Chapitre 14 — Le modèle de Black-Scholes-Merton

Calculatrice interactive — formule de Black-Scholes-Merton et loi log-normale (exercice 5), volatilité implicite et sourire (exercice 6)

Formule de Black-Scholes-Merton et loi log-normale

$d_1=\dfrac{\ln(S_0/K)+(r-q+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}$, $d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}$. $\mathbb{E}(S_T)=S_0e^{\mu T}$, médiane $=S_0e^{(\mu-\sigma^2/2)T}$.

Prix du sous-jacent $S_0$

Prix d'exercice $K$

Échéance $T$ (années)

Type d'option

Taux sans risque continu $r$ (%)

Volatilité $\sigma$ (%)

Taux de rendement continu $q$ (%, dividende / devise étrangère / contrat à terme)

Rendement espéré réel $\mu$ (%, pour la loi log-normale)

Horizon de la loi log-normale $T_{\mu}$ (années)

Volatilité implicite et sourire

Trois prix d'exercice, trois volatilités implicites : comparez le prix effectivement coté à celui qu'on obtiendrait avec la volatilité unique de l'option à la monnaie.

Prix du sous-jacent $S_0$

Échéance $T$ (années)

Taux sans risque continu $r$ (%)

$K$ bas

Prix d'exercice Volatilité implicite (%)

$K$ à la monnaie

Prix d'exercice Volatilité implicite (%)

$K$ haut

Prix d'exercice Volatilité implicite (%)

Chapitre 14 — Application : le modèle de Black-Scholes-Merton

Formule de Black-Scholes-Merton et loi log-normale

Volatilité implicite et sourire

$K$ bas

$K$ à la monnaie

$K$ haut