Économétrie spatiale

Le modèle à erreurs spatiales (SEM)

Chapitre 4 : Le modèle à erreurs spatiales (SEM)

Auteur·rice

Affiliation

Jaouad Madkour

Faculté d’Économie et de Gestion de Tanger

Date de publication

25 septembre 2026

Quand la dépendance loge dans l’erreur

L’écriture du modèle

Modèle à erreurs spatiales (SEM)

y = X\beta + u, \qquad u = \lambda Wu + \varepsilon La variable expliquée y ne contient ici aucun terme spatial explicite : toute la dépendance est reportée sur le terme d’erreur composite u, lui-même autorégressif spatial de paramètre \lambda.

Ce que ce modèle raconte économiquement

Le SEM convient lorsque la dépendance observée n’est pas un mécanisme économique réel entre unités, mais l’empreinte d’une variable omise elle-même corrélée dans l’espace — qualité des sols pour des exploitations agricoles voisines, climat local pour des rendements agricoles, ou politique préfectorale partagée pour des indicateurs communaux. Rien ne se propage véritablement d’une unité à l’autre ; un même facteur non observé les affecte simplement de façon corrélée.

Pourquoi les MCO restent sans biais ici

Une différence essentielle avec le SAR

Absence de simultanéité

Contrairement au modèle SAR du chapitre 3, X demeure ici exogène : aucun terme en Wy ne figure au membre de droite. Les MCO appliqués à y=X\beta+u restent donc sans biais et convergents.

Mais inefficaces, et mal inférés

La matrice de variance-covariance de u n’est plus \sigma^2 I : les MCO ignorent cette structure et perdent en efficacité, exactement comme en présence d’hétéroscédasticité (chapitre 7) ou d’autocorrélation temporelle (chapitre 11). Pire, les écarts-types usuels des MCO sont biaisés, le plus souvent vers le bas : on croit un coefficient significatif alors qu’il ne l’est pas.

Estimer le modèle correctement

Le maximum de vraisemblance

Estimation par ML

La transformation u=(I-\lambda W)^{-1}\varepsilon donne, comme au chapitre 3, une vraisemblance avec jacobien |I-\lambda W|. La maximisation numérique fournit \hat\lambda et \hat\beta convergents et efficaces sous normalité.

L’estimateur des moments généralisés

GM / GS2SLS (Kelejian-Prucha)

Alternative au ML : estimer \beta par MCO d’abord (convergent, rappelons-le, mais inefficace), récupérer les résidus, puis estimer \lambda à partir de trois moments empiriques liant les résidus à leurs décalages spatiaux. On reconstruit ensuite une estimation par MCG faisable, dans l’esprit de la correction de Cochrane-Orcutt du chapitre 11 — mais appliquée ici à une corrélation spatiale plutôt que temporelle.

Le parallèle avec les MCG faisables en temporel

La logique est rigoureusement la même qu’au chapitre 11 : on ne connaît pas le paramètre d’autocorrélation (\phi alors, \lambda ici), on l’estime à partir des résidus MCO, puis on transforme les données pour retrouver des erreurs proches de l’homoscédasticité et de la non-corrélation. Seule change la nature du décalage — temporel là-bas, spatial ici.

Une confusion à éviter absolument

SAR et SEM ne répondent pas à la même question

Deux diagnostics, deux lectures économiques

	SAR	SEM
Où loge \rho ou \lambda	dans y	dans l’erreur
MCO sur le modèle naïf	biaisés	non biaisés, inefficaces
Lecture économique	spillover réel entre unités	facteur omis corrélé dans l’espace
Multiplicateur spatial	oui, sur X et sur les chocs	non : \lambda ne modifie aucun effet marginal

Pourquoi la ligne des effets marginaux compte tant

Dans un SEM correctement estimé, une hausse de 1 unité de x_k dans la région i n’affecte que y_i : le coefficient \beta_k s’interprète normalement, exactement comme en MCO. Dans un SAR, la même hausse se propage à toutes les autres régions via le multiplicateur spatial — \beta_k seul ne suffit alors plus à décrire l’effet total, question que le chapitre 6 traite en détail.

Synthèse

Ce qu’il faut retenir

Synthèse du chapitre

Le modèle SEM loge la dépendance spatiale dans le terme d’erreur plutôt que dans y : les MCO restent sans biais mais deviennent inefficaces, avec des écarts-types faussés. Le ML ou l’estimateur des moments généralisés de Kelejian-Prucha restaurent l’efficacité, sur un principe proche des MCG faisables déjà vus en séries temporelles. Contrairement au SAR, le SEM ne modifie jamais l’interprétation des coefficients de X : il ne corrige que l’inférence. Le chapitre 5 réunit SAR et SEM, et affronte la question qu’on ne pouvait plus reporter : comment choisir entre les deux à partir des données ?

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