Économétrie spatiale

Modèles généraux et choix de spécification (SDM, SAC, tests LM)

Chapitre 5 : Modèles généraux et choix de spécification

Auteur·rice

Affiliation

Jaouad Madkour

Faculté d’Économie et de Gestion de Tanger

Date de publication

25 septembre 2026

Réunir SAR et SEM

Le modèle de Durbin spatial

Spatial Durbin Model (SDM)

y = \rho Wy + X\beta + WX\theta + \varepsilon Le SDM ajoute au SAR les régresseurs décalés spatialement WX, avec leur propre vecteur de coefficients \theta. Il contient le SAR comme cas particulier (\theta=0) et une version restreinte du SEM comme autre cas particulier.

Pourquoi ce modèle mérite d’être le point de départ

Le SDM répond à une objection naturelle : pourquoi les voisines influenceraient-elles y_i uniquement via Wy, et jamais via leurs propres caractéristiques observées X_j ? En incluant WX, le SDM laisse les données trancher si cette influence directe existe, plutôt que de l’exclure par hypothèse.

Le modèle combiné SAC/SARAR

SAC ou SARAR

y = \rho Wy + X\beta + u, \qquad u = \lambda Wu + \varepsilon Ce modèle superpose un lag spatial dans y et une erreur autorégressive spatiale, avec potentiellement deux matrices de pondération différentes (W_1 pour le lag, W_2 pour l’erreur).

Le prix de cette généralité

Plus le modèle est général, plus il est difficile à estimer (identification plus fragile, calcul plus lourd) et plus les résultats deviennent sensibles à la spécification exacte de W_1 et W_2. La généralité n’est jamais gratuite : elle s’achète en puissance statistique et en robustesse d’estimation.

L’hypothèse du facteur commun

Un test qui relie SDM et SEM

Restriction du facteur commun

Le SEM peut se réécrire comme un SDM sous la contrainte non linéaire \theta = -\rho\beta. Un test du rapport de vraisemblance de cette restriction indique si les données sont compatibles avec un simple SEM, ou exigent la généralité complète du SDM.

Ce que rejeter cette restriction signifie

Rejeter la restriction du facteur commun signifie que les voisines comptent pour des raisons qui ne se réduisent pas à une simple corrélation d’erreurs : leurs caractéristiques X_j ont un effet propre sur y_i, distinct de tout artefact statistique. C’est un argument fort en faveur du SDM plutôt que du SEM.

La stratégie des multiplicateurs de Lagrange

Choisir sans estimer tous les modèles

LM-lag et LM-error (Anselin, 1988)

Deux tests de Lagrange, calculables à partir des seuls résidus MCO du modèle sans dépendance spatiale : LM_\rho teste H_0: \rho=0 contre un SAR, LM_\lambda teste H_0: \lambda=0 contre un SEM. Aucun des deux n’exige d’estimer le modèle spatial complet.

Le piège des tests non robustes

Un SAR mal spécifié comme SEM (ou l’inverse) contamine les deux tests : LM_\rho peut rejeter à tort simplement parce qu’une dépendance de type SEM est présente, et réciproquement. D’où les versions robustes LM_\rho^* et LM_\lambda^*, corrigées pour rester valides même en présence de l’autre type de dépendance.

L’arbre de décision usuel

La procédure d’Anselin et Florax

Estimer le modèle par MCO, calculer LM_\rho et LM_\lambda. Si aucun n’est significatif, les MCO suffisent. Si un seul l’est, retenir le modèle correspondant (SAR ou SEM). Si les deux le sont, examiner les versions robustes LM_\rho^* et LM_\lambda^* : celle qui reste significative désigne le modèle à privilégier ; si les deux robustes restent significatives, le SAC/SARAR s’impose.

Une philosophie concurrente : partir du général

Elhorst recommande une démarche inverse : partir du SDM le plus général, puis tester s’il se réduit à un SAR (\theta=0) ou à un SEM (restriction du facteur commun). Cette approche « du général au particulier » évite le risque, propre à la démarche ascendante d’Anselin, de rester bloqué sur un modèle trop restreint faute d’avoir testé l’alternative la plus large.

Ce que la pratique retient des deux approches

Aucune des deux démarches n’est unanimement supérieure : la stratégie ascendante est plus simple et suffit souvent en présence de peu de régresseurs ; la stratégie descendante est plus prudente mais plus coûteuse en calcul et en degrés de liberté. La plupart des travaux appliqués sérieux rapportent aujourd’hui les deux et vérifient leur convergence.

Synthèse

Ce qu’il faut retenir

Synthèse du chapitre

Le SDM et le SAC/SARAR généralisent SAR et SEM en autorisant plusieurs mécanismes de dépendance à la fois. La restriction du facteur commun relie formellement SDM et SEM. La stratégie des multiplicateurs de Lagrange, en versions simples puis robustes, permet de choisir une spécification sans estimer tous les modèles candidats — une démarche ascendante que la démarche descendante d’Elhorst vient utilement compléter. Le chapitre 6 s’attaque à présent à une question restée en suspens depuis le chapitre 3 : comment interpréter correctement un coefficient une fois le modèle spatial choisi.

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