Value at Risk
La VaR linéaire paramétrique
Value at Risk
Chapitre 1 : VaR linéaire paramétrique
Avant de commencer
Pourquoi ce chapitre
L’introduction a défini la VaR comme un quantile de la distribution des profits et pertes. Ce chapitre en donne la forme la plus simple et la plus utilisée en pratique : la VaR linéaire paramétrique, qui suppose une distribution connue (d’abord normale) des rendements des facteurs de risque et une exposition linéaire du portefeuille à ces facteurs. C’est le socle analytique — une formule fermée — sur lequel se comparent toutes les méthodes ultérieures (simulation historique, Monte Carlo, options).
La VaR linéaire normale
La formule fondamentale
Si le rendement du portefeuille sur l’horizon h est normal, d’espérance actualisée \mu_h et d’écart-type \sigma_h, la VaR au seuil \alpha, exprimée en pourcentage de la valeur du portefeuille, est \mathrm{VaR}_{h,\alpha} = \Phi^{-1}(1-\alpha)\,\sigma_h - \mu_h, où \Phi^{-1} est le quantile de la loi normale standard. Le premier terme mesure le risque, le second — l’ajustement de dérive — retranche le rendement attendu.
Sur des horizons courts, on suppose souvent que le portefeuille rapporte le taux sans risque, donc que l’espérance actualisée \mu_h est nulle. La formule se réduit alors à \mathrm{VaR}_{h,\alpha} = \Phi^{-1}(1-\alpha)\,\sigma_h : la VaR est simplement proportionnelle à la volatilité.
Mise à l’échelle dans le temps
Sous l’hypothèse de rendements i.i.d. normaux (moyenne nulle), la VaR à h jours se déduit de la VaR à 1 jour par \mathrm{VaR}_{h,\alpha} = \sqrt{h}\;\mathrm{VaR}_{1,\alpha}. C’est pourquoi on ne calcule souvent que la VaR à 1 jour, la VaR réglementaire à 10 jours s’en déduisant par \sqrt{10}.
Si les rendements quotidiens sont autocorrélés (coefficient \rho), la règle \sqrt{h} est fausse : la variance à h jours n’est plus h\sigma^2 mais comporte un terme correctif fonction de \rho et de h. Une autocorrélation positive gonfle la VaR de long terme, une autocorrélation négative la réduit.
Le modèle linéaire paramétrique exige de connaître la distribution du prix à h jours. C’est le cas sous l’hypothèse i.i.d. (même loi qu’en historique), mais pas sous un processus GARCH : la somme de h rendements non i.i.d. n’a pas de loi connue en forme fermée. Capturer le clustering de volatilité impose alors la simulation Monte Carlo (chapitre 3).
VaR et décomposition
Du modèle factoriel à la VaR
Quand le portefeuille est mappé à des facteurs de risque via un modèle linéaire Y = \sum_i \theta_i X_i (sensibilités \theta, facteurs X de loi normale multivariée de covariance \Omega), la VaR systématique est \text{VaR}_{\text{syst}} = \Phi^{-1}(1-\alpha)\sqrt{\theta'\Omega_h\,\theta} - \theta'\mu_h. Toute l’information tient dans le vecteur de sensibilités et la matrice de covariance des facteurs.
La VaR stand-alone d’un groupe de facteurs (actions, taux, change…) est la VaR calculée comme si ce groupe était seul. La VaR marginale mesure la contribution de chaque facteur à la VaR totale (via le gradient), et ces contributions somment exactement à la VaR totale. La VaR incrémentale est la variation de VaR lorsqu’on ajoute ou retire une position.
Comme mesure fondée sur l’écart-type d’une loi normale, la VaR normale linéaire est sous-additive : la VaR d’un portefeuille est inférieure (ou égale) à la somme des VaR stand-alone de ses composantes. L’écart mesure le bénéfice de diversification, d’autant plus grand que les facteurs sont peu (ou négativement) corrélés.
Par classe d’actifs
Taux, actions, change
Un portefeuille obligataire est représenté par une séquence de flux mappés sur des maturités standard. Les sensibilités sont les PV01 des flux ; les facteurs, la courbe LIBOR et un ou plusieurs spreads de crédit. On disaggrège alors la VaR totale en VaR LIBOR et VaR de spread de crédit.
Pour un portefeuille d’actions, on décompose la VaR en part systématique (risque de marché via les bêtas) et part spécifique (risque idiosyncratique). Sur un portefeuille international, on isole en outre VaR actions, VaR de change et VaR de taux, chacune stand-alone puis agrégée.
Quand les facteurs de taux sont nombreux (par ex. 60 maturités), l’analyse en composantes principales ramène le risque à 2-3 composantes (niveau, pente, courbure) qui expliquent l’essentiel de la variance — rendant le calcul et l’interprétation de la VaR bien plus maniables.
Au-delà de la loi normale
Autres formes paramétriques
Les rendements financiers ont des queues épaisses que la normale sous-estime. Trois modèles paramétriques gardent une solution analytique : la loi de Student t (queues plus épaisses), le mélange de normales et le mélange de Student. Ils relèvent la VaR aux seuils de confiance élevés, là où la normale est trop optimiste.
La covariance des facteurs peut être estimée par moyenne mobile à pondération exponentielle (EWMA), qui donne plus de poids aux données récentes — c’est le cœur de la méthodologie RiskMetrics de JP Morgan. Elle réagit vite aux changements de régime, mais dépend fortement du choix de la constante de lissage.
Chaque modèle paramétrique admet aussi une formule analytique pour l’Expected Tail Loss (perte moyenne au-delà de la VaR), mesure cohérente qui complète la VaR. Pour une distribution fortement asymétrique et leptokurtique (par ex. l’indice de spread iTraxx), un mélange capture bien mieux le risque de queue qu’une normale.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
La VaR linéaire paramétrique fournit une formule fermée : \mathrm{VaR} = \Phi^{-1}(1-\alpha)\sigma_h - \mu_h, mise à l’échelle par \sqrt{h} sous l’hypothèse i.i.d. normale. Le passage aux facteurs de risque permet de décomposer la VaR (systématique/spécifique, stand-alone/marginale/incrémentale) et de mesurer la diversification via la sous-additivité. Quand la normale ne suffit pas, on recourt à Student, aux mélanges et à l’estimation EWMA — sans quitter le cadre analytique. Dès que l’exposition devient non linéaire (options) ou la volatilité non i.i.d. (GARCH), il faut passer aux méthodes de simulation des chapitres suivants.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)