Séries temporelles : stationnarité et ARIMA

Informatique — EViews, chapitre 4

EViews a été conçu pour les séries temporelles, et c’est là qu’il n’a guère d’équivalent : une racine unitaire se teste en trois clics, un ARIMA s’estime en une ligne, une prévision se produit avec son intervalle de confiance sans effort.

Mais tout commence par une vérification que rien ne remplace : la stationnarité. Le chapitre 1 l’a annoncée ; il est temps de la traiter sérieusement.

Pourquoi la stationnarité d’abord

La régression fallacieuse

Deux séries qui montent chacune de leur côté, sans aucun lien économique, produisent une régression au R^2 superbe et aux coefficients « significatifs ».

Le PIB du Maroc et le nombre d’abonnés au téléphone en Norvège donneraient un R^2 de 0,95. Cela ne signifie rien : les deux séries partagent seulement une tendance.

La signature : un R^2 élevé assorti d’un Durbin-Watson faible. La règle de survie du chapitre 1 — si le R^2 dépasse le Durbin-Watson, ne lisez pas les coefficients — vient de là.

Tant que la stationnarité n’est pas établie, aucun test du chapitre 3 n’a de valeur.

Regarder la série

Double-clic sur la série → View → Graph

Capture 1 — une série en niveau et en différence première Montrer deux graphiques côte à côte : à gauche une série tendancielle, à droite sa différence première qui oscille autour de zéro.

Trois choses à repérer : une tendance, une saisonnalité, un changement de variance. Une série stationnaire oscille autour d’une moyenne constante, avec une amplitude à peu près stable.

Le corrélogramme

View → Correlogram

Capture 2 — corrélogramme d'une série non stationnaire Montrer les colonnes AC et PAC : l'autocorrélation décroît très lentement, restant hors des bandes sur de nombreux retards.

Une autocorrélation qui décroît très lentement — encore élevée au retard 10 ou 15 — est le signe classique d’une racine unitaire. Sur une série stationnaire, elle chute rapidement dans les bandes de confiance.

Le test de racine unitaire

View → Unit Root Test

Capture 3 — la boîte du test de racine unitaire Montrer les choix : méthode (Augmented Dickey-Fuller), « Test for unit root in » (Level / 1st difference / 2nd difference), et « Include in test equation » (Intercept / Trend and intercept / None).

Trois réglages, et le troisième est décisif.

Réglage	Choix
Méthode	ADF le plus souvent ; PP en complément ; KPSS pour l’hypothèse inverse
Niveau ou différence	`Level`, puis `1st difference` si nécessaire
Termes déterministes	`Intercept`, `Trend and intercept`, ou `None`

Le choix des termes déterministes change la conclusion

Regardez d’abord le graphique. Si la série présente une tendance visible, testez avec Trend and intercept. Si elle oscille autour d’une constante non nulle, Intercept. Si elle oscille autour de zéro — cas d’une série déjà différenciée — None.

Un test mal spécifié conclut à l’inverse de la réalité. C’est l’erreur la plus fréquente, et elle est invisible sur la sortie.

Capture 4 — sortie d'un test ADF Montrer la statistique t d'Augmented Dickey-Fuller, sa probabilité, les valeurs critiques à 1 %, 5 % et 10 %, puis la régression du test en dessous.

Lire le résultat

Ici l’hypothèse nulle est la présence d’une racine unitaire

Contrairement aux tests du chapitre 3, une petite probabilité est ici une bonne nouvelle.

Prob. inférieure à 0,05 → on rejette la racine unitaire → la série est stationnaire.

Prob. supérieure à 0,05 → on ne rejette pas → la série est non stationnaire, il faut la différencier.

Et attention : ne pas rejeter n’est pas prouver. Le test ADF a une puissance faible sur des échantillons courts.

Déterminer l’ordre d’intégration

La procédure est mécanique.

Tester la série en Level. Si stationnaire, elle est I(0) : terminé.
Sinon, tester en 1st difference. Si stationnaire, la série est I(1).
Sinon, tester en 2nd difference. En économie, on dépasse rarement I(1).

Croiser ADF et KPSS

ADF et KPSS ont des hypothèses nulles opposées : ADF teste la présence d’une racine unitaire, KPSS teste la stationnarité.

Quand les deux concordent — ADF ne rejette pas, KPSS rejette — la conclusion est solide.

Quand ils se contredisent, c’est en général que la série est proche de la frontière, ou que l’échantillon est trop court. Signalez-le plutôt que de choisir le résultat qui vous arrange.

Les séries cointégrées

Deux séries I(1) peuvent entretenir une relation de long terme stable : leurs tendances se compensent. C’est la cointégration, et elle justifie une régression en niveaux là où la différenciation ferait perdre l’information de long terme.

