Opérations sur les matrices

Informatique — MATLAB, chapitre 4

Ce chapitre contient la distinction la plus importante de tout le cours : celle entre l’opération matricielle et l’opération terme à terme. Un point mal placé, et le calcul reste plausible tout en étant faux.

C’est aussi ici que MATLAB montre sa supériorité d’écriture : la formule du tableau et le code se ressemblent au point de se confondre.

4.1 Somme et différence

A = [1 2; 3 4];
B = [5 6; 7 8];

A + B
A - B

ans =

    6    8
   10   12

ans =

  -4  -4
  -4  -4

L’addition se fait terme à terme, et exige des dimensions identiques. Aucune ambiguïté ici : il n’existe qu’une seule façon d’additionner deux matrices.

4.1.1 Ajouter un scalaire

A = [1 2; 3 4];

A + 10
A * 2

Un nombre isolé s’applique à chaque élément. C’est la vectorisation, gratuite et implicite — aucune boucle n’est nécessaire.

4.2 Le produit matriciel

4.2.1 La règle des dimensions

A = [1 2 3; 4 5 6];
B = [1 2; 3 4; 5 6];

A * B
size(A * B)

Le produit AB n’existe que si le nombre de colonnes de A égale le nombre de lignes de B. Le résultat a les lignes de A et les colonnes de B : (2×3) × (3×2) donne 2×2.

B * A

ans =

    9   12   15
   19   26   33
   29   40   51

Notez que B * A existe aussi, mais donne une matrice 3×3 : le produit matriciel n’est pas commutatif. Sur des matrices non carrées, l’un des deux produits est même souvent impossible.

4.2.2 L’erreur de dimension

A = [1 2 3];
B = [4 5 6];
A * B

error: operator *: nonconformant arguments (op1 is 1x3, op2 is 1x3)

Le message le plus fréquent de MATLAB

nonconformant arguments signale que les dimensions ne s’accordent pas. Il indique toujours les deux tailles en cause — lisez-les, elles disent tout.

Ici, deux vecteurs ligne ne peuvent pas se multiplier. Il faut transposer l’un des deux :

A * B' donne un scalaire (1×3 fois 3×1) : le produit scalaire, soit 32 ;
A' * B donne une matrice 3×3 : le produit extérieur.

Deux résultats radicalement différents selon la place de l’apostrophe.

4.2.3 La transposée

A = [1 2 3];
B = [4 5 6];

A * B'
A' * B

ans = 32

ans =

    4    5    6
    8   10   12
   12   15   18

L’apostrophe est l’opérateur le plus employé de MATLAB. Il rend la traduction des formules quasi littérale : X'X s’écrit X' * X.

' et .' diffèrent sur les nombres complexes

A' est la transposée conjuguée ; A.' est la transposée simple.

Sur des réels, les deux coïncident. Sur des complexes — analyse spectrale, séries de Fourier —, ' change aussi le signe de la partie imaginaire.

En économétrie appliquée aux données réelles, ' suffit. Sachez seulement que la distinction existe.

4.3 Les opérations terme à terme

C’est le point central du chapitre.

A = [1 2; 3 4];
B = [5 6; 7 8];

A * B
A .* B

Le point change tout

A * B est le produit matriciel : combinaisons de lignes et de colonnes.

A .* B est le produit terme à terme : chaque élément multiplié par son homologue.

Les deux résultats n’ont rien de commun. Et sur deux matrices carrées de même taille, les deux opérations sont valides : aucune erreur ne vous avertira que vous avez écrit l’une pour l’autre.

C’est l’erreur la plus coûteuse de MATLAB, précisément parce qu’elle est silencieuse.

Opérateur	Effet
`.*`	multiplication terme à terme
`./`	division terme à terme
`.^`	puissance terme à terme
`.\`	division terme à terme, à gauche

A = [1 2; 3 4];

A^2
A.^2

A^2 est A * A — le produit matriciel de la matrice par elle-même. A.^2 élève chaque coefficient au carré. Le premier vaut 7 en haut à gauche, le second 1.

4.3.1 Quand employer lequel

Vous voulez	Écrivez
X'X, AB, A^{-1}b	`*` — algèbre linéaire
carrer chaque résidu	`.^2`
multiplier deux séries observation par observation	`.*`
rendements = variations / valeurs	`./`
A^n au sens matriciel	`^`

La règle mnémotechnique

Le point signifie « élément par élément ». Dès que votre formule mathématique porte un indice i répété — \sum_i x_i y_i, e_i^2 —, c’est un point qu’il faut.

