Chapitre 12 — L'estimateur par le ratio

Application interactive — Échantillonnage

Estimer la dépense moyenne par le ratio, sur un échantillon de la population

Population du cours : 2 000 ménages fictifs. Le total X de la variable auxiliaire est supposé connu (recensement) ; l'enquête mesure x et y sur les ménages tirés. Par défaut : l'échantillon fil rouge et la taille du ménage (X = 7 859 personnes).

échantillon

taille n (nouveau tirage)

graine (nouveau tirage)

variable auxiliaire x

Répéter l'enquête : moyenne simple ou ratio ?

On tire de nombreux sondages aléatoires simples ; sur chacun, on calcule la moyenne simple ȳ et l'estimateur par le ratio X̄ ȳ/x̄, avec leurs intervalles à 95 %. Une méthode se juge sur tous les échantillons, pas sur un seul.

taille de chaque échantillon n

nombre de sondages

graine

variable auxiliaire x

Calculatrice : l'estimateur par le ratio à partir des résumés d'un échantillon

Valeurs par défaut : l'exercice 2 du chapitre (masse salariale y, en milliers de dh, et effectif x de 50 entreprises tirées parmi 500, qui emploient X = 12 000 salariés).

taille de la population N

taille de l'échantillon n

total connu X de la variable x

quantile z (1,96 pour 95 %)

moyenne ȳ

moyenne x̄

écart-type s_y

écart-type s_x

corrélation r entre x et y

Estimateur par le ratio : R̂ = ȳ/x̄, moyenne X̄ ȳ/x̄, total X ȳ/x̄. Biais d'ordre 1/n ; variance approchée (1 − f) S²_e/n, avec les résidus e_k = y_k − R x_k ; variance estimée (1 − f) s²_e/n, où s²_e = s²_y − 2 R̂ s_xy + R̂² s²_x ; erreur-type de R̂ : celle de la moyenne divisée par x̄. Le ratio gagne si ρ > CV_x/(2 CV_y) ; effet de plan S²_e/S² = 1 − 2ρk + k², avec k = CV_x/CV_y. Les tirages de l'application emploient un générateur pseudo-aléatoire différent de celui de Python : à graine égale, les échantillons diffèrent de ceux du cours.