Les symboles

Informatique — LaTeX, chapitre 2

Le chapitre précédent a introduit les lettres grecques et quelques opérateurs. LaTeX en connaît plusieurs milliers d’autres — ensembles, logique, flèches, alphabets spéciaux.

Ce chapitre n’en dresse pas la liste : ce serait illisible, et une table suffirait. Il présente ceux qu’un travail d’économie ou de statistique emploie réellement, et surtout comment retrouver seul ceux qui manquent.

2.1 Les ensembles

2.1.1 Les ensembles de nombres

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}

\mathbb{...} — pour blackboard bold, tableau noir en gras — produit ces lettres à double barre. C’est la notation universelle des ensembles de nombres.

\mathbb demande un paquet

Dans un vrai document, \mathbb n’existe qu’après avoir chargé amssymb :

\usepackage{amssymb}

L’éditeur de cette page l’accepte d’emblée ; votre document, non. C’est l’un des ajouts obligatoires du préambule, présenté au chapitre 4.

2.1.2 Appartenance et inclusion

x \in A \quad y \notin A \quad A \subset B \quad A \subseteq B \quad A \supset B

A \cup B \quad A \cap B \quad A \setminus B \quad \emptyset \quad \bar{A}

Commande	Sens
`\in`, `\notin`	appartient, n’appartient pas
`\subset`, `\subseteq`	inclus, inclus ou égal
`\cup`, `\cap`	union, intersection
`\setminus`	différence
`\emptyset`, `\varnothing`	ensemble vide
`\forall`, `\exists`	quel que soit, il existe

2.1.3 Définir un ensemble en compréhension

\{ x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \}

Les accolades doivent être échappées

Les accolades { et } servent à grouper en LaTeX : elles ne s’affichent pas. Pour en obtenir une visible, écrivez \{ et \}.

Et employez \mid plutôt que le caractère | pour la barre de séparation : \mid est une relation, donc entourée des espaces convenables. Le | nu est un délimiteur, collé à ses voisins.

Comparez \{x \mid x>0\} et \{x | x>0\} dans l’éditeur : la différence est nette.

2.2 La logique

P \Rightarrow Q \quad P \Leftrightarrow Q \quad \neg P \quad P \land Q \quad P \lor Q

Commande	Symbole
`\Rightarrow`, `\Leftarrow`	implication
`\Leftrightarrow`, `\iff`	équivalence
`\neg`, `\lnot`	négation
`\land`, `\lor`	et, ou
`\therefore`, `\because`	donc, parce que

Majuscule et minuscule ne donnent pas la même flèche

\rightarrow produit une flèche simple, \Rightarrow une flèche double.

La convention mathématique réserve la double à l’implication logique, et la simple aux applications : f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}.

Cette règle majuscule/minuscule vaut pour toutes les flèches du langage.

2.3 Les flèches

a \to b \quad a \mapsto b \quad a \leftrightarrow b \quad a \nearrow \quad a \searrow

X_n \xrightarrow{\;n \to \infty\;} X

\xrightarrow{...} place un texte au-dessus d’une flèche qui s’allonge en conséquence — indispensable pour les convergences en probabilité ou en loi. Elle vient du paquet amsmath.

\hat{\theta}_n \xrightarrow{\;\mathbb{P}\;} \theta \qquad \sqrt{n}(\hat{\theta}_n - \theta) \xrightarrow{\;d\;} \mathcal{N}(0, \sigma^2)

Notez \mathcal{N} pour la loi normale : c’est l’alphabet calligraphique, présenté ci-dessous.

2.4 Les alphabets mathématiques

\mathbb{R} \quad \mathcal{F} \quad \mathbf{X} \quad \mathrm{d} \quad \mathfrak{S}

Commande	Usage conventionnel
`\mathbb{R}`	ensembles de nombres
`\mathcal{F}`, `\mathcal{N}`	tribus, lois de probabilité, ensembles d’indices
`\mathbf{X}`	vecteurs et matrices
`\mathrm{d}`	le « d » d’une différentielle, en romain droit
`\mathfrak{S}`	algèbres, groupes — usage plus rare

La convention des matrices

En économétrie, la coutume veut qu’on distingue visuellement :

un scalaire en italique : y, écrit y ;
un vecteur ou une matrice en gras : \mathbf{X}, écrit \mathbf{X}.

Ce n’est pas obligatoire, mais c’est attendu dans une revue. L’essentiel est de s’y tenir d’un bout à l’autre du document — une notation incohérente coûte plus cher au lecteur que l’absence de convention.

\hat{\boldsymbol{\beta}} = (\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}'\mathbf{y}

\boldsymbol met en gras une lettre grecque, là où \mathbf ne fonctionne que sur l’alphabet latin. La distinction surprend, mais elle est constante.

2.5 Les relations et leurs négations

a \le b \quad a \ge b \quad a \ll b \quad a \gg b \quad a \approx b \quad a \sim b \quad a \equiv b

a \neq b \quad a \not< b \quad a \not\subset B \quad a \nmid b

\not barre le symbole qui suit. Certaines négations ont un nom propre — \neq, \nsubseteq, \nmid — et donnent un meilleur rendu ; employez-les quand elles existent.

