Recherche opérationnelle
L’analyse de sensibilité
- Présentation du cours
- Qu'est-ce que la recherche opérationnelle
- Modéliser un problème de décision
- Le programme linéaire et ses formes
- La résolution graphique
- Le simplexe, la méthode
- Le simplexe, les cas particuliers
- La dualité
- L'analyse de sensibilité
- Le problème de transport
- Le problème d'affectation
- Les graphes, vocabulaire et représentation
- Le plus court chemin
- Le flot maximal
- L'ordonnancement de projet
- La programmation en nombres entiers
- Gestion des stocks et files d'attente
Recherche opérationnelle
Chapitre 7 : L’analyse de sensibilité
La solution ne suffit pas
Le problème des données
Ce qu’on a supposé
Le modèle traite 30, 25, 100 et 80 comme des nombres exacts.
Ils sont estimés : la marge dépend du prix du cuir, les heures dépendent de l’absentéisme.
La bonne question
Non pas « quelle est la solution ? » mais « de combien les données peuvent-elles changer avant que la solution ne change ? »
Un optimum valable sur un large intervalle est utilisable ; un optimum valable à 1\,\% près ne l’est pas.
Faire varier un second membre
L’intervalle de validité du prix dual
Ce qui doit rester vrai
Quand b_i change, la base reste optimale tant que toutes les variables de base restent positives.
Au-delà, un sommet différent devient optimal, et le prix dual change.
Les heures de découpe
Si la découpe passe de 100 à 100 + \Delta, le tableau final donne
x = 20 + \Delta, \qquad y = 60 - \Delta
Positivité : \Delta \geq -20 et \Delta \leq 60, soit b_1 \in [\,80\,;\,160\,].
La vérification aux bornes
Aux deux extrémités
| b_1 | x | y | Z |
|---|---|---|---|
| 80 | 0 | 80 | 2\,000 |
| 100 | 20 | 60 | 2\,100 |
| 160 | 80 | 0 | 2\,400 |
2\,400 - 2\,100 = 300 = 5 \times 60 : le prix dual de 5 DH tient sur tout l’intervalle.
La décision qui en découle
On peut acheter jusqu’à soixante heures de découpe supplémentaires à moins de 5 DH l’heure, et y gagner.
La soixante et unième ne rapporte plus rien : au-delà de 160 heures, c’est la couture qui bloque seule.
La couture
Le même calcul
Si la couture passe à 80 + \Delta : x = 20 - \Delta et y = 60 + 2\Delta.
Positivité : \Delta \leq 20 et \Delta \geq -30, soit b_2 \in [\,50\,;\,100\,].
La comparaison des deux ressources
La couture vaut 20 DH l’heure, mais seulement jusqu’à 100 heures — vingt heures de marge.
La découpe ne vaut que 5 DH, mais sur soixante heures. Le gain total possible est de 400 DH d’un côté, 300 de l’autre.
Varier un coefficient
Le principe
Ce qui doit rester vrai
Quand c_j change, la solution reste optimale tant que tous les coûts réduits restent négatifs ou nuls.
Géométriquement : tant que la pente de l’objectif reste entre celles des deux contraintes actives.
La marge du sac A
Elle vaut 30. En la faisant varier de \delta, les coûts réduits deviennent
-5 - \delta \leq 0 \quad\text{et}\quad -20 + \delta \leq 0 \qquad\Longrightarrow\qquad -5 \leq \delta \leq 20
Soit c_1 \in [\,25\,;\,50\,].
L’interprétation géométrique
Les deux bornes, sur le dessin
À c_1 = 50, la pente de l’objectif vaut -50/25 = -2 : celle de la découpe. Le segment (20,60)–(50,0) devient tout entier optimal.
À c_1 = 25, la pente vaut -1 : celle de la couture. C’est le segment (20,60)–(0,80).
Le lien avec le chapitre 5
Les bornes de l’intervalle de sensibilité sont exactement les valeurs qui produisent un optimum multiple.
Ce n’est pas une coïncidence : c’est le moment où un sommet voisin rattrape le sommet courant.
Le sac B
Le même calcul
-5 + \delta \leq 0 \quad\text{et}\quad -20 - 2\delta \leq 0 \qquad\Longrightarrow\qquad -10 \leq \delta \leq 5
Soit c_2 \in [\,15\,;\,30\,].
La lecture de gestion
La marge du sac A peut chuter de 30 à 25 DH — une baisse de 17\,\% — sans qu’il faille changer le plan de production.
Le plan est robuste. C’est cette phrase, et non le nombre 2\,100, que le directeur attend.
Ajouter variable ou contrainte
Un nouveau produit
Faut-il le lancer ?
Un sac C demanderait 3 h de découpe, 2 h de couture, pour une marge de 40 DH.
Son coût d’opportunité aux prix duaux vaut 3(5) + 2(20) = 55 \;>\; 40
La réponse, sans recalculer
Le sac C consomme pour 55 DH de ressources et n’en rapporte que 40 : il n’est pas rentable.
Les prix duaux permettent de trancher sur un produit nouveau sans relancer le simplexe. C’est leur usage le plus courant en entreprise.
Une nouvelle contrainte
La règle
Si la solution actuelle la vérifie, elle reste optimale : rien à faire.
Sinon, elle coupe le domaine et il faut reprendre le calcul.
Deux cas
« Au plus 70 sacs B » : on en produit 60, la contrainte est vérifiée. La solution ne bouge pas.
« Au plus 40 sacs B » : elle est violée. Il faut résoudre à nouveau — le nouvel optimum sera moins bon.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Six points
- La vraie question est la robustesse, pas la solution.
- Un prix dual n’est valable que sur un intervalle de second membre.
- Découpe : b_1 \in [80\,;160] au prix de 5 DH. Couture : b_2 \in [50\,;100] à 20 DH.
- Un coefficient d’objectif a lui aussi son intervalle : c_1 \in [25\,;50], c_2 \in [15\,;30].
- Les bornes de ces intervalles sont les valeurs qui produisent un optimum multiple.
- Les prix duaux évaluent un produit nouveau sans relancer le calcul.
La suite
Le chapitre 8 aborde une famille de programmes linéaires si particulière qu’elle a sa propre méthode : les problèmes de transport, dont la solution est toujours entière.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
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- QCM (bientôt)