Économétrie spatiale

Effets directs, indirects et totaux

Chapitre 6 : Effets directs, indirects et totaux

Auteur·rice

Affiliation

Jaouad Madkour

Faculté d’Économie et de Gestion de Tanger

Date de publication

25 septembre 2026

Un piège d’interprétation

\beta_k n’est plus un effet marginal

Pourquoi ce chapitre

En MCO, \partial y_i/\partial x_{ik} = \beta_k : simple, direct, sans ambiguïté. Dans un modèle SAR ou SDM, cette lecture devient fausse. Ignorer ce fait — ce que beaucoup de travaux appliqués ont longtemps fait — conduit à des interprétations économiques erronées, alertées par LeSage et Pace (2009) dans un article qui a changé les pratiques du champ.

D’où vient le problème

La forme réduite révèle la vraie dérivée

Pour un SDM, y=(I-\rho W)^{-1}(X\beta+WX\theta+\varepsilon). La dérivée de y par rapport à x_k n’est plus un scalaire mais une matrice n\times n : S_k(W) = (I-\rho W)^{-1}(I\beta_k + W\theta_k)

Trois effets, une seule matrice

Décomposer S_k(W)

Effet direct, indirect, total

L’effet direct est la moyenne des éléments diagonaux de S_k(W) : l’effet d’une hausse de x_{ik} sur y_i elle-même, boucle de rétroaction comprise. L’effet indirect (spillover) est la moyenne des sommes des éléments hors diagonale : l’effet d’une hausse de x_{ik} sur l’ensemble des autres y_j. L’effet total est leur somme.

Pourquoi l’effet direct diffère déjà de \beta_k

Même sans terme WX (\theta=0, modèle SAR pur), l’effet direct n’est pas \beta_k mais légèrement supérieur en valeur absolue : une hausse de x_{ik} élève y_i, qui élève y_j chez les voisins via \rho, qui élève à son tour un peu y_i en retour via le même \rho. Cette boucle de rétroaction gonfle l’effet direct au-delà du simple \beta_k.

Un calcul illustré

SAR pur sur les quatre régions du chapitre 1

Avec \rho=0.3, \beta_k=2 et W standardisée en ligne, S_k(W) = 2(I-0.3W)^{-1}. Les éléments diagonaux valent chacun légèrement plus de 2 (effet direct), et les éléments hors diagonale, non nuls, se répartissent l’effet indirect entre les trois autres régions. La somme de tous les éléments d’une colonne, divisée par n, donne l’effet total moyen — supérieur à \beta_k=2.

Une conséquence pour l’évaluation de politiques publiques

Une subvention régionale ciblée qui ignore les effets indirects sous-estime systématiquement son impact réel si elle génère des retombées positives chez les voisines (effet de démonstration, sous-traitance locale), ou le surestime si elle en détourne l’activité (concurrence fiscale, délocalisation d’activité). Le chiffrage correct exige de calculer les trois effets, pas seulement \beta_k.

L’alternative plus simple : le modèle SLX

Quand les spillovers restent locaux

Spatial Lag of X (SLX)

y = X\beta + WX\theta + \varepsilon Sans terme \rho Wy, ce modèle s’estime par MCO ordinaires (pas d’endogénéité) et ses effets sont directement interprétables : \beta_k est l’effet direct, \theta_k l’effet indirect limité aux voisins immédiats, sans propagation en cercles concentriques.

Spillovers globaux contre spillovers locaux

SAR et SDM produisent des spillovers globaux : via le multiplicateur (I-\rho W)^{-1}, un choc atteint en principe toutes les unités du système, avec un poids qui décroît mais ne s’annule jamais. Le SLX produit des spillovers strictement locaux : seuls les voisins immédiats sont affectés, sans rétroaction. Le choix entre les deux est une hypothèse économique sur la portée réelle du phénomène, pas un simple détail technique.

Pourquoi le SLX gagne du terrain en pratique

Plus simple à estimer, à interpréter et à défendre devant un public non spécialiste, le SLX est de plus en plus recommandé comme point de départ, sauf si la théorie économique sous-jacente justifie explicitement une rétroaction bouclée — cas typique de la concurrence fiscale stratégique entre collectivités, où chaque décision réagit explicitement à celle des voisines.

Synthèse

Ce qu’il faut retenir

Synthèse du chapitre

Dans un modèle SAR ou SDM, \beta_k n’est plus l’effet marginal complet : il faut calculer séparément l’effet direct (avec rétroaction), l’effet indirect (spillover) et l’effet total, à partir de la matrice S_k(W). Le modèle SLX, plus simple, produit des spillovers strictement locaux et directement interprétables, sans ce piège. Le chapitre 7 étend l’ensemble de cette boîte à outils — SAR, SEM, SDM — aux données de panel.

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