\sim en statistique

X \sim \mathcal{N}(0,1) se lit « suit la loi ». C’est le même symbole que l’équivalence asymptotique, et le contexte seul les distingue — comme au tableau.

2.6 L’espacement

C’est le détail qui sépare une formule correcte d’une formule soignée.

a+b \quad a \, + \, b \quad a \; + \; b \quad a \quad + \quad b

Commande	Largeur
`\,`	fine
`\;`	moyenne
`\quad`	une lettre « M »
`\qquad`	deux
`\!`	espace négative

LaTeX espace déjà correctement — n’intervenez qu’à bon escient

LaTeX connaît la grammaire des mathématiques : il sait qu’un + est un opérateur binaire et l’entoure d’espaces, qu’un = est une relation et lui en donne davantage.

Vous n’avez donc presque jamais à ajouter d’espaces. Les trois cas où c’est utile :

\int f(x) \, \mathrm{d}x        % avant le d de l'integrale
\{ x \mid x > 0 \}              % de part et d'autre de la barre
P(A \mid B)                     % probabilite conditionnelle

Ajouter des espaces partout produit une formule aérée et amateur. LaTeX compose mieux que l’intuition.

2.7 Les délimiteurs

( \frac{a}{b} ) \quad [ \frac{a}{b} ] \quad \{ \frac{a}{b} \}

\left( \frac{a}{b} \right) \quad \left[ \frac{a}{b} \right] \quad \left\{ \frac{a}{b} \right\}

\left et \right doivent aller par paires. Pour n’en afficher qu’un seul, l’autre s’écrit \left. ou \right. — un point qui signifie « rien », déjà rencontré au chapitre 1 pour les systèmes.

\left| x \right| \quad \left\| \mathbf{v} \right\| \quad \left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{x=0}

2.8 Comment trouver un symbole

Aucune mémorisation n’est nécessaire. Trois outils suffisent, et vous les emploierez toute votre vie.

Detexify

detexify.kirelabs.org : vous dessinez le symbole à la souris, le site propose les commandes correspondantes et indique le paquet à charger.

C’est de loin le plus rapide quand on a le symbole sous les yeux — dans un article, par exemple — sans en connaître le nom.

Les deux autres :

la Comprehensive LaTeX Symbol List, un document de plusieurs centaines de pages recensant tous les symboles par thème, à garder ouvert ;
Wikipédia, dont les articles de mathématiques exposent leur source LaTeX — souvent le plus simple pour une notation complète, pas seulement un signe isolé.

Le message qui vous attend

Undefined control sequence.
l.42 \mathbb
            {R}

Ce message signifie que la commande existe mais que le paquet n’est pas chargé. La solution n’est jamais de changer de commande : c’est d’ajouter le \usepackage correspondant.

Les trois indispensables, pour tout document mathématique :

\usepackage{amsmath}    % constructions : align, xrightarrow, etc.
\usepackage{amssymb}    % symboles : mathbb, nmid, etc.
\usepackage{amsfonts}   % polices mathematiques

Mettez-les d’emblée dans tout nouveau document : ils ne coûtent rien et évitent les trois quarts de ces erreurs.

À vous

Écrivez la définition de la convergence en probabilité : pour tout epsilon strictement positif, la probabilité que l’écart entre l’estimateur et theta dépasse epsilon tend vers zéro.

\forall \varepsilon > 0,

La solution

\forall \varepsilon > 0, \quad
\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left( \left| \hat{\theta}_n - \theta \right| > \varepsilon \right) = 0

Ce qui s’écrit aussi, plus brièvement :

\hat{\theta}_n \xrightarrow{\;\mathbb{P}\;} \theta

Quatre éléments du chapitre : \forall et \mathbb{P} du paquet amssymb, \left|...\right| pour une valeur absolue à la bonne hauteur, \varepsilon — la variante ronde, celle qu’emploie la statistique, là où \epsilon donne la forme anguleuse.

Ce qu’il faut retenir

Écriture	Résultat
`\mathbb{R}`	ensembles de nombres — paquet amssymb
`\in`, `\subset`, `\cup`, `\cap`, `\emptyset`	relations et opérations d’ensembles
`\{ x \mid x > 0 \}`	accolades échappées, `\mid` plutôt que `\\|`
`\Rightarrow` / `\rightarrow`	double / simple — majuscule ou minuscule
`\xrightarrow{...}`	flèche annotée — convergences
`\mathcal{N}`, `\mathbf{X}`, `\boldsymbol{\beta}`	calligraphique, gras latin, gras grec
`\neq`, `\not<`	négations
`\,` `\;` `\quad` `\qquad` `\!`	espacement — à n’employer qu’à bon escient
`\left(` … `\right)`	délimiteurs qui s’adaptent, par paires
`\left.` , `\right.`	délimiteur invisible
Detexify	dessiner un symbole pour trouver sa commande
`Undefined control sequence`	il manque un `\usepackage`

Le chapitre suivant reprend les grandes constructions entrevues au chapitre 1 — sommes, matrices, systèmes — pour en montrer les variantes que réclame un mémoire.