Recherche opérationnelle
Gestion des stocks et files d’attente
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- Modéliser un problème de décision
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- L'ordonnancement de projet
- La programmation en nombres entiers
- Gestion des stocks et files d'attente
Recherche opérationnelle
Chapitre 15 : Gestion des stocks et files d’attente
Le dilemme du stock
Deux coûts qui s’opposent
Le compromis
Commander souvent : peu de stock à porter, mais des frais de lancement répétés.
Commander rarement : peu de commandes, mais un stock moyen élevé à financer et à entreposer.
Les notations
D la demande annuelle, C_\ell le coût d’une commande, C_p le coût de possession d’une unité pendant un an, Q la quantité commandée à chaque fois.
La fonction de coût
Le coût total annuel
C(Q) \;=\; \underbrace{\frac{D}{Q}\,C_\ell}_{\text{lancement}} \;+\; \underbrace{\frac{Q}{2}\,C_p}_{\text{possession}}
Lire les deux termes
D/Q est le nombre de commandes dans l’année : il décroît quand Q croît.
Q/2 est le stock moyen : le stock passe linéairement de Q à 0, sa moyenne vaut la moitié.
La formule de Wilson
Le minimum
\frac{dC}{dQ} = -\frac{D\,C_\ell}{Q^2} + \frac{C_p}{2} = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad Q^* = \sqrt{\frac{2\,D\,C_\ell}{C_p}}
Sans dérivée
Le coût total est minimal quand les deux termes sont égaux :
\frac{D}{Q}C_\ell = \frac{Q}{2}C_p \quad\Longrightarrow\quad Q^2 = \frac{2DC_\ell}{C_p}
C’est la même équation, obtenue sans calcul différentiel.
L’exemple
Un distributeur
D = 10\,000 unités par an, C_\ell = 200 DH, C_p = 4 DH par unité et par an.
Q^* = \sqrt{\frac{2 \times 10\,000 \times 200}{4}} = \sqrt{1\,000\,000} = \mathbf{1\,000 \text{ unites}}
Vérification de l’égalité des deux coûts
Lancement : \dfrac{10\,000}{1\,000} \times 200 = 2\,000 DH.
Possession : \dfrac{1\,000}{2} \times 4 = 2\,000 DH.
Coût total : 4\,000 DH par an, pour dix commandes.
La robustesse de la formule
Ce que coûte une erreur de quantité
| Q | Lancement | Possession | Total |
|---|---|---|---|
| 700 | 2\,857 | 1\,400 | 4\,257 |
| 1\,000 | 2\,000 | 2\,000 | \mathbf{4\,000} |
| 1\,400 | 1\,429 | 2\,800 | 4\,229 |
Une propriété remarquable
Se tromper de 40\,\% sur la quantité coûte moins de 7\,\% sur le total.
La formule de Wilson est très plate autour de son minimum : il n’est pas grave de commander par palettes rondes plutôt qu’à l’unité près.
Les files d’attente
Le vocabulaire
La notation de Kendall
A / B / c
A la loi des arrivées, B celle des services, c le nombre de serveurs. M désigne la loi exponentielle — sans mémoire.
Les deux taux
\lambda le nombre moyen d’arrivées par unité de temps, \mu le nombre moyen de clients qu’un serveur traite.
Le taux d’occupation vaut \rho = \lambda / \mu, et il faut \rho < 1 pour que la file ne diverge pas.
Les formules du M/M/1
Les quatre grandeurs
L = \frac{\rho}{1-\rho} \qquad L_q = \frac{\rho^2}{1-\rho}
W = \frac{1}{\mu - \lambda} \qquad W_q = \frac{\rho}{\mu - \lambda}
L dans le système, L_q dans la file ; W et W_q sont les temps correspondants.
La loi de Little
L = \lambda W
Le nombre moyen de clients présents est le produit du débit par le temps passé. Elle vaut pour toute file stable, quelles que soient les lois — c’est un résultat d’une généralité rare.
L’exemple du guichet
Une agence
\lambda = 8 clients par heure, \mu = 10. Donc \rho = 0{,}8.
L = \frac{0{,}8}{0{,}2} = 4 \text{ clients} \qquad W = \frac{1}{10-8} = 0{,}5 \text{ h} = 30 \text{ min}
Si l’on accélère le service
Avec \mu = 12 : \rho = 0{,}667, L = 2 clients, W = 15 minutes.
Vingt pour cent de service en plus divisent l’attente par deux.
La non-linéarité de l’attente
L’attente selon le taux d’occupation
| \rho | L | W (si \mu = 10) |
|---|---|---|
| 0{,}50 | 1{,}0 | 12 min |
| 0{,}80 | 4{,}0 | 30 min |
| 0{,}90 | 9{,}0 | 60 min |
| 0{,}95 | 19{,}0 | 120 min |
La leçon de gestion, contre-intuitive
Un guichet occupé à 95\,\% paraît bien géré : il ne chôme presque jamais.
Mais l’attente y est dix fois plus longue qu’à 50\,\%. Viser le plein emploi d’un serveur, c’est condamner les clients à attendre — et c’est pourquoi les hôpitaux et les aéroports dimensionnent volontairement en surcapacité.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Six points
- Le coût de stock oppose lancement et possession.
- L’optimum de Wilson égalise les deux : Q^* = \sqrt{2DC_\ell / C_p}.
- Sur l’exemple : Q^* = 1\,000, dix commandes, 4\,000 DH par an.
- La courbe est très plate : 40\,\% d’erreur coûte moins de 7\,\%.
- Loi de Little : L = \lambda W, vraie pour toute file stable.
- L’attente explose quand \rho approche 1 : la surcapacité est un choix rationnel.
Pour finir
Seize chapitres, une seule démarche : formuler, résoudre, interpréter, tester la robustesse.
Le modèle ne décide jamais. Il chiffre ce que coûte chaque décision — et c’est déjà beaucoup.
Ressources du chapitre
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