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La résolution graphique

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Chapitre 3 : La résolution graphique

Auteur·rice
Affiliation

Jaouad Madkour

Faculté d’Économie et de Gestion de Tanger

Date de publication

24 septembre 2026

Tracer le domaine

La méthode, en trois gestes

Pour chaque contrainte
  1. Remplacer \leq par = : on obtient une droite.
  2. La tracer par ses deux intersections avec les axes.
  3. Choisir le bon côté en testant l’origine.
La contrainte de découpe

2x + y = 100 coupe l’axe des x en (50, 0) et l’axe des y en (0, 100).

Test de l’origine : 2(0) + 0 = 0 \leq 100. Vrai : le domaine est du côté de l’origine.

L’intersection

La contrainte de couture

x + y = 80 coupe les axes en (80, 0) et (0, 80). L’origine vérifie aussi.

Le domaine réalisable

C’est l’intersection des deux demi-plans avec le quart de plan positif : un quadrilatère de sommets

(0,0),\quad (50,0),\quad (20,60),\quad (0,80)

Le dessin

Trouver l’optimum

Deux méthodes équivalentes

Par les sommets

Le théorème du chapitre 2 garantit que l’optimum est en un sommet. On les évalue tous et on garde le meilleur.

Par la droite de niveau

Z = 30x + 25y décrit, pour chaque valeur de Z, une droite de pente -30/25 = -1{,}2.

On la fait glisser parallèlement à elle-même vers le nord-est jusqu’au dernier point de contact.

Le calcul par les sommets

Les quatre valeurs
Sommet Découpe Couture Z = 30x + 25y
(0,0) 0 0 0
(50,0) 100 50 1\,500
(20,60) 100 80 \mathbf{2\,100}
(0,80) 80 80 2\,000
Le résultat

Produire 20 sacs A et 60 sacs B, pour une marge de 2\,100 DH.

Les deux ressources sont saturées : 100 heures de découpe et 80 de couture sont entièrement consommées.

Comment retrouver le sommet optimal

Le point (20, 60)

Il est l’intersection des deux droites de contrainte :

\begin{cases} 2x + y = 100\\ \phantom{2}x + y = \phantom{0}80 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad x = 20, \; y = 60

En retranchant la seconde de la première : x = 20, d’où y = 60.

Pourquoi c’est celui-là

La pente de l’objectif, -1{,}2, est comprise entre celle de la découpe, -2, et celle de la couture, -1.

Quand la pente de l’objectif se situe entre celles de deux contraintes, l’optimum est à leur intersection. Le sommet optimal se lit sur les pentes, avant tout calcul.

Ce que le dessin apprend

La lecture économique

Pourquoi pas 50 sacs A

Le sac A rapporte 30 DH contre 25. Pourtant on n’en produit que 20.

Parce qu’il consomme deux heures de découpe : sa marge par heure de découpe est 30/2 = 15 DH, contre 25/1 = 25 DH pour le sac B.

La vraie mesure de la rentabilité

Ce n’est pas la marge à l’unité, c’est la marge par unité de ressource rare.

On produit néanmoins vingt sacs A, parce que la couture, elle aussi, est limitée : ne faire que du B laisserait 20 heures de découpe inutilisées.

Le compromis, en une phrase

Ce que l’optimum équilibre

Il ne maximise ni l’usage de la découpe seule ni celui de la couture seule : il sature les deux à la fois.

Ce que la méthode graphique ne peut pas faire

Elle s’arrête à deux variables — trois à la rigueur, en perspective.

Au-delà, le polyèdre n’est plus dessinable. Mais tout ce qu’on vient de voir reste vrai en dimension n : c’est ce qui rend le chapitre 4 lisible.

Ce qu’il faut retenir

Le résumé du chapitre

Six points
  1. Chaque contrainte donne une droite ; le test de l’origine donne le bon côté.
  2. Le domaine de l’atelier a quatre sommets : (0,0), (50,0), (20,60), (0,80).
  3. L’optimum est x = 20, y = 60, pour Z = 2\,100 DH.
  4. Les deux ressources sont saturées à l’optimum.
  5. Le sommet optimal se prévoit par la pente de l’objectif rapportée à celles des contraintes.
  6. La bonne mesure de rentabilité est la marge par unité de ressource rare.
La suite

Le chapitre 4 refait ce calcul sans dessin. Le simplexe part d’un sommet et se déplace vers un sommet voisin tant que la marge augmente — exactement ce que l’œil vient de faire.

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Ressources du chapitre