Sélectionner les séries → Open as Group → View → Cointegration Test

Capture 5 — le test de cointégration de Johansen Montrer la sortie du test de la trace et du test de la valeur propre maximale, avec le nombre de relations de cointégration retenu.

Le test de Johansen indique le nombre de relations de cointégration. S’il en existe au moins une, un modèle à correction d’erreur (VECM) devient approprié — sujet qui dépasse ce chapitre, mais dont EViews dispose par Quick → Estimate VAR → Vector Error Correction.

Les modèles ARIMA

Une fois la série rendue stationnaire, on modélise sa dynamique propre.

Identifier l’ordre

View → Correlogram sur la série stationnaire

Capture 6 — corrélogramme d'une série stationnaire Montrer les colonnes AC et PAC avec quelques barres significatives aux premiers retards, puis un retour rapide dans les bandes.

La lecture classique :

Comportement	Modèle suggéré
AC décroît, PAC coupe après p retards	AR(p)
AC coupe après q retards, PAC décroît	MA(q)
les deux décroissent	ARMA(p,q)

Cette lecture est indicative, pas décisive

En pratique, les corrélogrammes réels sont rarement aussi nets que dans les manuels.

La méthode qui fonctionne : identifier deux ou trois candidats plausibles par le corrélogramme, les estimer tous, et retenir celui qui minimise le critère de Schwarz tout en laissant des résidus non autocorrélés.

Le corrélogramme oriente la recherche ; les critères d’information tranchent.

Estimer

Quick → Estimate Equation

dlog(pib) c ar(1) ma(1)

Les termes ar(p) et ma(q) s’écrivent directement dans la spécification. Le d(...) ou dlog(...) assure la différenciation — c’est le « I » d’ARIMA.

d(chomage) c ar(1) ar(2)          ' ARIMA(2,1,0)
dlog(pib) c ma(1)                 ' ARIMA(0,1,1) sur le log
d(ventes) c ar(1) sar(4) ma(1)    ' composante saisonniere trimestrielle

sar et sma désignent les termes saisonniers : sar(4) pour du trimestriel, sar(12) pour du mensuel.

Capture 7 — sortie d'une estimation ARIMA Montrer la sortie avec les coefficients AR et MA, et surtout le bloc « Inverted AR Roots » et « Inverted MA Roots » en bas.

Vérifiez les racines inversées

Le bas de la sortie affiche Inverted AR Roots et Inverted MA Roots. Toutes doivent être inférieures à 1 en module.

Une racine AR de 0,99 signale que la série n’est pas suffisamment différenciée. Une racine MA proche de 1 suggère au contraire une sur-différenciation.

Si EViews affiche Estimated AR process is nonstationary, le modèle est inutilisable quelles que soient les probabilités affichées.

Valider

Les diagnostics du chapitre 3 s’appliquent, avec un impératif supplémentaire.

View → Residual Diagnostics → Correlogram — Q-statistics

Les résidus d’un bon ARIMA doivent être un bruit blanc : aucune barre hors des bandes, toutes les Prob. du Q de Ljung-Box au-dessus de 0,05.

S’il reste de l’autocorrélation, le modèle est sous-spécifié : ajoutez un terme.

Prévoir

Dans la fenêtre d’équation : Proc → Forecast

Capture 8 — la boîte de prévision Montrer les champs : Forecast name, S.E. (optional), le choix Dynamic / Static, la plage de prévision, et la case « Output : Forecast graph / Forecast evaluation ».

Réglage	Ce qu’il fait
`Forecast name`	nom de la série de prévision créée
`S.E. (optional)`	crée aussi la série des écarts-types — pour l’intervalle
`Dynamic`	utilise ses propres prévisions pour les retards
`Static`	utilise les valeurs observées — un pas en avant
plage	la période à prévoir

Dynamique ou statique : ce n’est pas un détail

Statique prévoit un pas en avant à chaque date, en se servant des valeurs réellement observées aux dates précédentes. C’est ce qu’on évalue quand on juge la qualité d’ajustement.

Dynamique prévoit à partir du seul début de l’horizon, en réinjectant ses propres prévisions. C’est la vraie prévision — et elle est nettement moins bonne.

Un mémoire qui présente des prévisions statiques hors échantillon comme des prévisions annonce une performance qu’il n’atteindra jamais en pratique.

Capture 9 — graphique de prévision avec intervalle Montrer la courbe de prévision encadrée de ses bornes à deux écarts-types, avec le panneau d'évaluation à droite (RMSE, MAE, MAPE, Theil).