Dès qu’elle s’écrit sans indice, en notation matricielle — X'X, Ab —, l’opérateur est nu.

4.4 L’expansion implicite

A = [1 2 3; 4 5 6];
v = [10 20 30];

A + v
A .* [1; 2]

ans =

   11   22   33
   14   25   36

ans =

    1    2    3
    8   10   12

Un vecteur ligne s’applique à chaque ligne de la matrice ; un vecteur colonne, à chaque colonne. MATLAB étend automatiquement la dimension manquante — c’est l’implicit expansion, l’équivalent du broadcasting de NumPy.

Puissant, mais silencieux

Centrer les colonnes d’une matrice s’écrit d’une ligne : A - mean(A).

Mais si vos dimensions ne sont pas celles que vous croyez, l’expansion produit un résultat de taille inattendue sans aucune erreur. Une opération entre un vecteur ligne et un vecteur colonne engendre une matrice entière.

Vérifiez size du résultat quand il vous surprend.

4.5 Les fonctions d’agrégation

A = [1 2 3; 4 5 6];

sum(A)
sum(A, 2)
sum(A(:))
mean(A)
max(A)

ans =

   5   7   9

ans =

    6
   15

ans = 21

ans =

   2.5000   3.5000   4.5000

ans =

   4   5   6

Par défaut, MATLAB agrège par colonnes

sum(A) renvoie la somme de chaque colonne — un vecteur ligne. Ce n’est pas la somme totale.

sum(A, 2) agrège par lignes ;
sum(A(:)) ou sum(sum(A)) donne la somme de tout.

La convention vaut pour mean, max, min, std, var, cumsum. Elle est cohérente avec la logique « une colonne = une variable », qui est celle de toute l’analyse de données.

X = [2 4; 4 6; 6 8; 8 10];

mean(X)
std(X)
var(X)
median(X)

ans =

   5   7

ans =

   2.5820   2.5820

ans =

   6.6667   6.6667

ans =

   5   7

std et var divisent par n-1 par défaut — l’estimateur sans biais, comme en R. Pour diviser par n, écrivez std(X, 1).

4.6 Un exemple : centrer et réduire

X = [2 4; 4 6; 6 8; 8 10];

Z = (X - mean(X)) ./ std(X)

mean(Z)
std(Z)

Z =

  -1.1619  -1.1619
  -0.3873  -0.3873
   0.3873   0.3873
   1.1619   1.1619

ans =

   0   0

ans =

   1   1

Une seule ligne centre et réduit toutes les colonnes à la fois. Elle combine tout le chapitre : l’expansion implicite soustrait un vecteur ligne à chaque ligne, et ./ divise terme à terme — un / nu déclencherait ici une résolution de système, sujet du chapitre 6.

À vous

Soit X une matrice de deux variables observées sur quatre individus, et y un vecteur de réponses. Calculez X'X, X'y, la somme de chaque colonne de X, et le carré de chaque élément de y.

X = [1 2; 1 4; 1 6; 1 8];
y = [3; 5; 8; 10];

% a completer

La solution

XtX = X' * X
Xty = X' * y
sommes = sum(X)
carres = y.^2

X' * X et X' * y sont les deux ingrédients de l’estimateur des moindres carrés \hat\beta = (X'X)^{-1}X'y. Le chapitre 6 montrera comment le résoudre — sans jamais inverser X'X.

Notez y.^2 avec le point : élever un vecteur colonne au carré au sens matriciel serait impossible, y^2 exigeant une matrice carrée.

Ce qu’il faut retenir

Écriture	Effet
`A + B`, `A - B`	terme à terme, dimensions identiques
`A + 10`	s’applique à chaque élément
`A * B`	produit matriciel — colonnes de A = lignes de B
`A'`	transposée — l’opérateur roi de MATLAB
`A .* B`, `A ./ B`, `A .^ n`	terme à terme — le point change tout
`A^2` vs `A.^2`	`A * A` vs chaque coefficient au carré
`A + v`	expansion implicite — vérifiez `size`
`sum(A)`	somme par colonne
`sum(A, 2)`, `sum(A(:))`	par ligne, total
`mean`, `std`, `var`, `median`	par colonne également
`std` divise par n-1	`std(X, 1)` pour diviser par n
`(X - mean(X)) ./ std(X)`	centrer et réduire en une ligne

Le chapitre suivant s’intéresse aux matrices carrées et à ce qui les caractérise : trace, déterminant, rang, inverse et valeurs propres.