unique valeur propre \lambda=2, de multiplicité algébrique 2. Mais AX=2X \iff \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}X=0 \iff y=0 : l’espace propre, engendré par (1,0)^\top seul, est de dimension 1 — inférieure à la multiplicité algébrique. A n’est pas diagonalisable.
Application en gestion : découpler une dynamique de prix
Les prix de n actifs liés, p_t=(p_{1,t},\dots,p_{n,t})^\top, évoluent selon p_t = A\,\hat p_{t+1}+\varepsilon_t, où \hat p_{t+1} regroupe les anticipations et A est symétrique — donc diagonalisable : A=H^{-1}DH, D diagonale. En posant \tilde p_t=Hp_t, le système devient \tilde p_t = D\hat{\tilde p}_{t+1}+\tilde\varepsilon_t : chaque composante \tilde p_{i,t}=d_i\hat{\tilde p}_{i,t+1}+\tilde\varepsilon_{i,t} évolue indépendamment des autres. La diagonalisation transforme ainsi n prix couplés en n dynamiques univariées indépendantes — un principe identique à l’analyse en composantes principales.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
L’essentiel du chapitre 5
- AX=\lambda X (X\neq0) : X vecteur propre, \lambda valeur propre ; \lambda est racine de \det(A-\lambda I_n)=0.
- Toute matrice symétrique est diagonalisable ; n valeurs propres réelles distinctes \Rightarrow diagonalisable.
- Cas général : diagonalisable \iff valeurs propres réelles et, pour chacune, dimension de l’espace propre = multiplicité algébrique.
Vers le chapitre 6
Les valeurs propres d’une matrice symétrique permettent de trancher, en un clin d’œil, le signe de la forme quadratique qu’elle définit — l’outil déterminant pour classer les points critiques en optimisation à plusieurs variables.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)