Le panneau d’évaluation donne :

Mesure	Signification
`Root Mean Squared Error`	erreur quadratique moyenne, dans l’unité de la série
`Mean Absolute Error`	erreur absolue moyenne
`Mean Abs. Percent Error`	erreur en pourcentage — comparable entre séries
`Theil Inequality Coefficient`	entre 0 et 1 ; 0 = prévision parfaite

La bonne façon d’évaluer une prévision

Estimez sur une partie, prévoyez sur l’autre

Évaluer une prévision sur les données ayant servi à estimer le modèle ne prouve rien : le modèle a été ajusté pour bien s’y comporter.

La méthode honnête :

smpl 1990 2015
ls dlog(pib) c ar(1) ma(1)
smpl 2016 2023
eq01.forecast pib_prev

On estime sur 1990-2015, on prévoit sur 2016-2023, et on compare aux valeurs réellement observées. Le RMSE obtenu est alors une mesure honnête.

C’est le principe de validation hors échantillon, et il distingue un travail sérieux d’une simple illustration.

Les transformations utiles

Écriture	Effet
`d(x)`	différence première
`d(x,2)`	différence seconde
`d(x,0,4)`	différence saisonnière — même trimestre l’an dernier
`dlog(x)`	taux de croissance
`@pch(x)`	variation en pourcentage
`@movav(x,4)`	moyenne mobile sur 4 périodes
`@trend`	tendance déterministe
`@seas(2)`	indicatrice du deuxième trimestre

dlog plutôt que d sur une série en niveau

dlog(pib) est le taux de croissance — sans unité, comparable entre pays et dans le temps, et généralement stationnaire là où d(pib) ne l’est pas toujours.

Sur toute série monétaire ou de volume croissante, commencez par dlog.

Le lissage exponentiel

Sur la série : Proc → Exponential Smoothing

Pour une prévision rapide sans modélisation, EViews propose les méthodes de lissage : simple, Holt-Winters additif ou multiplicatif. Utile comme référence de comparaison : un ARIMA élaboré qui ne bat pas un lissage exponentiel simple n’apporte rien.

En ligne de commande

uroot(adf, trend) pib            ' ADF avec tendance et constante
uroot(adf, const) d(pib)         ' ADF sur la difference premiere
pib.correl(24)                   ' correlogramme, 24 retards

ls dlog(pib) c ar(1) ma(1)       ' estimer un ARIMA
eq01.correl(12)                  ' correlogramme des residus

smpl 1990 2015
ls dlog(pib) c ar(1)
smpl 2016 2023
eq01.forecast(f=dynamic) pib_prev pib_se
smpl @all

À vous

Sur une série macroéconomique annuelle ou trimestrielle de votre choix :

Tracez la série et décidez des termes déterministes du test ;
Testez la racine unitaire en niveau, puis en différence première ;
Concluez sur l’ordre d’intégration ;
Sur la série rendue stationnaire, lisez le corrélogramme et proposez deux modèles ARIMA candidats ;
Estimez les deux, comparez les critères de Schwarz, et vérifiez que les résidus du modèle retenu sont un bruit blanc ;
Estimez sur les trois quarts de l’échantillon, prévoyez sur le dernier quart en mode dynamique, et relevez le RMSE.

Deux points de vigilance

Sur la question 2 : si le test en niveau conclut à la stationnarité alors que le graphique montre une tendance nette, vous avez probablement choisi Intercept au lieu de Trend and intercept. Recommencez.

Sur la question 6 : la prévision dynamique d’un ARIMA converge vers la moyenne de la série au fur et à mesure que l’horizon s’éloigne. C’est normal, et c’est une propriété du modèle, pas un défaut de votre travail.

Un ARIMA prévoit bien à un ou deux pas, médiocrement au-delà. Le dire dans votre mémoire vaut mieux que de laisser le lecteur le découvrir sur votre graphique.

Ce qu’il faut retenir

Opération	Chemin ou commande
tracer la série	`View → Graph` — avant tout
corrélogramme	`View → Correlogram` — décroissance lente = racine unitaire
test de racine unitaire	`View → Unit Root Test`
ADF : `Prob. < 0,05`	série stationnaire — hypothèse nulle inversée
termes déterministes	selon le graphique — change la conclusion
croiser ADF et KPSS	hypothèses nulles opposées
cointégration	groupe → `View → Cointegration Test`
ARIMA	`dlog(y) c ar(1) ma(1)`
termes saisonniers	`sar(4)`, `sma(12)`
`Inverted AR Roots`	toutes < 1 en module
valider	résidus = bruit blanc au corrélogramme
choisir	Schwarz minimal, résidus blancs
prévoir	`Proc → Forecast`
dynamique vs statique	la vraie prévision est dynamique
évaluer honnêtement	estimer sur une partie, prévoir sur l’autre

Le chapitre suivant s’intéresse à ce que les modèles précédents supposent constant et qui ne l’est jamais en finance : la variance conditionnelle, avec les modèles ARCH et GARCH.