Chapitre 2 — Les lois univariées usuelles

Calculatrice interactive — Analyse quantitative

1. Loi binomiale : moments et validité de l'approximation normale

$n$

$p$

2. Loi de Poisson : probabilités ponctuelles $\Pr(Y=k)$

$\lambda$

$k$ maximum affiché

3. Variance d'un mélange de deux lois normales

$\mu_1$

$\sigma_1^2$

poids $w_1$

$\mu_2$

$\sigma_2^2$

poids $w_2$ ($=1-w_1$, auto)

4. Correction log-normale (Jensen) : $E[S_1]=S_0\,e^{\mu+\sigma^2/2}$

$S_0$

$\mu$ (rendement log)

$\sigma$ (rendement log)

Rappels : Binomiale $B(n,p)$ : $E[Y]=np$, $V[Y]=np(1-p)$, approximation normale recommandée seulement si $np\ge10$ ET $n(1-p)\ge10$. Poisson $P(\lambda)$ : $E[Y]=V[Y]=\lambda$, $\Pr(Y=k)=\lambda^k e^{-\lambda}/k!$. Mélange de deux normales : $E[X]=w_1\mu_1+w_2\mu_2$, $V[X]=w_1(\sigma_1^2+\mu_1^2)+w_2(\sigma_2^2+\mu_2^2)-(E[X])^2$. Log-normale : si $\ln(S_1/S_0)\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)$, alors $E[S_1]=S_0e^{\mu+\sigma^2/2}\neq S_0e^{\mu}$ (inégalité de Jensen).