Économétrie spatiale
La matrice de pondération spatiale
- Présentation du cours
- Pourquoi l'espace compte en économétrie
- La matrice de pondération spatiale
- Détecter la dépendance spatiale (Moran, Geary, LISA)
- Le modèle autorégressif spatial (SAR)
- Le modèle à erreurs spatiales (SEM)
- Modèles généraux et choix de spécification (SDM, SAC, tests LM)
- Effets directs, indirects et totaux
- Panels spatiaux
- Applications, régression géographiquement pondérée et limites (MAUP)
- Bilan du cours
Économétrie spatiale
Chapitre 1 : La matrice de pondération spatiale
Formaliser le voisinage
L’outil central de tout le cours
La matrice de pondération spatiale W est une matrice carrée n \times n, où n est le nombre d’unités géographiques observées. Son élément w_{ij} mesure l’intensité du lien spatial entre l’unité i et l’unité j. Par convention, w_{ii} = 0 : une unité n’est jamais sa propre voisine.
W transforme une notion floue — « être proche » — en un objet manipulable algébriquement. Une fois W fixée, toute la suite du cours en découle : le test de dépendance spatiale du chapitre 2, le modèle SAR du chapitre 3, le modèle SEM du chapitre 4 s’écrivent tous à partir de W.
Trois familles de critères
La contiguïté
La contiguïté de type tour (rook) relie deux unités si elles partagent une frontière commune non réduite à un point. La contiguïté de type reine (queen) ajoute les unités qui ne se touchent qu’en un coin. w_{ij} = 1 si i et j sont contiguës selon le critère retenu, 0 sinon.
Quatre régions disposées en carré : A et B côte à côte au nord, C et D côte à côte au sud, A au-dessus de C, B au-dessus de D. En contiguïté tour, A est voisine de B et de C, mais pas de D (elles ne partagent qu’un coin). En contiguïté reine, A est voisine des trois autres régions à la fois.
La distance
w_{ij} = 1/d_{ij}^{\alpha}, où d_{ij} est la distance entre les centroïdes de i et j, et \alpha > 0 règle la vitesse de décroissance de l’influence. Une variante à seuil (distance-band) pose w_{ij}=1 si d_{ij} est inférieure à un seuil fixé, 0 au-delà.
\alpha = 1 donne une décroissance lente : des régions très éloignées gardent un poids non négligeable. \alpha = 2 (décroissance en carré inverse, à l’image de la gravitation) éteint plus vite l’influence lointaine. Aucun choix n’est neutre : il engage une hypothèse économique sur la portée réelle du phénomène étudié.
Les k plus proches voisins
w_{ij} = 1 si j fait partie des k unités les plus proches de i, 0 sinon. Contrairement aux deux critères précédents, cette matrice n’est pas nécessairement symétrique : j peut être un proche voisin de i sans que la réciproque soit vraie dans un semis de points irrégulier.
Il garantit à chaque unité un nombre fixe de voisins, ce qui évite le problème des « îles » — des unités isolées qui n’auraient aucun voisin sous un critère de distance trop strict, ou de contiguïté si elles ne touchent aucune autre unité. C’est le choix par défaut pour des points (villes, entreprises) plutôt que des polygones (régions administratives).
La standardisation en ligne
Transformer W pour l’interpréter comme une moyenne
w^*_{ij} = \frac{w_{ij}}{\sum_{k} w_{ik}} Chaque ligne de W^* somme à un. Le produit W^*y donne alors, pour chaque unité, la moyenne pondérée de la variable y chez ses voisines — une quantité directement interprétable.
Avec la contiguïté reine, A a trois voisines (B, C, D), chacune pondérée 1/3 après standardisation. Si les taux de chômage sont y_B = 8, y_C = 10, y_D = 6, le décalage spatial (spatial lag) associé à A vaut (Wy)_A = \tfrac13 \times 8 + \tfrac13 \times 10 + \tfrac13 \times 6 = 8.
(Wy)_A = 8 signifie : « le taux de chômage moyen chez les voisines de A est de 8 % ». Cette quantité, notée Wy, est l’ingrédient qui apparaît explicitement au membre de droite du modèle SAR étudié au chapitre 3.
Un choix qui engage la suite
W n’est jamais neutre
W doit être fixée avant l’estimation, à partir d’une information exogène — géographie, distance physique — et non à partir d’une variable économique corrélée avec y, sous peine de confondre artificiellement dépendance spatiale et simple corrélation entre régresseurs. Choisir W à partir des échanges commerciaux observés entre régions pour expliquer leur PIB, par exemple, mélange la cause et la conséquence.
En pratique, on estime souvent le même modèle avec plusieurs matrices W plausibles (contiguïté, distance à différents seuils, k plus proches voisins pour plusieurs valeurs de k) et l’on vérifie que les conclusions qualitatives résistent au changement de spécification. Une conclusion qui ne survit qu’à un seul choix de W est fragile.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
W formalise le voisinage à partir de trois familles de critères — contiguïté, distance, k plus proches voisins — et sa version standardisée en ligne transforme Wy en une moyenne interprétable chez les voisins. Ce choix, fait en amont et sur une base exogène, conditionne toute l’analyse qui suit. Le chapitre 2 s’en sert pour construire le premier outil de diagnostic : l’indice de Moran.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)